1 - Nombres complexes - IMJ-PRG

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Calculus
Feuille d’exercices n◦ 1 : Nombres complexes
1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
(a) z étant un nombre complexe non nul, comparer arg (z), arg (−z), arg (z̄), arg (−z̄).
(On accompagnera la réponse d’une illustration graphique)
(b) Déterminer, puis représenter, l’ensemble des points M du plan d’affixe z ∈ C, tels que :
z−2
∈ IR.
z−i
z−1 = 1.
ii. z − 2 i
iii. Re(z̄) 6 3.
i.
2. Forme cartésienne d’un nombre complexe
Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants :
1+i
.
1−i
2−i
(b) z =
.
3i
1−i
(c) z =
.
3 + 2i
(1 + i)4
(d) z = √
.
( 3 − i)3
(a) z =
1
3. Forme polaire d’un nombre complexe
Ecrire sous forme polaire les nombres complexes suivants :
√
2 (1 + i).
√
3 3i 3
(b) z = −
.
2
2
(
√ )2
1+i 3
(c) z =
.
1−i
(a) z =
4. Inverse d’un nombre complexe
Déterminer les inverses des nombres complexes suivants :
(a) z =
√
2 (1 + i)
(b) z = 3 − 2 i
a − 2i
(c) z =
, où a est un réel non nul.
4
2
Corrigé
1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
(a) z étant un nombre complexe non nul, on peut comparer arg (z), arg (−z), arg (z̄), arg (−z̄)
à l’aide de la figure suivante :
z
-z
z
-z
Clairement :

 arg(z̄) = −arg(z) [2 π]
arg(−z) = arg(z) + π [2 π]

arg(−z̄) = π − arg(z) [2 π]
(b)
i. Déterminons l’ensemble des points M du plan d’affixe z ̸= i ∈ C, tels que :
on cherche z sous la forme : z = x + i y.
Par suite :
z−2
z−i
x+i y−2
x+i y−i
(x+i y−2) (x+i−i y)
(x+i y−i) (x−i y+i)
(x+i y−2) (x+i−i y)
|x+i y−i|2
x2 +i (x−2+2 y)+y (y−1)−2 x
x2 +(y−1)2
=
=
=
=
Ainsi :
3
z−2
z−i
∈ IR :
z−2
x2 + i (x − 2 + 2 y) + y (y − 1) − 2 x
∈ IR ⇔
∈ IR
z−i
x2 + (y − 1)2
soit :
x − 2 + 2y = 0
L’ensemble cherché est donc la droite d’équation x − 2 + 2 y = 0, privée du point (0, 1).
z−1 ii. Déterminons l’ensemble des points M du plan d’affixe z ∈ C, tels que : z−2
i = 1.
Soit A le point d’affixe 1 (i.e. A a pour coordonnées (1, 0)), et B le point d’affixe 2 i
(i.e. B a pour coordonnées (0, 2)).
On a alors :
z − 1 AM
z − 2 i = BM
Les points M doivent donc être équidistants de A et B : l’ensemble des points cherchés
est la médiatrice du segment [AB].
iii. Déterminons l’ensemble des points M du plan d’affixe z ∈ C, tels que : Re(z̄) 6 3.
Il suffit de remarquer que :
Re(z̄) = Re(z)
L’ensemble des points cherchés est donc l’ensemble des points dont l’abscisse est inférieure ou égale à 3, i.e. l’ensemble des points situés dans la partie gauche du demi-plan
ayant pour frontière la droite d’équation x = 3.
4
2. Forme cartésienne d’un nombre complexe
Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants :
(a) z =
1+i
1−i .
On a :
1+i
(1 + i)2
1 + 2i − 1
2i
=
=
=
=i
2
1−i
(1 − i) (1 + i)
|1 − i|
2
(b) z =
2−i
3i .
On a :
(c) z =
2−i
−i (2 − i)
−1 − 2 i
1 2i
=
=
=− −
3i
3
3
3
3
1−i
3+2i .
On a :
(1 − i) (3 − 2 i)
3 − 2i − 3i − 2
1
5i
1−i
1 − 5i
=
=
=
−
=
2
3 + 2i
(3 + 2 i) (3 − 2 i)
|3 + 2 i|
13
13 13
(d) z =
(1+i)4
√
.
( 3−i)3
On a :
(
)2
(1 + i)2
(1 + 2 i − 1)2
(1 + i)4
√
√
√
√
= √
= √
( 3 − i)3
( 3)3 − 3 ( 3)2 i + 3 3 i2 − i3
3 3 − 9i − 3 3 + i
soit :
(1 + i)4
(2 i)2
−4
1
i
√
=
=
=
=−
3
−8
i
−8
i
2
i
2
( 3 − i)
5
3. Forme polaire d’un nombre complexe
Ecrire sous forme polaire les nombres complexes suivants :
(a) z =
√
2 (1 + i).
On a :
√
2 (1 + i) = 2
(b) z =
3
2
−
(
i
1
√ +√
2
2
)
(
(π )
( π ))
π
= 2 cos
+ i sin
= 2 ei 4
4
4
√
3i 3
2 .
On a :
(
√
√ )
5π
1 i 3
3 3i 3
=3
−
z= −
= 3 ei 3
2
2
2
2
(
(c) z =
√ )2
1+i 3
.
1−i
On a :
(
√ )2
√
√
√
√
√
1+i 3
1 + 2i 3 − 3
−2 + 2 i 3
−1 + i 3
i (−1 + i 3)
=
=
=
=
= −i − 3
1−i
1 − 2i − 1
−2 i
−i
1
soit :
(
(
√ )
√ )2
( ))
(
( )
7π
1+i 3
−i
3
7π
7π
=2
−
= 2 i sin
+ cos
= 2 ei 6
1−i
2
2
6
6
4. Inverse d’un nombre complexe
Déterminer les inverses des nombres complexes suivants :
(a) z =
√
2 (1 + i) :
1
1
1
1
1−i
1 1−i
1 1−i
1−i
=√
=√
=√
=√
= √
2
z
2 1+i
2 (1 + i) (1 − i)
2 |1 + i|
2 2
2 2
⋄ ⋄ ⋄
6
(b) z = 3 − 2 i :
1
1
3 + 2i
3 + 2i
3 + 2i
=
=
=
=
z
3 − 2i
(3 − 2 i) (3 + 2 i)
|3 + 2 i|2
13
⋄ ⋄ ⋄
(c) z =
a−2 i
4 ,
où a est un réel non nul :
1
4
4 (a + 2 i)
4 (a + 2 i)
4 (a + 2 i)
=
=
=
=
2
z
a − 2i
(a − 2 i) (a + 2 i)
|a − 2 i|
a2 + 4
⋄ ⋄ ⋄
7