Fonction puissance entière Fonction puissance négative Fonction

Fonctions usuelles
ECS1-2012
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Fonction puissance entière
(x → xn ), pour n ∈ N∗ :
bijection de R+ dans R+ si n pair,
bijection de R dans R si n impair,
croît vers l'inni d'autant plus vite que n est grand (qd x → +∞),
En 0, s'écrase d'autant plus que n est grand,
dérivée en 0 nulle (tangente horizontale), point d'inexion en 0, si n est impair.
Tracer le graphe ci contre, pour n pair et n impair !
Fonction puissance négative
(x → x−n ), pour n ∈ N∗ .
lim x−n = 0, lim+ x−n = +∞ (en 0− cela dépend de la parité de n),
x→+∞
x→0
quand x → +∞ : tend vers 0 d'autant plus vite que n est grand,
quand x → 0+ : tend vers +∞ d'autant plus vite que n est grand.
Tracer des graphes ci contre !
Fonction racines
cas pair Si
n est pair, la fonction (x 7→ xn ) est continue et strictement croissante de R+ dans R+ . On peut donc
dénir une fonction réciproque :
√
n
{
·:
R+ → R+
√
x 7→ n x.
Cette fonction est croissante et continue. Elle est dénie par :
∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R+ , xn = y ⇔ x =
√
n
y.
Tracer le graphe !
cas impair Si n est impair, la fonction (x 7→ xn ) est continue et strictement croissante de R dans R. On peut donc
dénir une fonction réciproque, cette fois-ci dénie sur R :
√
n
{
·:
R →
x 7→
R
√
n
x.
Cette fonction est croissante et continue.
√
n
1
1
x ⇐⇒ y n = x ⇐⇒ n ln(y) = ln(x) ⇐⇒ ln(y) = ln(x) ⇐⇒ y = exp( ln(x)).
n
n
√
1
On écrit donc alors : n x = x n .
( 1 )p
√
1
p
On a donc : (xp ) q = x q = x q . Mais on a : (−1)2 = 1 6= (−1)1 . On retrouve le fait que la notation xa soit
exclusivement réservée au cas où x > 0 (sinon : on écrit des horreurs très vite...) et désigne dans ce cas exp(a ln(x)).
Si x > 0 on a y =
On a :√
n 0 = 0√, avec tangente verticale en 0,
lim n x = +∞, d'autant plus vite que n est petit,
x→+∞
en 0 d'autant plus verticale que n est grand.
Tracer le graphe !
Fonction logarithme
ln
Quelques rappels
Dénition 1
Soit
(f, F ) ∈ (F(I, R))2 .
Proposition (admise) 1
F
est une primitive de
(f, F, G) ∈ (F(I, R))3 . On suppose que F
f sur I ) ⇐⇒ (∃k ∈ R tel que G = F + k).
Soit
Alors (G est une primitive de
On dit que
f
sur
I
si
F
est dérivable et si
est une primitive de
f
sur
F 0 = f.
I.
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Proposition (admise) 2
Soit
f ∈ F(I, R).
Si
prenant une valeur donnée en un point donné de
Proposition (admise) 3
Proposition 1
a
Si
f
f
admet des primitives sur
est une fonction continue sur I, alors
(cf chapitre fonction réelles) Si
est un réel), et si
f
I.
f
2/5
f
I,
alors il en existe une et une seule
admet des primitives sur
I.
]a, +∞[ (où
ou bien +∞.
est une fonction dénie sur un intervalle de la forme
est croissante, alors elle admet une limite en
+∞.
Cette limite peut être un réel
Dénition du logarithme népérien
Dénition 2
On la note
On appelle fonction logarithme népérien l'unique primitive de
∫
x
ln(x) =
1
(x →
1
dt.
t
1
)
x
sur
R+∗
qui vaut
0
en
x = 1.
NB : Le logarithme népérien est donc une application dérivable (car c'est la primitive d'une fonction continue) et de
plus ∀x > 0,
ln0 (x) := x1 .
Proposition 2
La fonction
(x → ln(x))
vérie l'équation suivante :
∀(x, y) ∈ (R+∗ )2 , ln(x · y) = ln(x) + ln(y).
Preuve 1 Soit a ∈ R+∗ xé. La fonction (x → ln(ax)) a pour dérivée la fonction h
: h(x) =
a
ax
= x1 . C'est donc une
primitive de la fonction (x → x1 ). D'après la proposition rappelée en début de partie (proposition 1),
∃k ∈ R tel que ∀x ∈ R+∗ , ln(ax) = ln(x) + k.
En prenant x = 1, on obtient : ln(a) = k.
On a donc ∀x ∈ R+∗ , ln(ax) = ln(x) + ln(a). Ceci étant vrai pour a quelconque, on a le résultat.
Comme ln(1) = 0, le logarithme de l'inverse est l'opposé du logarithme.
∀x > 0,
ln(x ×
1
) = ln(1) = 0
x
⇒
1
ln(x) + ln( ) = 0
x
⇒
1
ln( ) = − ln(x).
x
Plus généralement, le logarithme d'un quotient est la diérence des logarithmes.
∀x > 0,
x
ln( ) = ln(x) − ln(y).
y
∀y > 0,
et la logarithme d'une puissance est
∀x > 0,
∀n ∈ Z,
ln(xn ) = n ln(x).
Le logarithme népérien n'est pas la seule application vériant la propriété 2. En eet, elle est vériée par les logarithmes
dénis pour d'autres bases de la façon suivante :
Dénition 3
Le logarithme en base
a>1
est l'application
∀x > 0,
Le logarithme en base
10
sera simplement noté
log
loga :]0, +∞[→ R
loga (x) :=
dénie par
ln(x)
.
ln(a)
ou Log au lieu de
log10 .
Etude de la fonction ln
1
d
(ln)(x) =
> 0, donc la fonction ln est strictement croissante sur R+∗ . La fonction ln étant strictement
dx
x
croissante,d'après la propriété 1, elle admet une limite nie ou innie en +∞. Comme ln(2n ) = n ln(2), on a
lim ln(2n ) = +∞.
n→∞
La fonction ln n'est donc pas majorée. La limite de ln en +∞ ne peut donc être que +∞.
En posant X = 1/x, on en déduit lim ln(x) = −∞.
x→0
Proposition 3
lim ln(x) = +∞,
x→+∞
lim ln(x) = −∞.
x→0
On étudie φ(x) = x − 1 − ln(x). Une étude rapide montre que φ(x) ≥ 0, ∀x ∈ R+∗ . La courbe est donc située au dessous
de sa tangente au point d'abscisse 1.
Remarque 1 La fonction ln étant dérivable en 1, on a :
lim
x→1
ln(x)
ln(1 + h)
= lim
= 1.
h→0
x−1
h
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Exponentielle réelle
La fonction ln est une fontinue de R+∗ dans R. Elle est strictement croissante sur R+∗ .
Par ailleurs, on lim ln(x) = −∞ et lim ln(x) = +∞. D'après le théorème de la bijection monotone, ln réalise donc
x→+∞
x→0
une bijection de R+∗ dans R. C'est à dire qu'à tout réel y , on peut associer l'unique réel strictement positif x tel que
ln(x)=y . On appelle exponentielle et on note exp la fonction réciproque de ln, c'est à dire :
exp :] − ∞; +∞[ −→]0; +∞[
y −→ x tel que ln(x) = y.
∀x ∈ R, ∀y ∈ R+∗ , (y = exp(x) ⇔ ln(y) = x).
∀x ∈ R, ln(exp(x)) = x.
∀y ∈ R+∗ , exp(ln(y)) = y.
ln(1) = 0 ⇔ exp(0) = 1.
On pose exp(1) = e On a alors ln(e) = 1.
On a la valeur numérique e = 2.718281828, puis on introduit la notation :
∀x ∈ R,
ex := exp(x).
Cette notation est justiée car on a ∀x ∈ N, ln(ex ) = x.
L'exponentielle est strictement croissante, car c'est la fonction réciproque d'une application strictement croissante. De
plus, lim ex = 0 et lim ex = +∞.
x→−∞
x→+∞
Proposition 4
L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles.
∀(x, y) ∈ R2 ,
Par conséquent :
1
= e−y .
ey
∀y ∈ R,
(1)
ex+y = ex × ey .
(il sut de prendre
x+y =0
dans l'équation précédente))
Et plus généralement, l'exponentielle d'une diérence est le quotient des exponentielles :
Preuve 2
ex−y =
ex
.
ey
ex+y est l'unique solution de ln(ex+y ) = x + y , or on voit que ex ey est une solution de cette équation.
Proposition (admise) 4
L'exponentielle réelle est une application continue et indéniment dérivable sur
on a
∀x ∈ R,
Si
∀(x, y) ∈ R2 ,
f :I→R
est dérivable en
a∈I
, alors la fonction
R. De plus,
exp0 (x) = exp(x).
g : x 7→ ef (x)
est dérivable en
a
et on a
d f (x)
(e
)(a) = g 0 (a) = f 0 (a)ef (a) .
dx
Proposition 5
On a :
∀x ∈ R, 1 + x ≤ ex .
Ce qui signie que la courbe représentative de la fonction exp est au-dessus
de sa tangente en 0.
Preuve 3 On pose φ(x) = ex −1−x, alors φ0 (x) = ex −1 > 0 pour x > 0 et φ0 (x) < 0 pour x < 0, donc φ(x) > φ(0) = 0
(faire un petit tableau de variations)
Attention : l'écriture ax a un sens si
x ∈ N, et a quelconque ; alors ax = a| × a ×{za · · · × a}
x fois
1 1 1
1
x ∈ Z− et a 6= 0 ; alors , pour x < 0, on a ax = × × · · · ×
|a
x ∈ R et a > 0 ; on a alors : ax = exp (x ln (a))
a {za
−x
fois
a}
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x
x
Etude des fonctions exponentielles
(
) (x → a ) . La fonction (x → a ) est dérivable, comme composée de fonctions
d (ax ) d exp(x ln(a))
dérivables et
=
= ln(a) × exp(x ln(a)) = ln(a) × ax (dérivation d'une fonction composée)
dx x
dx
La fonction (a → a ) est croissante si et seulement si
ln(a)>0 c'est à dire si et seulement si a > 1.
0 si a > 1

Etudes des limites : lim expa = lim exp(x ln(a)) =
+∞ si a < 1
−∞
x→−∞

1 si a = 1
Etude d'une fonction f de la forme f (x) = u(x)v(x) .
Dérivation et étude des variations
La fonction f est dénie sur un domaine sur lequel u(x) > 0; on suppose u et v dérivables. On dérive f comme
une fonction composée.
f (x) = exp (v(x) · ln(u(x)) ⇒
d
d
(f (x)) =
[v(x) ln(u(x))] · exp (v(x) · ln(u(x))
dx
dx
d
u0 (x)
=
[v(x) ln(u(x))] · u(x)v(x) = [v 0 (x) ln(u(x)) + v(x)
] · u(x)v(x) .
dx
u(x)
NB : cette formule n'est pas à connaître par coeur. Il faut néanmoins savoir faire ce genre de calcul sans hésiter...
Exemple 1 Dériver (x → xx ). A FAIRE !
Remarque 2 Pour étudier les variations de f dénie par f (x) = u(x)v(x) , il sut en fait d'étudier
d
[v(x) ln(u(x))]
dx
qui est du même signe que f 0 (x). On n'est pas très étonné, car f (x) = exp(v(x) ln(u(x))). Comme la fonction exp est
strictement croissante, il est clair que, pour toute fonction g , les fonctions g et exp ◦ g auront les mêmes variations.
Calculs de limites
Attention : si u(x) → 1 et v(x) → ∞, on a une forme indéterminée.
Calculer x→+∞
lim (1 +
1 x
1
1 2
) et lim (1 + 2 )x et lim (1 + )(x )
x→+∞
x→+∞
x
x
x
Croissances comparées des fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
3.
ln(x)
=
x
(ln(x))α
∀(α, β) ∈ (R+∗ )2 , lim
=
x→+∞
xβ
∀(α, β) ∈ (R+∗ )2 , lim+ xβ (| ln(x)|)α =
4.
∀a ∈]1, +∞[, ∀α ∈ R,
Théorème 1
2.
5.
1.
lim
x→+∞
x→0
ax
=
x→+∞ xα
∀a ∈]1, +∞[, ∀α ∈ R, lim ax |x|α =
lim
x→−∞
6. Application :
∀k ∈ N, ∀x ∈] − 1, 1[,
lim nk × xn =
n→+∞
A FAIRE : En admettant l'item 1, démontrer les autres item du theorème de croissances comparées. Nous avons vu
des choses analogues dans le chapitre sur les suites. Je démontrerai l'item 1 en cours.
Exercices : Calculer les(limites) suivantes, si elles existent :
lim xx , lim+ xx , lim
x→+∞
x→0
x→+∞
1+
3
x
(5x)
ln(x)
x3
√ =
,
lim
x→+∞ ex
x→+∞ e x
, lim
Exponentielle complexe
Dénition 4
Si z ∈ C, avec z = a + ib, on
ea eib noté ez . Cette dénition permet donc de
0
0
ez+z = ez ez .
appelle
exponentielle du nombre complexe z ,
le nombre complexe
prolonger l'exponentielle au nombres complexes, en gardant la propriété
Attention, si a ∈ C, ea = ea+2πi , on ne peut donc pas dénir le logarithme d'un nombre complexe. Ne pas poser
par exemple ln(ρeiθ ) = ln(ρ) + iθ, parce que θ est déni à 2π près.
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Fonctions trigonométriques
Dénition 5
On dit qu'une fonction
f : D → R est T périodique si ∀x ∈ R, x ∈ D ⇒ x+T ∈ D et f (x+T ) = f (x).
T et sa courbe représentative
Autrement dit son ensemble de dénition est invariant par translation de vecteur
aussi.
Dans ce cas on a par récurrence immédiate f (x + nT ) = f (x).
Fonction sinus
La fonction sinus est dénie sur R, 2π périodique et impaire, sa dérivée vaut : sin0 (x) = cos(x).
La tangente en 0 a pour coecient directeur 1 : on a : limx→0 sin(x)
= 1. La fonction est en-dessous de sa tangente en
x
0 sur R+∗ , autrement dit : ∀x > 0, sin(x) < x.
Tangente horizontale aux points x = π2 + kπ où k ∈ Z.
Fonction cosinus
La fonction sinus est dénie sur R, 2π périodique et paire, sa dérivée vaut : cos0 (x) = − sin(x). La tangente en 0
est horizontale. On a :
lim
x→0
cos(x) − 1
1
=−
x2
2
Fonction tangente
La fonction tangente est dénie sur
R\
{π
2
+ kπ |k ∈ Z
}
=
[
∪] π
π
sin x
− + kπ, + kπ , par : tan x =
.
2
2
cos x
k∈Z
Elle est continue et dérivable sur son ensemble de dénition avec : tan0 (x) = 1 + tan2 (x) =
tan x
En 0, la tangente est y = x et lim
x→0
x
Enn, la fonction tan est impaire.
1
cos2 (x)
= 1 et la fonction est au dessus de sa tangente : ∀x ∈]0, π/2[, tan(x) > x.
Revoir le formulaire de trigonométrie vu en début d'année !
Fonction Arctangente
]
[
Soit t la restriction de la fonction tangente à − π2 , π2 , sur cet intervalle t est strictement croissante et continue, à
valeur dans R. On peut donc dénir sa bijection réciproque :
{
arctan :
R →
x 7→
] π π[
−2, 2
arctan(x)
c'est une fonction continue et strictement croissante.
Elle est dénie par :
[
]
π π
, ∀y ∈ R, tan(x) = y ⇔ x = arctan(y)
∀x ∈ − ,
2 2
On a donc :
] π π[
∀x ∈ − ,
, arctan(tan(x)) = x
2 2
et
∀y ∈ R, tan(arctan(y) = y.
Proposition 6
La fonction
arctan
Tableau de valeurs :
est impaire.
y
arctan(y)
Exercice Prouver que : ∀x > 0,
0
0
√1
3
π
6
1
π
4
√
3 +∞
π
3
π/2
−∞
−π/2
1
π
arctan(x) + arctan( ) = . Que se passe-t-il pour x < 0 ?
x
2
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