Equations différentielles linéaires

UNIVERSIT´ E D’ORL´ EANS CAPES M1 2010-2011
D´ EPARTEMENT DE MATH´ EMATIQUES SEMAINE 21
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Equations diff´erentielles lin´eaires
1 - D´eterminer les solutions d´efinies sur IR de l’´equation diff´erentielle lin´eaire xy0−3y= 0.
Montrer que l’ensemble des solutions est un espace vectoriel sur IR, quelle est sa dimen-
sion ?
2 - Soit Iun intervalle ouvert (non vide) de IR, a:I→IR une fonction continue. On
consid`ere l’´equation diff´erentielle
(1) y0−ay = 0 .
a) Soit y:I→IR, d´eterminer la d´eriv´ee de la fonction x7→ y(x)e−Rx
x0
a(t)dt (o`u x0∈I).
b) En d´eduire que l’ensemble des fonctions I→IR solutions de (1), est un sous-espace
vectoriel de dimension un de C1(I). Montrer que pour tout x0∈I, y0∈IR, il existe une
unique une solution y:I→IR de (1) telle que y(x0) = y0.
c) R´esoudre l’´equation diff´erentielle y0−a(x)y=x.
3 - R´esoudre les ´equations diff´erentielles (pr´eciser s’il existe des solutions d´efinies sur IR,
tracer les courbes int´egrales)
(1) y0+xy =x(2) xy0+y= 0 (3) y0+xy = 1 + x2(4) xy0−2y= 0
(5) xy0−2y= 1 (6) y0−y=ex(7) x2y0+y= 1 (8) x3y0−2y= 1
(9) y0=y−y2
4 - L’´equation diff´erentielle y0sin x−2ycos x= 0, admet-elle des solutions d´efinies sur IR ?
Les repr´esenter graphiquement.
5 - Soit y00 +ay0+by = 0 (o`u a, b ∈IR) une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre
`a coefficients constants, y1, y2deux solutions sur un intervalle Iouvert (non vide). On
consid`ere
W(x) = 
y1(x)y2(x)
y0
1(x)y0 2(x)
.
Montrer que West solution, sur I, d’une ´equation diff´erentielle d’ordre 1, lin´eaire, `a
coefficients constants. En d´eduire que West, soit la fonction nulle sur I, soit ne s’annule
jamais.
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6 - Soit a∈IR∗, f : IR →IR continue et T-p´eriodique. L’´equation diff´erentielle, y0+ay =f,
a-t-elle des solutions T-p´eriodiques sur IR ? Si oui, combien ?
7 - Soit α > 0, f : IR →IR de classe C1. Montrer que lim
t→+∞(f0(t) + αf (t)) = 0 entraˆıne
lim
t→+∞
f(t) = 0.
8 - D´eterminer les fonctions f∈ C(IR,IR), telles que, pour tout xr´eel,
f(x)−Zx
0
tf(t)dt = 1 .
9 - R´esoudre les ´equations diff´erentielles,
(1) y00 −2y0−3y= 0 (2) y00 −2y0−3y=ex(3) y00 −2y0−3y= (x2+ 1)e−x.
10 - R´esoudre les ´equations diff´erentielles,
(1) y00 +y0=1
sin x(2) y00 −2my0+y=expour m∈[−1,1] .
11 - On consid`ere l’´equation diff´erentielle x2y00 +xy0−y=x2. Montrer que l’´equation
diff´erentielle homog`ene a une solution puissance sur IR∗
+, et une sur IR∗ −. Solutions de
cette ´equation diff´erentielle ?
12 - ´ Equation d’Euler.
Soit fune fonction continue sur IR et a, b, c des r´eels avec a6= 0 et l’´equation diff´erentielle
(E)ax2y00 +bxy0+cy =f(x).
a) On pose x=εetavec ε= 1 si x > 0, ε=−1 si x < 0. Montrer que (E) se transforme
en
ad2y
dt2+ (b−a)dy dt +cy =f(εet).
b) Solutions de x2y00 −xy0−3y=x3?
13 - Probl`eme aux limites.
Soit m∈IR, et l’´equation diff´erentielle y00 +my = 0. Existe -t-il des solutions sur [0, π]
telles que y(0) = y(π) = 0 ? Si oui les d´eterminer.
Remarque : ce n’est pas un probl`eme aux valeurs initiales (de Cauchy) !
14 - D´eterminer les fonctions fdeux fois d´erivables de IR dans lui-mˆeme telles que pour
tout x, f0(−x) + f(x) = 0.
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