Correction - Lycée Hilaire de Chardonnet

TS - Exercice sur les mouvements plans
Projection de gravier
Le pneu arrière d’un camion roulant à vitesse constante V = 90 km.h–1
sur une route horizontale projette une gravier vers l’arrière à une
vitesse V0 = 23 m.s–1 dans le référentiel de la route, et avec un angle
α = 10° par rapport à l’horizontale.
1. Etablir les équations horaires xG (t) et yG (t) du gravier dans le
référentiel de la route en négligeant les actions exercées par l’air.
On choisira un repère (Oxy) tel qu’à l’instant t = 0 le gravier est à
l’origine du repère.
2. Quelle est l’altitude maximum atteinte par le gravier ?
3. Une automobile suit le camion à la même vitesse V. On assimile
celle-ci à un point d’abscisse xA dans le repère précédent.
Etablir l’équation horaire xA (t) du mouvement de l’automobile si
l’on considère qu’à t = 0 l’automobile est à une distance d de la
roue arrière du camion.
4. Quelle est la distance minimale à laquelle doit se trouver la voiture
pour que le gravier soit retombé sur la chaussée avant que la
voiture n’arrive à son niveau ?
Correction
1) On étudie le système {gravier} dans le référentiel du sol, considéré comme galiléen.
La seule force en présence est le poids, de coordonnées 0P
mg−
r
La 2ème loi de Newton s’écrit ici :
P = m a , d’où, en projections : 0
x
y
aa
ag
=
=
−
r
Le vecteur vitesse
v (t) est une primitive du vecteur a , donc : 1
2
() C
C
x
y
vt v
vgt
=
=− ⋅ +
r
Or, à t = 0 , 00 1
02
cos C
sin C
vv
v
α
α
=
=
r
d’où : 0
0
() v cos
vsin
x
y
vt v
vgt
α
α
=
=− ⋅ +
r
De même, le vecteur position OG
u
uur (t) est une primitive du vecteur vitesse dont les
coordonnées sont nulles à l’instant t = 0 : G0
2
G0
OG() () (v cos )
1
() (v sin )
2
txt t
yt gt t
α
α
=⋅
=
−⋅+ ⋅
u
uur
2) Lorsque le gravier est à son point le plus haut, sa vitesse verticale s’annule, donc
vy = 0, soit –gt + v0 sinα = 0 , d’où 0sinv
t
g
α
=, on reporte dans l’expression de y (t) ce
qui donne, après avoir regroupé les termes :
()
2
0sin
2
Sv
yg
α
== 0,81 m.
3) D’après l’énoncé, l’automobile suit le camion à la vitesse constante V. Son vecteur
vitesse doit donc être horizontal et dirigé vers la gauche : donc vA(t) = –V
L’abscisse xA (t) est la primitive de vA telle qu’à t = 0 on ait xA = d .
D’où xA (t) = –Vt + d (avec V=25 m.s–1)
4) Calculons le « temps de vol » du gravier : il touche le sol lorsque yG = 0, soit :
2
1
2gt−⋅ 0
(v sin ) t α +⋅0
=
, d’où 0
2sin
sol v
tg
α
== 0,814 s
Attention, il ne suffit pas de remplacer dans xG car pendant ce temps l’automobile a
continué à avancer !
A cet instant tsol , l’automobile est à l’abscisse xA (tsol) = 0
2sinVvd
g
α
−
+.
Elle évitera le gravier ssi xA > xG , soit 2
00
2 sin V 2 cos sinvv
d
gg
α
αα
−+>
Ce qui donne :
()
00
2sin V+v cos v
dg
α
α
>, soit d > 38,8 m
V
y
x
O
V
0
V
α