Correction du devoir maison no 12. Exercice 1 (no 191 page 228

Correction du devoir maison no 12.
Exercice 1 (no 191 page 228)
On considère la suite de!nombres complxes (zn ) définie par z0 = 1 et pour tout
√
3
3
zn .
+i
n > 0, zn+1 =
4
4
On note An le poin d’affixe zn .
1. (a) Écrire sous forme √
algébrique les nombres z1 à z6 .
3
3
.
Posons Z = + i
4
4
Il est clair que (zn ) est la suite géométrique (à√valeurs complexes) de
3
3
premier terme z0 = 1 et de raison q = Z = + i
.
r
r
√ 4 √4
√
9
12
3
3
2 3
|Z| = a2 + b2 =
+
=
=
=
.
16 16
16
4
2
Soit θ un argument de Z.√
a
3
3
2
cos θ =
= ×√ =
.
|Z| √
4
2
3
1
3
2
b
=
×√ = .
sin θ =
|Z|
4
2
3
π
[2π].
Donc θ =
6√
3 iπ
e 6.
Donc Z =
2
Pour tout n ∈ N,
z = Z n.
√ ! n
√
3
3
3
3
z1 =
×1 = +i
+i
.
4
4
4
4
!2
√ !
√
√
3 iπ
3
3
3 3
3 1
3 iπ
= +i
e6
+i
.
z2 =
= e3 =
2
4
4 2
2
8
8
!3
√
√
√ !3
√
3
3
3 iπ
3
3
3
π
3π
e6
× ei 2 = i
.
=
ei 6 =
z3 =
2
2
8
8
!4
√
√
3 iπ
9 3
9 i 2π
9
9 i 4π
z4 =
e6
.
= e 6 = e 3 =− +i
2
16
16
32
32
!5
√
√
√
3 iπ
9 3
27
9 3 i 5π
e6
e 6 =− +i
.
z5 =
=
2
32
64
64
!6
√
3 iπ
27
27
e6
z6 =
= eiπ = − .
2
64
64
(b) Dans un repère d’unité 8 cm, placer les points Ai pour i variant de 1 à 6.
1
b
A3
A2
b
0.6
b
A4
0.5
b
A1
0.4
0.3
A5
b
0.2
0.1
b
A6
b
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1
O
b
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
A0
1.0
−0.1
2. Pour tout entier n, on pose dn = |zn+1 − zn |.
(a) Vérifier que pour tout n > 1, zn+1 − zn =
√ !
3
3
(zn − zn−1 ).
+i
4
4
Pour tout n > 1,
√ !
√ !
3
3
3
3
(zn − zn−1 ) =
zn −
+i
+i
4
4
4
4
= zn+1 − zn
√ !
3
3
zn−1
+i
4
4
(b) En déduire une relation entre dn+1 et dn , puis dn en fonction de d0 .
En passant aux modules, il vient, pour tout n > 1,
√ 3
3
|zn+1 − zn | = + i
× |zn − zn−1 |
4
4 dn = |Z|dn−1
√
3
dn =
dn
2
√
3
.
La suite (dn ) est donc géométrique de raison
2 r
√
√
3
1
3
3 1
3
1
d0 = |z1 − z0 | = + i
− 1 = − + i
+
= .
=
4
4
4
4 16 16
2
D’après le terme général d’une suite géométrique, pour tout n > 0, dn =
d0 × q n .
√ !n
1
3
Pour tout n > 0, dn = ×
.
2
2
(c) Donner une interprétation géométrique de dn .
dn = |zn+1 − zn | = An+1 An .
Pour tout entier n, dn est la longueur du segment [An An+1 ].
(d) Soit Ln =
n
X
Ak Ak+1 la longueur de la ligne polygonale de sommets suc-
k=0
cessifs A0 , A1 , . . . , An+1 .
Déterminer Ln en fonction de n et la limite de Ln quand n tend vers +∞.
2
D’après la somme des termes d’une suite géométrique,
Ln =
n
X
dk
k=0
=
=
=
=
√
√ !n+1
3
1−
2
√
d0 ×
3
1−
2 

√ !n+1
1
3
2
×
√
1−
2
2
2− 3


√ !n+1
√
3
2+ 3

1−
4−3
2


√ !n+1
√
3

(2 + 3) 1 −
2
3
< 1, donc lim
Or, −1 <
n→+∞
2
√ !n+1
3
= 0.
2
Par somme et produit, on en déduit que lim Ln = 2 +
n→+∞
√
3.
3. Pour tout entier n, on pose an = arg(zn ).
On montre facilement par récurrence que pour tout n, zn 6= 0, et la suite
(an ) est donc bien définie (les termes sont définis modulo 2π car ce sont des
arguments de nombres complexes).
(a) Établir une relation entre an et!an+1 .
√
3
3
On sait que zn+1 =
zn .
+i
4
4
√ !
3
3
+ arg(zn ) [2π]
+i
arg(zn+1 ) = arg
4
4
π
arg(zn+1 ) =
+ arg zn [2π]
6
π
+ an [2π]
an+1 =
6
(b) En déduire an en fonction de n.
π
Par définition, la suite (an ) est arithmétique de raison r = .
6
a0 = arg z0 = arg 1 = 0 [2π].
nπ
Donc pour tout n > 0, an = a0 + nr =
[2π].
6
(c) Pour quelles valeurs de n les points O, A0 et An sont-ils alignés ?
Les points O, A0 et An sont alignés si et seulement si An appartient à
l’axe des abscisses.
Cela équivaut à dire que zn est réel, soit arg(zn ) = 0 [π].
nπ
n
Cela est encore équivalent à
= 0 [π], soit est un nombre entier.
6
6
Les points O, A0 et An sont alignés si et seulement si n est multiple de 6.
3