son corrigé

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee universitaire 2010-2011
M1 Master math´ematiques et applications - Cours MM006
Bases des m´ethodes num´eriques - E. Godlewski et M. Vohralik
Partiel du vendredi 22 octobre 2010 - ´ El´ements de corrig´e
dur´ee 2 heures - aucun document n’´etait autoris´e
Il ´etait demand´e de justifier pr´ecis´ement les r´esultats et de r´ediger soigneusement.
Toutes les questions sont ind´ependantes.
Question 1 (3 points)
Rappeler le principe g´en´eral de la m´ethode de diff´erences finies pour approcher la
d´eriv´ee premi`ere d’une fonction u0(xi) en un point xid’une grille uniforme x0, x1,...xN+1.
On veut construire une formule de diff´erences finies d´ecentr´ee utilisant exactement trois
points xi, xi+1, xi+2 (on prendra i≤N−1). Est-il possible de choisir les coefficients pour
que la m´ethode soit d’ordre 2 ? D´efinir l’erreur de consistance et l’´evaluer en pr´ecisant
la r´egularit´e suppos´ee pour la fonction u.
R´eponse. Soit uune fonction suppos´ee d´erivable sur [a, b]=[x0, xN+1]. On d´efinit une
grille uniforme de pas h=1
N+1 , les points int´erieurs sont xi=x0+ih, i = 1, ..N, et on
approche la d´eriv´ee u0(xi) en un point xide la grille en utilisant uniquement des valeurs
de la fonction aux points de la grille, soit les valeurs uj≡u(xj).
On posera xi+1 −xi=h. On cherche donc une formule de la forme suivante
u0(xi)∼pui+2 +qui+1 +rui
h
et on cherche les coefficients p, q, r pour que la formule soit d’ordre 2. Pour cela, on
utilise des d´eveloppements de Taylor de u(xi+2) et u(xi+1) au point xi, en supposant
usuffisamment r´eguli`ere, et on substitue ces d´eveloppements dans la formule cherch´ee,
dans laquelle on regroupe les termes d’ordre 0, 1 et 2 en puissance de h. L’orde 2 impose
que p, q, r v´erifient le syst`eme
p+q+r= 0 (on annule le terme ordre 0 au num´erateur)
2p+q= 1 (celui d’ordre 1)
4p+q= 0 (celui d’ordre 2).
Ce syst`eme a une unique solution qui conduit `a la formule
u0(xi)∼−ui+2 + 4ui+1 −3ui
2h
et l’erreur de consistance est la diff´erence E(xi) = u0(xi)−−u(xi+2h)+4u(xi+h)−3u(xi)
2h.Si
u∈ C3, on obtient la formule permettant d’´evaluer l’erreur de consistance E(xi) : ∃ξx∈
(x, x +h), ζx∈(x, x + 2h)
E(x) = u0(x)−−u(x+ 2h)+4u(x+h)−3u(x)
2h=h2 3(−u(3)(ξx)+2u(3)(ζx))
1

L’erreur |E(x)|pourra se majorer par C3h2o`u C3d´esigne le maximum de u(3) sur l’in-
tervalle [a, b].
Question 2 (6 points)
On consid`ere le probl`eme aux limites (on note u00(x)≡d2u
dx2(x))
(P) 
−ku00(x) = f(x), x dans ]a, b[, b > a
u0(a) = α, u(b) = β
o`u k > 0, α, β sont des constantes donn´ees, f∈ C2([a, b]). On discr´etise ce probl`eme par
diff´erences finies, en utilisant la formule de diff´erences finies usuelle centr´ee `a 3 points
pour approcher u00(xi), formule que l’on rappellera, et en discr´etisant la condition limite
u0(a) grˆace `a la formule de la question pr´ec´edente. Ecrire le syst`eme d’´equations obtenues
sous la forme d’un syst`eme lin´eaire `a r´esoudre en pr´ecisant la dimension, les inconnues,
les coefficients de la matrice et le second membre. Est ce que le sch´ema obtenu est
consistant ? (´etudier son erreur de consistance).
R´eponse. Le probl`eme est pos´e dans un cadre classique et on a une solution r´eguli`ere
u∈ C2([a, b]). On prend un maillage uniforme de pas h=1
N+1 ,N > 0 entier, on d´efinit
les noeuds xi=a+ih, i = 0, ..., N + 1, donc x0=a, xN+1 =b. On pose f(xi) = fi.
La formule usuelle pour approcher la d´eriv´ee seconde est (d´etaill´ee dans le polycopi´e) :
u00(xi)∼ui+1 −2ui+ui−1
h2et l’erreur de consistance est donn´ee par : ∃yi∈(xi−1xi+1)
−u00(xi)−(−u(xi+1)+2u(xi)−u(xi−1)
h2) = h2 12u(4)(yi).
On reporte cette formule dans l’´equation de (P), aux point int´erieurs −u00(xi) = 1
kfi,
i= 1, .., N. On veut pouvoir calculer des valeurs ui∼u(xi) ; on demande donc qu’elles
v´erifient le syst`eme lin´eaire
−ui+1 + 2ui−ui−1
h2=fi k, i = 1, ..., N.
La derni`ere ´equation pour i=Nfait intervenir la valeur uN+1 qui peut ˆetre donn´ee par
la condition aux limites exacte uN+1 =β, et on reporte le terme correspondant dans le
second membre. Par contre, pour i= 1, la formule fait intervenir u0, la valeur approchant
u0=u(a) qui n’est pas connue. Le syst`eme est a priori un syst`eme `a N+ 1 inconnues ui,
i= 0, ...N, il manque une ´equation. On utilise la donn´ee u0(a) = αet la discr´etisation de
u0(a)∼−u2+4u1−3u0
2hde Q1. En prenant u0∼u0tel que α=−u2+4u1−3u0 2h, on peut alors
rajouter cette ´equation et ´ecrire un syst`eme (N+ 1) ×(N+ 1) en (u0, u2, . . . , uN)T.
Pour montrer que ce syst`eme a une solution, on peut exprimer u0=−1
3(2αh+u2−4u1)
et reporter dans la premi`ere ´equation (i= 1), on obtient u1−u2=3
2f1h2 k−αh. On doit
alors r´esoudre le syst`eme lin´eaire N×N
Ahuh=bh
2

d’inconnues uh= (u1, u2, . . . , uN)T, de matrice (sym´etrique)
Ah=1
h2
1−1. . . . .
−1 2 −1 0 0
0−1 2 −1 0
.
.
.
. . . . 0−1 2
de second membre bh= (3
2
f1
k−α h,f2 k,...,fN k+β h2)T. On montre facilement que la matrice
Ahest sym´etrique d´efine positive (calquer la d´emonstration du polycopi´e). Le syst`eme a
donc une solution unique uh, et on d´efinit u0=−1
3(2αh +u2−4u1).
L’erreur de consistance est εh=Ahuh−bh, avec uh= (u(xi))1≤i≤No`u uest la
solution exacte. Remarquons que, vue la simplicit´e de l’´equation de (P), si f∈ C2([a, b]),
la solution u∈ C4([a, b]). Les composantes εh,i, pour i= 2, ..., N s’´evaluent de fa¸con
standard par |εh,i| ≤ 1
12 C4h2o`u C4d´esigne le maximum de u(4) sur l’intervalle [a, b]. La
premi`ere composante est εh,1=1
h2(u(x1)−u(x2)−3 2
f1
k+α havec α=u0(x0) et aussi
f1
k=−u00(x1). On ´ecrit εh,1=1 h2(u(x1)−u(x2) + hu0(x0)) + 3 2u00(x1) ; on utilise un
d´eveloppement de Taylor en x0pour obtenir εh,1=O(h) et |εh,1| ≤ 3
2C3ho`u C3d´esigne
le maximum de u(3) sur l’intervalle [a, b]. La m´ethode est bien consistante.
Question 3 (6 points)
D´efinir la formulation variationnelle du probl`eme (P) pr´ec´edent dans un sous espace
Vde C1([a, b]). Pr´eciser le sous espace, les formes bilin´eaire et lin´eaire de cette formula-
tion. Etudier l’´equivalence entre la solution du probl`eme (P) et celle de sa formulation
variationnelle : ´enoncer un r´esultat pr´ecis (en indiquant dans quel espace est la solution
de (P)) et d´emonter ce r´esultat.
R´eponse. Puisqu’on a une condition de Dirichlet en b, on d´efinit l’espace V={v∈
C1([a, b]), v(b) = 0}. On se ram`ene `a une condition homog`ene en posant ˜u=u−β, et si
u∈ C2([a, b]) est solution de (P), ˜u∈ V. Comme ˜u0=u0,˜u00 =u00, cela ne change pas la
conditon de Neumann en ani l’´equation. On multiplie l’´equation par vet on int`egre sur
(a, b). En int´egrant par parties, il vient
−k[˜u0v]b
a+kZb
a
˜u0v0dx =Zb
a
f(x)v(x)dx.
On utilise la condition limite en aet v(b) = 0 pour obtenir [˜u0v]b
a=αv(a). On d´efinit
alors
a(u, v) = Zb
a
ku0v0dx, `(v) = Zb
a
f(x)v(x)dx −kαv(a).
On v´erifie que aest bilin´eaire, `est lin´eaire ; on va pr´eciser la continuit´e un peu plus
tard. La formulation variationnelle s’´ecrit :
(FV) trouver u∈ V,∀v∈ V, a(u, v) = `(v).
On a montr´e : usolution de (P) ⇒˜usolution de (FV).
3

R´eciproquement, si ˜u=u−βest solution de (FV), et si de plus u∈ C2(a, b), alors
on int`egre par parties et on remonte les calculs pour obtenir
k[u0v]b
a−kZb
a
u00v0dx =Zb
a
f(x)v(x)dx −kαv(a).
En prenant v∈ V telle que v(a) = 0, on obtient −kRb
au00vdx =Rb af(x)v(x)dx, et par
densit´e de cet ensemble de fonctions, on obtient bien −ku00 =f. En choisissant ensuite
une fonction v∈ V telle que v(a)6= 0, par exemple v(x) = x−bon obtient alors
u0(a) = α. Enfin ˜u∈ V ⇒ ˜u(b) = 0 donc u(b) = β. On a montr´e : ˜u=u−βsolution de
(FV) et u∈ C2(a, b)⇒usolution de (P).
Si on anticipe sur l’introduction des espaces de Sobolev, aest continue et elliptique
sur Vmuni de la semi-norme |.|1,(a,b)qui, sur l’espace V={v∈H1(a, b), v(b)=0},
est ´equivalente `a la norme ||.||1,(a,b). L’espace Vn’est pas un espace de Hilbert, mais on
pourra appliquer le th´eor`eme de Lax-Milgram sur son compl´et´e V=Vdans H1(a, b)
pour prouver l’existence d’une solution dans V=Vqui, lui, est un espace de Hilbert.
En effet, aest bien V-elliptique et `est continue, toutes les hypoth`eses sont v´erifi´ees.
Quelques remarques (et quelques erreurs `a ne plus faire !)
Dans la m´ethode des diff´erences finies pour approcher (P), on ne cherche pas une
fonction uapprochant umais des valeurs ui∼u(xi) en des points d’une grille uniforme.
Dans la formulation variationnelle a(u, v) = `(v), on cherche la solution udans le
mˆeme espace que les fonctions tests v.
La question 2 utilisant une autre discr´etisation par diff´erences finies de la d´eriv´ee
u0(a) conduisait `a un autre syst`eme `a r´esoudre ; il fallait aussi ´etudier la consistance.
D’une fa¸con g´en´erale, il faut : v´erifier la coh´erence de ce qu’on ´ecrit (le nombre d’in-
connues, la forme de la matrice, ... ) ; bien d´efinir toutes les notations que l’on introduit
(les points xide la grille de discr´etisation, uid´esigne la valeur que l’on cherche `a calculer
ou la solution exacte au point xi, approch´ee par ui, ...) ; bien respecter l’´enonc´e (on est
sur [a, b], dans Q1 il n’y a pas de probl`eme (P) `a r´esoudre,...) et il est inutile de ressortir
les r´esultat du cours si c’est sans rapport avec les questions pos´ees.
Les signes “⇒,⇔” ont une signification logique pr´ecise `a n’utiliser que dans ce cadre.
Il ne faut pas n´egliger hdevant h2(0 < h < 1⇒h2< h).
Dans le contexte de ces m´ethodes, on ne peut pas dire qu’on calcule uhsolution d’un
syst`eme qui n’a pas autant d’´equations que d’inconnues ; ou qu’on calcule uhsolution de
Ahuh=bh+hquand hd´epend aussi de u; ou qu’on calcule uhsolution de Ahuh=bh
quand bhfait intervenir une valeur inconnue comme u(a).
On ne peut d´efinir une formulation variationnelle avec un espace de fonctions test V=
{v∈ C1([a, b]), v(b) = β}, ce n’est pas un espace vectoriel (il n’est s stable par addition ou
multiplication par un scalaire) ; ou avec une application comme `(v) = Rb
af vdx +ku0(b)β
(qui d´epend visiblement aussi de u) comme forme lin´eaire au second membre.
Rappel : C1n’est pas un espace de Hilbert.
L’´egalit´e u(b) = βli´ee `a la condition limite n’implique pas u0(b) = 0. ...
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