1 - Nombres complexes - IMJ-PRG

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Calculus
Feuille d’exercices n◦1 : Nombres complexes
1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
(a) zétant un nombre complexe non nul, comparer arg (z),arg (−z),arg (¯z),arg (−¯z).
(On accompagnera la réponse d’une illustration graphique)
(b) Déterminer, puis représenter, l’ensemble des points Mdu plan d’affixe z∈C, tels que :
i. z−2
z−i∈IR.
ii. 
z−1
z−2i
= 1.
iii. Re(¯z)63.
2. Forme cartésienne d’un nombre complexe
Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants :
(a) z=1 + i
1−i.
(b) z=2−i
3i.
(c) z=1−i
3+2i.
(d) z=(1 + i)4
(√3−i)3.
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3. Forme polaire d’un nombre complexe
Ecrire sous forme polaire les nombres complexes suivants :
(a) z=√2 (1 + i).
(b) z=3
2−3i√3 2.
(c) z=1 + i√3
1−i2
.
4. Inverse d’un nombre complexe
Déterminer les inverses des nombres complexes suivants :
(a) z=√2 (1 + i)
(b) z= 3 −2i
(c) z=a−2i
4, où aest un réel non nul.
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Corrigé
1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
(a) zétant un nombre complexe non nul, on peut comparer arg (z),arg (−z),arg (¯z),arg (−¯z)
à l’aide de la figure suivante :
z
z
-z
-
z
Clairement :
arg(¯z) = −arg(z) [2 π]
arg(−z) = arg(z) + π[2 π]
arg(−¯z) = π−arg(z) [2 π]
(b) i. Déterminons l’ensemble des points Mdu plan d’affixe z̸=i∈C, tels que : z−2
z−i∈IR :
on cherche zsous la forme : z=x+i y.
Par suite :
z−2
z−i=x+i y−2 x+i y−i
=(x+i y−2) (x+i−i y)
(x+i y−i) (x−i y+i)
=(x+i y−2) (x+i−i y)
|x+i y−i|2
=x2+i(x−2+2 y)+y(y−1)−2x
x2+(y−1)2
Ainsi :
3

z−2
z−i∈IR ⇔x2+i(x−2 + 2 y) + y(y−1) −2x x2+ (y−1)2∈IR
soit :
x−2+2y= 0
L’ensemble cherché est donc la droite d’équation x−2+2y= 0, privée du point (0,1).
ii. Déterminons l’ensemble des points Mdu plan d’affixe z∈C, tels que : 
z−1
z−2i= 1.
Soit Ale point d’affixe 1 (i.e. Aa pour coordonnées (1,0)), et Ble point d’affixe 2i
(i.e. Ba pour coordonnées (0,2)).
On a alors : 
z−1
z−2i
=AM
BM
Les points Mdoivent donc être équidistants de Aet B: l’ensemble des points cherchés
est la médiatrice du segment [AB].
iii. Déterminons l’ensemble des points Mdu plan d’affixe z∈C, tels que : Re(¯z)63.
Il suffit de remarquer que :
Re(¯z) = Re(z)
L’ensemble des points cherchés est donc l’ensemble des points dont l’abscisse est infé-
rieure ou égale à 3, i.e. l’ensemble des points situés dans la partie gauche du demi-plan
ayant pour frontière la droite d’équation x= 3.
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2. Forme cartésienne d’un nombre complexe
Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants :
(a) z=1+i
1−i.
On a :
1 + i
1−i=(1 + i)2 (1 −i) (1 + i)=1+2i−1 |1−i|2=2i 2=i
(b) z=2−i
3i.
On a : 2−i
3i=−i(2 −i) 3=−1−2i 3=−1 3−2i 3
(c) z=1−i
3+2i.
On a :
1−i
3 + 2i=(1 −i) (3 −2i) (3 + 2 i) (3 −2i)=3−2i−3i−2 |3+2i|2=1−5i 13 =1 13 −5i 13
(d) z=(1+i)4
(√3−i)3.
On a :
(1 + i)4
(√3−i)3=(1 + i)22 (√3)3−3 (√3)2i+ 3 √3i2−i3=(1 + 2 i−1)2 3√3−9i−3√3 + i
soit : (1 + i)4
(√3−i)3=(2 i)2
−8i=−4 −8i=1 2i=−i 2
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