Equations différentielles linéaires

UNIVERSITÉ D’ORLÉANS
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
CAPES M1 2010-2011
SEMAINE 21
Équations différentielles linéaires
1 - Déterminer les solutions définies sur IR de l’équation différentielle linéaire xy 0 − 3y = 0.
Montrer que l’ensemble des solutions est un espace vectoriel sur IR, quelle est sa dimension ?
2 - Soit I un intervalle ouvert (non vide) de IR, a : I → IR une fonction continue. On
considère l’équation différentielle
(1) y 0 − ay = 0 .
−
Rx
a(t)dt
a) Soit y : I → IR, déterminer la dérivée de la fonction x 7→ y(x)e x0
(où x0 ∈ I).
b) En déduire que l’ensemble des fonctions I → IR solutions de (1), est un sous-espace
vectoriel de dimension un de C 1 (I). Montrer que pour tout x0 ∈ I, y0 ∈ IR, il existe une
unique une solution y : I → IR de (1) telle que y(x0 ) = y0 .
c) Résoudre l’équation différentielle y 0 − a(x)y = x.
3 - Résoudre les équations différentielles (préciser s’il existe des solutions définies sur IR,
tracer les courbes intégrales)
(1) y 0 + xy = x (2) xy 0 + y = 0 (3) y 0 + xy = 1 + x2
(5) xy 0 − 2y = 1 (6) y 0 − y = ex (7) x2 y 0 + y = 1
(9) y 0 = y − y 2
(4) xy 0 − 2y = 0
(8) x3 y 0 − 2y = 1
4 - L’équation différentielle y 0 sin x − 2y cos x = 0, admet-elle des solutions définies sur IR ?
Les représenter graphiquement.
5 - Soit y 00 + ay 0 + by = 0 (où a, b ∈ IR) une équation différentielle linéaire du second ordre
à coefficients constants, y1 , y2 deux solutions sur un intervalle I ouvert (non vide). On
considère
y1 (x) y2 (x) .
W (x) = 0
y1 (x) y20 (x) Montrer que W est solution, sur I, d’une équation différentielle d’ordre 1, linéaire, à
coefficients constants. En déduire que W est, soit la fonction nulle sur I, soit ne s’annule
jamais.
1
6 - Soit a ∈ IR∗ , f : IR → IR continue et T -périodique. L’équation différentielle, y 0 +ay = f ,
a-t-elle des solutions T -périodiques sur IR ? Si oui, combien ?
7 - Soit α > 0, f : IR → IR de classe C 1 . Montrer que lim (f 0 (t) + αf (t)) = 0 entraı̂ne
t→+∞
lim f (t) = 0.
t→+∞
8 - Déterminer les fonctions f ∈ C(IR, IR), telles que, pour tout x réel,
f (x) −
Z x
tf (t) dt = 1 .
0
9 - Résoudre les équations différentielles,
(1) y 00 − 2y 0 − 3y = 0 (2) y 00 − 2y 0 − 3y = ex
(3) y 00 − 2y 0 − 3y = (x2 + 1)e−x .
10 - Résoudre les équations différentielles,
(1) y 00 + y 0 =
1
sin x
(2) y 00 − 2my 0 + y = ex pour m ∈ [−1, 1] .
11 - On considère l’équation différentielle x2 y 00 + xy 0 − y = x2 . Montrer que l’équation
différentielle homogène a une solution puissance sur IR∗+ , et une sur IR∗− . Solutions de
cette équation différentielle ?
12 - Équation d’Euler.
Soit f une fonction continue sur IR et a, b, c des réels avec a 6= 0 et l’équation différentielle
(E) ax2 y 00 + bxy 0 + cy = f (x) .
a) On pose x = εet avec ε = 1 si x > 0, ε = −1 si x < 0. Montrer que (E) se transforme
en
d2 y
dy
a 2 + (b − a) + cy = f (εet ) .
dt
dt
2 00
0
3
b) Solutions de x y − xy − 3y = x ?
13 - Problème aux limites.
Soit m ∈ IR, et l’équation différentielle y 00 + my = 0. Existe -t-il des solutions sur [0, π]
telles que y(0) = y(π) = 0 ? Si oui les déterminer.
Remarque : ce n’est pas un problème aux valeurs initiales (de Cauchy) !
14 - Déterminer les fonctions f deux fois dérivables de IR dans lui-même telles que pour
tout x, f 0 (−x) + f (x) = 0.
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