TD Arithmétiques des entiers

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Arithmétiques des entiers
Exercice.1.
Vu en terminale
Exercice.6.
√
Démontrer que, pour tout entier n ≥ 0, (3 − 5)n + (3 + 5)n est divisible par 2n .
Indication : Montrer que la suite (un )n vérifie une relation de récurrence un+2 =
aun+1 + bun avec a, b entiers.
Itération de puissance
Exercice.7.
Soit n ≥ 2 et a un entier premier avec n. Pour tout k ∈ N, on note rk le reste de la
division euclidienne de ak par n.
1. Montrer que la suite rk est périodique.
2. Montrer que 13 divise 3126 + 5126 .
Exercice.3.
Suite récurrente linéaire
√
Soit n un entier (n ∈ Z).
1. Montrer que n2 ≡ 0 [8] ou n2 ≡ 4 [8] si n est pair, n2 ≡ 1[8] si n est impair.
2. Montrer que si n est impair, n4 ≡ 1 [8].
Exercice.2.
Classe : MPSI (4)
Termes consécutifs d’une suite
Soit (un ) la suite d’entiers définie par u0 = 14 et un+1 = 5un − 5. Démontrer que le
pgcd de deux termes consécutifs de la suite est constant. Préciser sa valeur.
Exercice.8.
Calcul de pgcd
Soit a, b et n des éléments de Z. Calculer les pgcd suivants :
1) (n2 + n) ∧ (2n + 1)
2) (15n2 + 8n + 6) ∧ (30n2 + 21n + 13)
2
2
3) ( a + ab + b ) ∧ ab.
Théorème de Pascal
Soit m ∈ N∗ et (ri )i la suite d’entiers définie par r0 = 1 et ri+1 est le reste de la division
euclidienne de 10ri par m.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel a = an . . . a0 en écriture décimale, on a
Exercice.9.
pgcd et ppcm imposés
n
a≡
∑ a i r i [ m ].
2. En déduire des critères simples permettant de reconnaître sur l’écriture décimale
d’un entier s’il est ou non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.
Exercice.4.
x ∧ y = 18
.
x ∨ y = 540
2. Généralisation : trouver une condition nécessaire et suffisante sur d et m pour qu’il
existe ( x, y) ∈ N2 tels que x ∧ y = d et x ∨ y = m.
1. Résoudre, dans N2 , le système :
i =0
Coefficients binomiaux
Exercice.10.
1.
2.
3.
4.
2n
Soit n ≥ 1. Montrer que (n + 1) divise
.
n
p
Soit p ≥ 2 premier. Montrer que p divise
pour k ∈ {1, . . . , p − 1}.
k
En déduire le petit théorème de Fermat :
Si n ≥ 1 et p est premier, n p ≡ n [ p].
(Plus difficile). Déduire de 2. que, pour tout N ∈ N∗ , pour tout j ∈ N∗ , pour tout
!pj
( x1 , . . . , x N ) ∈ Z N , on a :
N
∑ xi
i =1
Exercice.5.
N
≡
pj
∑ xi
Soit a, b et c des entiers non nuls.
1. Montrer que c/ ab =⇒ c/( a ∧ c)(b ∧ c).
2. Montrer que a ∧ b = 1 =⇒ a ∧ (bc) = a ∧ c.
Exercice.11.
Soient a, m, n ∈ N∗ avec a ≥ 2 et m ≤ n. On note d = ( an − 1) ∧ ( am − 1).
1. Montrer que an ≡ ar [ am − 1].
2. En déduire que d = ( ar − 1) ∧ ( am − 1), puis que d = an∧m − 1.
3. A quelle condition am − 1/ an − 1 ?
[ p].
i =1
Suites et congruence
Exercice.12.
(un ) une suite d’entiers naturels définie par u0 = 14 et un+1 = 5un − 6.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, un+2 ≡ un [4]. En déduire que pour tout
entier naturel k, on a u2k ≡ 2 [4] et u2k+1 ≡ 0 [4].
2. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a 2un = 5n+2 + 3.
(b) En déduire que pour tout entier naturel n, on a 2un ≡ 28 [100].
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Liens entre deux pgcd
Puissances égales
1. Montrer qu’un entier naturel qui est à la fois un carré et un cube est aussi le carré
d’un cube !
2. Généralisation : Soient a, b, n, m des entiers naturels avec n ∧ m = 1 et an = bm .
Montrer qu’il existe un entier c tel que a = cm et b = cn .
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Mr. Faress Moussa
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Arithmétiques des entiers
Exercice.13.
Le produit est un carré parfait
6. (a) Soit d un diviseur de n. On pose : Ad = {1 ≤ k ≤ n; k ∧ n = d} . Quel est le
cardinal de Ad ?
(b) En déduire que n = ∑ φ(d).
Soient a et b deux entiers premiers entre eux tels que leur produit ab est un carré
parfait. Montrer que a et b sont deux carrés parfaits.
Exercice.14.
d|n
Nombre de diviseurs d’un entier
Soit p un nombre premier impair. On rappelle que le groupe G = (Z/ pZ)∗ est cyclique, c’est-à-dire qu’il existe x0 ∈ G tel que { xs0 ; s ≥ 0} = G.
1. Soit x ∈ G. Que vaut x p−1 ?
r
∏ (αi + 1).
i =1
2. En déduire que si k est un carré dans Z/ pZ, alors k
3. Prouver la réciproque.
2. Montrer que n est un carré parfait si et seulement si d(n) est impair.
√ d(n)
3. Montrer que ∏ d = n
.
Exercice.19.
Equation du second degré
Test de primalité de Miller-Rabin
Soit p un nombre premier impair que l’on écrit sous la forme p = 2s .d + 1.
i
Soit a ∈ {1, . . . , p − 1}. On définit une suite récurrente (bi ) en posant bi = ad×2 .
1. Question préliminaire : Montrer que dans Z/ pZ, l’équation x2 = 1 entraîne x = 1
ou x = −1.
2. Montrer que bs ≡ 1 [ p].
3. On suppose que b0 n’est pas congru à 1 modulo p.
Montrer l’existence de i ∈ {0, . . . , s − 1} tel que bi ≡ −1 [ p].
4. En déduire un test de non-primalité d’un entier.
Exercice.17.
Exercice.20.
Ordre d’éléments
Carrés de Z/nZ
On considère l’équation x2 = 1 dans Z/nZ, où n ≥ 2.
1. Quel est le nombre de solutions pour n = pα , où α ≥ 1 et p est un nombre premier
impair ?
2. Quel est le nombre de solutions pour n = 2, 4 ?
3. Quel est le nombre de solutions pour n = 2α , α ≥ 3 ?
4. Quel est le nombre de solutions pour une valeur quelconque de n ?
Exercice.21.
Indicateur d’Euler
Théorème de Wilson
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Wilson :
Un entier n ≥ 2 est premier si et seulement si (n − 1)! ≡ −1 [n].
1. Soit p ≥ 2 premier. Combien de solutions l’équation x2 = 1 admet-elle de solutions
dans Z/ pZ ?
2. Soit p ≥ 2 premier. Montrer que ( p − 1)! = −1 [ p].
3. Soit n ≥ 2 un entier tel que n divise (n − 1)! + 1. Montrer que pour tout a ∈
{1, . . . , n − 1}, a est inversible dans (Z/nZ, ×). En déduire que n est premier.
Pour n ≥ 1 un entier, on définit l’indicateur d’Euler de n par :
φ(n) = card{k ∈ {1, . . . , n} / k est premier avec n}.
1. Calculer φ( p) lorsque p est un nombre premier.
2. Calculer φ( pα ), où p est premier et α ≥ 1.
3. Que signifie φ(n) pour l’anneau Z/nZ ?
4. En déduire que si n ∧ m = 1, alors φ(nm) = φ(n)φ(m).
5. Déduire des questions précédentes une formule pour calculer φ(n) pour tout entier
n.
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= 1.
On se propose de montrer qu’il n’existe pas d’entier n ≥ 2 tel que n divise 2n − 1. On
raisonne par l’absurde et on supposons qu’un tel entier n existe. On note p le plus petit
diviseur premier de n.
1. Montrer que p > 2.
2. On note m l’ordre de la classe de 2 dans (Z/ pZ)∗ , montrer que :
m/ p − 1 et m/n . Conclure.
Résoudre les équations suivantes :
1. x2 + x + 7 = 0 dans Z/13Z.
2. x2 − 4x + 3 = 0 dans Z/12Z.
Exercice.16.
p−1
2
4. Soit x ∈ G. Que peut valoir x( p−1)/2 ?
d/n
Exercice.15.
Carrés de Z/ pZ
Exercice.18.
α
Soit n un nombre entier, n = p1 1 . . . pαr r sa décomposition en produit de facteurs
premiers. On note d(n) le nombre de diviseurs de n.
1. Montrer que d(n) =
Classe : MPSI (4)
Exercice.22.
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Un groupe d’inversibles non cyclique
Mr. Faress Moussa
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Arithmétiques des entiers
n
b n . En dé2. Déterminer deux réels λ et µ tels
que pour tout entier n, Fn = λϕ + µϕ
1
1
duire que Fn = E √ ϕn +
.
2
5
3. Soit n ≥ 2. Montrer que le calcul du pgcd de Fn+1 et Fn par l’algorithme d’Euclide nécessite exactement n − 1 divisions euclidiennes (i.e. le premier reste nul est
obtenu à la (n − 1)e division). Quel est ce pgcd ?
4. Démontrer le théorème de Lamé :
Soient a et b deux entiers tels que 0 < b < a et de pgcd d. Montrer que si l’algorithme d’Euclide s’arrête au bout de (n − 1) divisions, on a :
a ≥ dFn+1 et b ≥ dFn .
5. Soit N ( a, b) le nombre de divisions euclidiennes à effectuer pour déterminer le
pgcd de a et b par l’algorithme d’Euclide. En déduire qu’il existe deux constantes
réelles (à préciser) α et β telles que pour tous les entiers a, b ∈ N∗ avec a > b > 0,
N ( a, b) ≤ α ln b + β.
Soit n ≥ 3 un entier.
n−2
≡ 1 [ 2 n ].
1. Soit a un entier impair. Montrer que a2
2. Le groupe (Z/(2n Z))∗ est-il cyclique ?
Indication :
1. Procéder par récurrence sur n.
2. Combien y-a-t-il d’éléments dans (Z/(2n Z))∗ ?
Exercice.23.
Lemme-chinois-version-racines-de-1
Pour tout entier n ≥ 1, on pose Un = { z ∈ C, zn = 1}.
1. Soit n ∈ N∗ . Démontrer que Un est un sous-groupe de (C∗ , ×).
2. Soient a et b deux entiers ≥ 1.
Soit l’application f : U ab → U a × Ub définie par f ( z) = ( zb , z a ).
(a) Démontrer que f est bien définie.
(b) Démontrer que f est un morphisme de groupes.
(c) On suppose a et b premiers entre eux. Démontrer que f est injective.
(d) On suppose toujours a et b premiers entre eux. Déduire de la question précédente que f est surjective.
Exercice.24.
Exercice.26.
Fibonacci-et-pgcd
Dans tous le problème, p est un entier naturel premier impair. On rappelle que si k est
un entier impair, alors pour tout entier n il existe un unique entier n0 tel que n ≡ n0
k
mod k et |n0 | < .
2
1. Montrer que si p est somme de deux carrés, alors p ≡ 1 mod 4.
2. On suppose désormais p ≡ 1 mod 4. On rappelle que l’anneau Z/ pZ des entiers
modulo p est un corps.
(a) Montrer que 1 et −1 sont leur propre inverse modulo p, et que ce sont les
seuls.
(b) En regroupant les éléments de Z/ pZ par paires, montrer que :
( p − 1)! ≡ −1 mod p. Théorème de Wilson
2
p−1
(c) Montrer que : ( p − 1)! ≡
!
mod p. (Dans le produit ( p − 1)!, se
2
−p
p
ramener à un produit d’entiers compris entre
et .)
2
2
p
(d) Montrer qu’il existe x ∈ Z tel que x2 + 1 ≡ 0 mod p et | x| < .
2
p
2
3. On fixe x ∈ Z tel que x + 1 ≡ 0 mod p et | x| < .
2
(a) Soit k ∈ Z tel que x2 + 1 = kp. Montrer que k < p.
4. En déduire que pour tous (n, p) ∈ N2 , pgcd(un+ p , u p ) = pgcd(un , u p ).
5. Soient a ∈ N et b ∈ N∗ . Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. Montrer
que pgcd(u a , ub ) = pgcd(ub , ur ).
6. Montrer que pour tous (m, n) ∈ N2 , pgcd(um , un ) = upgcd(m,n)
(indication : s’inspirer de l’algorithme d’Euclide).
Complexité de l’algorithme d’Euclide
On rappelle que la suite de Fibonacci ( Fn )n est l’unique suite vérifiant F0 = 0, F1 = 1
et pour tout entier naturel n, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
1. Déterminer les racines réelles de X 2 − X − 1. On désignera par ϕ la plus grande et
b la plus petite. Montrer que les suites (ϕn )n et (ϕ
b n )n vérifie la même relation de
ϕ
récurrence que Fn .
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Entiers sommes de deux carrés
On se propose de démontrer le théorème suivant, énoncé par Fermat et complètement démontré par Euler.
Le nombre premier impair p est somme de deux carrés si et seulement si p ≡ 1 mod 4.
On appelle suite de Fibonacci la suite (un )n∈N définie par u0 = 0, u1 = 1 et, pour
tout n ∈ N, un+2 = un+1 + un .
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , un−1 un+1 − u2n = (−1)n .
2. En déduire que un et un+1 sont premiers entre eux pour tout n ∈ N.
3. Montrer que : ∀n ∈ N et ∀ p ∈ N∗ , un+ p = un u p−1 + un+1 u p (indication : faire une
récurrence sur p).
Exercice.25.
Classe : MPSI (4)
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Mr. Faress Moussa
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Arithmétiques des entiers
(b) Soit E = {q ∈ N | il existe a, b ∈ N tels que a2 + b2 = qp}. Montrer que E
contient un élément compris entre 1 et p − 1. Soit m le minimum de E et on
fixe a et b dans N tels que a2 + b2 = mp.
(c) Montrer que m est impair. (Raisonner par l’absurde : a et b seraient de même
a+b 2
a−b 2
parité et développer (
) +(
) .)
2
2
4. On se propose de montrer que m = 1. On raisonne par l’absurde en supposant
m ≥ 3.
(a) Établir l’identité de Lagrange :
(α 2 + β2 )(γ 2 + δ 2 ) = (αγ + βδ )2 + (αδ − βγ )2 .
m
m
(b) Soient a0 et b0 ∈ Z tels que | a0 | < , |b0 | < , et a0 ≡ a mod m, b0 ≡ b
2
2
mod m. Soit n = a20 + b20 . Montrer que n 6= 0.
m
(c) Montrer qu’il existe u ∈ N tel que n = um, puis que 1 ≤ u ≤ .
2
(d) Montrer que up est une somme de deux carrés d’entiers. (On partira du produit (um)(mp) et on utilisera l’identité de Lagrange.)
(e) Conclure.
5. Déterminer l’ensemble des entiers n ∈ N∗ qui sont somme de deux carrés.
(d) En déduire que ( Sn )n converge vers x.
3. Soient T ∈ N∗ et N ∈ N. On suppose que la suite (dn )n est T-périodique à partir
du rang N.
(a) Pour n ∈ N, on pose un = 10 N +T Sn+ N +T − 10 N Sn+ N . Montrer que la suite
(un )n est constante.
(b) En déduire qu’il existe p ∈ Z tel que pour tout n ∈ N , 10 N +T Sn+ N +T −
10 N Sn+ N = p.
(c) En déduire que x est rationnel.
4. Soit α le nombre dont l’écriture décimale est 0, 123456456456456 . . .. Montrer que
α est rationnel et l’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers.
a
5. On suppose que x est rationnel. Il existe donc a ∈ Z et b ∈ N∗ tel que x = . On
b
définit deux suites (qn )n et (rn )n de la manière suivante.
I q0 et r0 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de
a par b.
I Pour tout n ∈ N , qn+1 et rn+1 sont respectivement le quotient et le reste de la
division euclidienne de 10rn par b.
(a) Justifier qu’il existe deux entiers naturels N et M distincts tels que r N = r M .
Exercice.27.
(b) En déduire que (rn )n est périodique à partir d’un certain rang.
Soit x un nombre réel. On définit deux suites (dn )n et (εn )n de la manière suivante :
I On pose d0 = E( x) et ε0 = x − E( x) où E( x) désigne la partie entière de x.
I Pour tout n ∈ N, on pose dn+1 = E(10εn ) et εn+1 = 10εn − E(10εn ).
1. Dans cette question uniquement, on suppose x = 123, 456. Calculer d0 , d1 , d2 , d3 et
ε0 , ε1 , ε2 , ε3 . Que valent dn et εn pour n > 4 ?
2. On revient au cas général.
(a) Montrer que pour tout n ∈ N , εn ∈ [0, 1[.
(b) En déduire que pour tout n ∈ N∗ , dn ∈ {0, . . . , 9}.
n
εn
(c) On pose Sn = ∑ dk 10k pour tout n ∈ N. Montrer que x = Sn + n pour tout
10
k=0
n ∈ N.
Lycée Omar Ibn El-Khattab
Classe : MPSI (4)
(c) En déduire que (qn )n est également périodique à partir d’un certain rang.
(d) Montrer que pour tout n ∈ N , rn = bεn et qn = dn . On a donc prouvé que la
suite (dn )n était périodique à partir d’un certain rang.
13
. Déterminer N ∈ N et T ∈ N∗ tels que la suite (dn )n soit
35
T-périodique à partir du rang N.
6. On suppose que x =
` ` ` ` `
-4-
Mr. Faress Moussa