Trigonométrie

Trigonométrie
1.Cosinus d’un angle aigu
Définition!: Dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté
adjacent à cet angle par l’hypoténuse du triangle rectangle.
Dans le triangle HOM rectangle en H on a!:
""
cos MOH =OH
OM
=côté adjacent
hypoténuse
Remarque!: le cosinus d’un angle est un nombre sans unité, toujours inférieur à 1
(car l’hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle rectangle).
2.Calcul d’un côté inconnu
Si on connaît un angle aigu et la longueur d’un côté dans un triangle rectangle,
alors on peut calculer les longueurs des deux autres côtés.
Pour calculer le cosinus d’un angle il faut utiliser la touche
cos
de la calculatrice
(attention!: il est important que la calculatrice soit configurée en degrés).
Exemple 1!: Dans MOH rectangle en H, si
MOH =37°
et
OM =4
, on peut calculer
OH et MH!:
Calcul de OH!:
cos MOH =OH
OM
, soit
cos37° = OH
4
, d’où
OH =4×cos37°≈3,19
!;
puis MH!: on sait que les angles aigus d’un triangle rectangle sont
complémentaires donc
OMH =90°−MOH =90°−37° = 53°
, alors
cos OMH =MH
OM
, soit
cos 53° = MH
4
, d’où
MH =4×cos 53°≈2, 41
.
Remarque!: Pythagore permet de calculer MH dans MOH rectangle en H.
Exemple 2!: Dans MOH rectangle en H, si
MOH =52°
et
MH =3
, on peut calculer
OM et OH!:
Calcul de OM!:
OMH
et
MOH
étant complémentaires
OMH =90°−52° = 38°
,
alors!:
cos OMH =MH
OM
, soit
cos38° = 3
OM
, d’où
OM =3
cos38°
≈3, 81
!;
puis OH!:
cos MOH =OH
OM
, avec
OM =3
cos38°
d’où
OH =3
cos38°
×cos 52°≈2,34
.
Remarque!: Pythagore permet de calculer OH dans MOH rectangle en H.
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3.Calcul d’un angle inconnu
Si on connaît deux des côtés d’un triangle rectangle, alors on peut calculer les
mesures des deux angles aigus.
Pour calculer la mesure d’un angle connaissant son cosinus il faut utiliser la touche
arc cos
de la calculatrice (utiliser la touche de couleur avec la touche
cos
).
Exemple!: Dans un triangle RST rectangle en R, on sait que ST!=!17 et SR!=!9.
Calculer les mesures des angles
RST
et
RTS
.
Calcul de
RST
!:dans le triangle RST rectangle en R on peut écrire!:
cos RST =SR
ST
, donc
cos RST =9
17
et
RST =arc cos 9
17
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟≈58°
Calcul de
RTS
!: les angles
RST
et
RTS
sont complémentaires,
donc
RTS =90°−RST ≈90°−58° = 32°
.
Remarque!: on peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle RST
rectangle en R pour calculer le côté RT, puis calculer l’angle
RTS
en utilisant son
cosinus!; cependant cette méthode est plus longue et plus compliquée.
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