équations différentielles de la mécanique, avec scipy et

TP 11 : ´equations diff´erentielles de la m´ecanique, avec scipy et pylab
N.B. Ce T.P. est (tr`es) long, il s’´etalera sur plusieurs s´eances. Pour la premi`ere s´eance, le 1) suf-
fira peut-ˆetre ? Rappel : on fera from scipy import integrate pour disposer de integrate.odeint.
1 Vitesse de chute avec diff´erents frottements fluides
1.1 Etude abstraite
On consid`ere une chute le long de l’axe (Oz)avec un frottement fluide.
Le but est de comparer les trac´es des fonctions t↦v(t)pour des frottements de la forme k.v,
k.v2et k.v3, ce qu’on notera k.vαpour α=1,2,3.
La R.F.D. donne alors en orientant l’axe (Oz)vers le bas et en notant v(t)=z′(t):
mv′(t)=−kv(t)α+mg,
ce qu’on simplifiera en :
v′(t)=−λv(t)α+g.
En fait, la constante λva d´ependre de α, on la note λα. On choisit d’ajuster les constantes λα
pour avoir toujours la mˆeme vitesse limite ´egale `a 10m.s−1. Cela revient `a poser λα=g
10α.
Travail `a faire : `a l’aide de integrate.odeint du module scilpy et du module pylab,
tracez le graphe de t↦v(t)pour la C.I. v(0)=0 pour les trois valeurs de αpropos´ees. On prendra
g=9.81m.s−2.
1.2 Le saut de Felix Baumgartner
En 2012, F. Baumgartner r´ealise une chute libre depuis 39000m d’altitude, et il d´epasse le mur
du son au cours de sa chute. Ce paragraphe vise `a d´eterminer la loi de vitesse et d’altitude au
cours de la chute, en tenant compte des param`etres physiques du vol : la densit´e de l’air (et donc
les frottements) et la gravit´e ´evoluent.
La force de frottement est mod´elis´ee par une loi quadratique (´ecoulement turbulent) sous la
forme :
F=−1
2ρ(h)ACxv2,
o`u A=0,45m2est la surface apparente du bonhomme, Cx=0,8 le coefficient de train´ee dans l’air,
ρ(h)est la densit´e de l’air `a l’altitude het vla vitesse.
L’action de la pesanteur est donn´ee par :
P(h)=GMm
(R+h)2,
o`u G=6,73 ×10−11N.m2.kg−2est la constante de gravitation, M=6×1024kg la masse de la terre,
m=80kg celle du bonhomme, R=6,371 ×106mle rayon de la terre et hl’altitude.
a) Ecrire l’application du principe fondamental de la dynamique projet´e sur un axe vertical
orient´e vers le bas comme une E.D. avec les variables dv
dt ,vet h.
b) On admet que l’´evolution de la densit´e de l’air en fonction de l’altitude hest approch´ee par
la loi exp´erimentale suivante :
ρ(h)=1,433 ×e−0,00013hen kg.m−3.
Tracer la loi d’´evolution de la densit´e en fonction de l’altitude : peut-elle ˆetre consid´er´ee
comme constante ?
1

c) L’E.D. du a), ´ecrite en terme de la fonction h, est non-lin´eaire et du deuxi`eme ordre. Pour
l’int´egration num´erique, on rappelle qu’on doit poser un vecteur X=v
het l’´ecrire sous
la forme X′=F(X, t), avant d’utiliser integrate.odeint de scipy. Avec les conventions
d’orientation donn´ees plus haut l’altitude hest reli´ee `a la vitesse par dh
dt (t)=−v(t).
Int´egrer cette E.D. avec la condition initiale v(0)=0, h(0)=39000 et tracer l’´evolution de
vet hpour les 120 premi`eres secondes.
d) Le fichier mesure_chute_Baumgartner_TVH.csv dans /home/profs/bondil/public contient
les donn´ees mesur´ees lors du saut par la centrale inertielle et le module GPS sur les 120
premi`eres secondes de vol. Les trois colonnes du fichier sont le temps t, la vitesse vet
l’altitude h.
Lire le fichier de mesure avec Python et tracer la vitesse th´eorique superpos´ee avec la
vitesse mesur´ee. Faire de mˆeme pour l’altitude.
Rappel : Pour r´ecup´erer les donn´ees, on utilisera :
fic=open("mesure_chute_Baumgartner_TVH.csv","r")
text=fic.readlines()
fic.close()
Ensuite les donn´ees sont sous forme d’une liste de chaˆıne de caract`eres qu’il faut encore
convertir pour les tracer.
On pourra utiliser la m´ethode split sur les chaˆınes de caract`eres : pour comprendre `a quoi
¸ca sert, essayer :
Ligne=text[0]
print(Ligne)
Ligne=Ligne.split(’,’)
print(Ligne)
2 Etude d’un tir balistique avec diff´erents frottements fluides
Un canon tire un obus avec une vitesse de norme v0et un angle α. Le vecteur vitesse initiale
est donc de la forme  v(0)=v0(cos(α) ex+sin(α) ez)(axe  ezvertical vers le haut).
Durant sa trajectoire l’obus n’est soumis qu’`a son poids et `a une force de frottement fluide : on
va consid´erer diff´erents mod`eles pour ce frottement.
2.1 Le cas o`u il n’y a pas de frottement du tout : les paraboles et la
parabole de s´ecurit´e
La relation fondamentale de la dynamique donne md2ÐÐ→
OM
dt2=m
gs’int`egre directement.
On note  v(0)=v0(cos(α) ex+sin(α) ez)et bien sˆur :  g=−g ez(axe  ezvertical vers le haut).
En projection sur les axes, la R.F.D. ´equivaut `a 
x′′(t)=0,
z′′(t)=−g.
On prend M(0)=(0,0)=Odans le plan (O,  ex, ez). On prend g=9.81m.s−2.
a) Donnez l’expression explicite des fonctions t↦x(t)et t↦z(t)avec ces C.I.
b) Tracer une famille de courbes correspondant aux diff´erentes trajectoires obtenues avec un
angle de tir fix´e α=30o, en faisant varier la norme v0entre 1000 et 1500 m.s−1avec un pas
de 100.
c) On fixe au contraire maintenant v0=1000m.s−1. Tracer une famille de courbes Cαcorres-
pondant aux trajectoires obtenues pour diff´erents angles de tir α.
Un probl`eme d´ej`a ´etudi´e par E. Torricelli (De motu projectorum 1644) et repris par J. Bernoulli
que l’a r´esolu `a la fin du XVII`eme si`ecle, est de d´eterminer la courbe de s´ecurit´e pour cette derni`ere
famille de paraboles : celle qui nous mettrait `a l’abris des tirs.
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d) Id´ee : raisonner en sens inverse.
(i) Justifier d’abord qu’une trajectoire Cαpeut aussi s’´ecrire comme le graphe Γad’une
fonction :
z=−g
2v2
0
x2(1+a2)+ax; en ayant pos´e a=tan(α),
le nombre a=tan(α)a un sens clair : c’est la pente du vecteur  v(0).
(ii) Prenons un point M=(x0, z0)du plan. La C.N.S. sur (x0, z0)pour qu’il existe un atel
que (x0, z0)soit sur une courbe Γaest que le discriminant ∆ de l’´equation du second
degr´e :
a2(−g
2v2
0)x2
0+ax0−g
2v2
0
x2
0−z0=0,
v´erifie ∆ ≥0.
Les points (x0, z0)tels que ∆ =0 correspondent `a la courbe de s´ecurit´e cherch´ee (bord
du domaine o`u ∆ ≥0). Les formules se simplifient : on peut faire tracer la courbe de
s´ecurit´e `a pylab.
2.2 Le cas d’un frottement proportionnel au vecteur vitesse
C’est encore un cas que l’on sait r´esoudre de mani`ere ≪exacte ≫:
La relation fondamentale de la dynamique donne md
v
dt =m
g−k vqu’on r´e´ecrit :
d v
dt +
v
τ=
g,
o`u τest donc homog`ene `a un temps.
Donn´ees num´eriques : g=9.81m.s−2et k=0.1N.s.m−1et m=140kg.
On note  v(0)=v0(cos(α) ex+sin(α) ez)et bien sˆur :  g=−g ez(axe  ezvertical vers le haut).
Alors l’´equation diff´erentielle projet´ee sur les deux axes donne :
dvx
dt +vx τ=0(1)et dvz dt +vz τ=−g(2)
On sait bien sˆur r´esoudre (1) et (2) et en d´eduire x(t)et z(t)par int´egration.
En effet (1)⇔vx(t)=vx(0)e−t/τet (2)⇔vz(t)=(vz(0)+gτ )e−t/τ−gτ .
De mˆeme qu’au §2.1 :
a) Tracer les trajectoires correspondants d’abord `a α=30oet diff´erentes valeurs de v0de 1000
`a 1500m.s−1avec un pas de 100m.s−1. Les trajectoires ont-elles une allure diff´erente des
trajectoires paraboliques du paragraphe pr´ec´edent ?
b) Reprendre la question du a) en prenant un coefficient τ=1. Voit-on mieux la diff´erence avec
les trajectoires paraboliques ?
2.3 L`a o`u on a besoin de ode : frottements fluides plus ´elev´es
On suppose maintenant que la force de frottement est proportionnelle `a v2(on tire `a partir
d’un sous-marin !)
La R.F.D. s’´ecrit maintenant : md
v
dt =m
g−kv. vo`u v= v, qu’on r´e´ecrit :
d v
dt +λv
v= g,
Les ´equations diff´erentielles deviennent beaucoup plus compliqu´ees :
(S)
x′′(t)+λx′(t)2+z′(t)2x′(t)=0,
z′′(t)+λx′(t)2+z′(t)2z′(t)=−g.
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On peut n´eanmoins les r´esoudre num´eriquement avec scipy.
Pour cela, on cr´ee un vecteur X(t)=[x(t), z(t), x′(t), z′(t)]∈R4.
On d´efinit une fonction (X, t)∈R4×R↦F(X, t)∈R4(qui en fait ne d´epend pas de tici mais,
cf. cours, c’est une contrainte de scipy), telle que X′(t)=F(X(t), t).
a) D´eterminer la fonction Fen question.
b) R´esoudre alors le syst`eme (S)ci-dessus avec integrate.odeint.
c) En d´eduire le trac´e de la courbe param´etr´ee t↦(x(t), z(t)) et tracer sur la mˆeme figure la
solution de l’´equation avec frottement fluide du §2.2 pr´ec´edent avec la constante λ=1 et
les mˆemes C.I. v0=1000 et α=π6.
3 Oscillateurs
3.1 Comparaison pendule simple, Oscillateur harmonique
Pour l’´equation du pendule simple θ′′(t)+ω2
0sin(θ(t)) =0 calculer les solutions pour la C.I.
θ(0)=1, θ′(0)=0 (pendule lˆach´e sans vitesse initiale).
On sait que ω2
0=g
l. On prend g=9.81m.s−2et l=0.5m.
Tracer la courbe solution, et sur un mˆeme dessin, la courbe solution de l’O.H. avec la mˆeme
C.I. pour un temps de 0 `a 10 s.
Moralit´e : L’amplitude θ(0)=1 radians (proche de 60 degr´es) ne peut pas ˆetre consid´er´ee
bien longtemps comme un petit mouvement ! Ll’usage en physique est de consid´erer que les ampli-
tudes initiales de moins de 15 degr´es donnent des ≪petits mouvements ≫) R´eessayer avec une telle
amplitude.
3.2 Portrait de phase :
3.2.1 Pour l’oscillateur harmonique : exemple du cours
Question : Comment obtenir en pylab un trac´e simultan´e pour diff´erentes conditions initiales ?
On pourra par exemple garder une vitesse initiale nulle et faire varier l’amplitude initiale.
3.2.2 Pour le pendule simple
A l’aide de ce qui pr´ec`ede, tracer aussi le portrait de phase du pendule simple avec les donn´ees
num´eriques ci-dessus. On choisira comme C.I. cette fois θ(0)=0 et on faire varier θ′(0)entre 1
et 13m.s−1: voir sur le graphique `a partir de quelle valeur de θ′(0)quitte-t-on le comportement
oscillant ? Comment retrouver cette valeur par un calcul ?
3.2.3 Pour le pendule simple amorti
On rajoute `a l’E.D. un terme en aθ′(t). On prend par exemple a=1. Tracer une nouvelle fois
le portrait de phase avec les mˆemes C.I. au 3.2.2
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