TD Arithmétiques des entiers

Feuille des exercices Arithmétiques des entiers Classe : MPSI (4)
Exercice.1. Vu en terminale
Soit nun entier (n∈Z).
1. Montrer que n2≡0[8]ou n2≡4[8]si nest pair, n2≡1[8]si nest impair.
2. Montrer que si nest impair, n4≡1[8].
Exercice.2. Itération de puissance
Soit n≥2 et aun entier premier avec n. Pour tout k∈N, on note rkle reste de la
division euclidienne de akpar n.
1. Montrer que la suite rkest périodique.
2. Montrer que 13 divise 3126 +5126.
Exercice.3. Théorème de Pascal
Soit m∈N∗et (ri)ila suite d’entiers définie par r0=1 et ri+1est le reste de la division
euclidienne de 10ripar m.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel a=an. . . a0en écriture décimale, on a
a≡
n
∑
i=0
airi[m].
2. En déduire des critères simples permettant de reconnaître sur l’écriture décimale
d’un entier s’il est ou non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.
Exercice.4. Coefficients binomiaux
1. Soit n≥1. Montrer que (n+1)divise 2n
n.
2. Soit p≥2 premier. Montrer que pdivise p
kpour k∈ {1, . . . , p−1}.
3. En déduire le petit théorème de Fermat :
Si n≥1 et pest premier, np≡n[p].
4. (Plus difficile). Déduire de 2. que, pour tout N∈N∗, pour tout j∈N∗, pour tout
(x1,...,xN)∈ZN,ona: N
∑
i=1
xi!pj ≡
N
∑
i=1
xpj
i[p].
Exercice.5. Suites et congruence
(un)une suite d’entiers naturels définie par u0=14 et un+1=5un−6.
1. Montrer que pour tout entier naturel n,un+2≡un[4]. En déduire que pour tout
entier naturel k, on a u2k≡2[4]et u2k+1≡0[4].
2. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a 2un=5n+2+3.
(b) En déduire que pour tout entier naturel n, on a 2un≡28 [100].
Exercice.6. Suite récurrente linéaire
Démontrer que, pour tout entier n≥0, (3−√5)n+ (3+√5)nest divisible par 2n.
Indication : Montrer que la suite (un)nvérifie une relation de récurrence un+2=
aun+1+bunavec a,bentiers.
Exercice.7. Termes consécutifs d’une suite
Soit (un)la suite d’entiers définie par u0=14 et un+1=5un−5. Démontrer que le
pgcd de deux termes consécutifs de la suite est constant. Préciser sa valeur.
Exercice.8. Calcul de pgcd
Soit a,bet ndes éléments de Z. Calculer les pgcd suivants :
1) (n2+n)∧(2n+1)2) (15n2+8n+6)∧(30n2+21n+13)
3) (a2+ab +b2)∧ab.
Exercice.9. pgcd et ppcm imposés
1. Résoudre, dans N2, le système : x∧y=18
x∨y=540 .
2. Généralisation : trouver une condition nécessaire et suffisante sur det mpour qu’il
existe (x,y)∈N2tels que x∧y=det x∨y=m.
Exercice.10.
Soit a,bet cdes entiers non nuls.
1. Montrer que c/ab =⇒c/(a∧c)(b∧c).
2. Montrer que a∧b=1=⇒a∧(bc) = a∧c.
Exercice.11. Liens entre deux pgcd
Soient a,m,n∈N∗avec a≥2 et m≤n. On note d= (an−1)∧(am−1).
1. Montrer que an≡ar[am−1].
2. En déduire que d= (ar−1)∧(am−1), puis que d=an∧m−1.
3. A quelle condition am−1/an−1 ?
Exercice.12. Puissances égales
1. Montrer qu’un entier naturel qui est à la fois un carré et un cube est aussi le carré
d’un cube !
2. Généralisation : Soient a,b,n,mdes entiers naturels avec n∧m=1 et an=bm.
Montrer qu’il existe un entier ctel que a=cmet b=cn.
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Exercice.13. Le produit est un carré parfait
Soient aet bdeux entiers premiers entre eux tels que leur produit ab est un carré
parfait. Montrer que aet bsont deux carrés parfaits.
Exercice.14. Nombre de diviseurs d’un entier
Soit nun nombre entier, n=pα1
1. . . pαr
rsa décomposition en produit de facteurs
premiers. On note d(n)le nombre de diviseurs de n.
1. Montrer que d(n) =
r
∏
i=1
(αi+1).
2. Montrer que nest un carré parfait si et seulement si d(n)est impair.
3. Montrer que ∏
d/n
d=√nd(n).
Exercice.15. Equation du second degré
Résoudre les équations suivantes :
1. x2+x+7=0 dans Z/13Z.
2. x2−4x+3=0 dans Z/12Z.
Exercice.16. Test de primalité de Miller-Rabin
Soit pun nombre premier impair que l’on écrit sous la forme p=2s.d+1.
Soit a∈ {1, . . . , p−1}. On définit une suite récurrente (bi)en posant bi=ad×2i.
1. Question préliminaire : Montrer que dans Z/pZ, l’équation x2=1 entraîne x=1
ou x=−1.
2. Montrer que bs≡1[p].
3. On suppose que b0n’est pas congru à 1 modulo p.
Montrer l’existence de i∈ {0, . . . , s−1}tel que bi≡ −1[p].
4. En déduire un test de non-primalité d’un entier.
Exercice.17. Indicateur d’Euler
Pour n≥1 un entier, on définit l’indicateur d’Euler de npar :
φ(n) = card{k∈ {1, . . . , n}/kest premier avec n}.
1. Calculer φ(p)lorsque pest un nombre premier.
2. Calculer φ(pα), où pest premier et α≥1.
3. Que signifie φ(n)pour l’anneau Z/nZ?
4. En déduire que si n∧m=1, alors φ(nm) = φ(n)φ(m).
5. Déduire des questions précédentes une formule pour calculerφ(n)pour tout entier
n.
6. (a) Soit dun diviseur de n. On pose : Ad={1≤k≤n;k∧n=d}. Quel est le
cardinal de Ad?
(b) En déduire que n=∑
d|n
φ(d).
Exercice.18. Carrés de Z/pZ
Soit pun nombre premier impair. On rappelle que le groupe G= (Z/pZ)∗est cy-
clique, c’est-à-dire qu’il existe x0∈Gtel que {xs
0;s≥0}=G.
1. Soit x∈G. Que vaut xp−1?
2. En déduire que si kest un carré dans Z/pZ, alors kp−1
2=1.
3. Prouver la réciproque.
4. Soit x∈G. Que peut valoir x(p−1)/2?
Exercice.19. Ordre d’éléments
On se propose de montrer qu’il n’existe pas d’entier n≥2 tel que ndivise 2n−1. On
raisonne par l’absurde et on supposons qu’un tel entier nexiste. On note ple plus petit
diviseur premier de n.
1. Montrer que p>2.
2. On note ml’ordre de la classe de 2 dans (Z/pZ)∗, montrer que :
m/p−1 et m/n. Conclure.
Exercice.20. Carrés de Z/nZ
On considère l’équation x2=1 dans Z/nZ, où n≥2.
1. Quel est le nombre de solutions pour n=pα, où α≥1 et pest un nombre premier
impair ?
2. Quel est le nombre de solutions pour n=2, 4 ?
3. Quel est le nombre de solutions pour n=2α,α≥3 ?
4. Quel est le nombre de solutions pour une valeur quelconque de n?
Exercice.21. Théorème de Wilson
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Wilson :
Un entier n≥2 est premier si et seulement si (n−1)!≡ −1[n].
1. Soit p≥2 premier. Combien de solutions l’équation x2=1 admet-elle de solutions
dans Z/pZ?
2. Soit p≥2 premier. Montrer que (p−1)!=−1[p].
3. Soit n≥2 un entier tel que ndivise (n−1)!+1. Montrer que pour tout a∈
{1, . . . , n−1},aest inversible dans (Z/nZ,×). En déduire que nest premier.
Exercice.22. Un groupe d’inversibles non cyclique
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Soit n≥3 un entier.
1. Soit aun entier impair. Montrer que a2n−2≡1[2n].
2. Le groupe (Z/(2nZ))∗est-il cyclique ?
Indication :
1. Procéder par récurrence sur n.
2. Combien y-a-t-il d’éléments dans (Z/(2nZ))∗?
Exercice.23. Lemme-chinois-version-racines-de-1
Pour tout entier n≥1, on pose Un={z∈C,zn=1}.
1. Soit n∈N∗. Démontrer que Unest un sous-groupe de (C∗,×).
2. Soient aet bdeux entiers ≥1.
Soit l’application f:Uab →Ua×Ubdéfinie par f(z) = (zb,za).
(a) Démontrer que fest bien définie.
(b) Démontrer que fest un morphisme de groupes.
(c) On suppose aet bpremiers entre eux. Démontrer que fest injective.
(d) On suppose toujours aet bpremiers entre eux. Déduire de la question précé-
dente que fest surjective.
Exercice.24. Fibonacci-et-pgcd
On appelle suite de Fibonacci la suite (un)n∈Ndéfinie par u0=0, u1=1 et, pour
tout n∈N,un+2=un+1+un.
1. Montrer que pour tout n∈N∗,un−1un+1−u2
n= (−1)n.
2. En déduire que unet un+1sont premiers entre eux pour tout n∈N.
3. Montrer que : ∀n∈Net ∀p∈N∗,un+p=unup−1+un+1up(indication : faire une
récurrence sur p).
4. En déduire que pour tous (n,p)∈N2, pgcd(un+p,up) = pgcd(un,up).
5. Soient a∈Net b∈N∗. Soit rle reste de la division euclidienne de apar b. Montrer
que pgcd(ua,ub) = pgcd(ub,ur).
6. Montrer que pour tous (m,n)∈N2, pgcd(um,un) = upgcd(m,n)
(indication : s’inspirer de l’algorithme d’Euclide).
Exercice.25. Complexité de l’algorithme d’Euclide
On rappelle que la suite de Fibonacci (Fn)nest l’unique suite vérifiant F0=0, F1=1
et pour tout entier naturel n,Fn+2=Fn+1+Fn.
1. Déterminer les racines réelles de X2−X−1. On désignera par ϕla plus grande et
b
ϕla plus petite. Montrer que les suites (ϕn)net (b ϕn)nvérifie la même relation de
récurrence que Fn.
2. Déterminer deux réels λet µtels que pour tout entier n,Fn=λϕn+µb ϕn. En dé-
duire que Fn=E1
√5ϕn+1
2.
3. Soit n≥2. Montrer que le calcul du pgcd de Fn+1et Fnpar l’algorithme d’Eu-
clide nécessite exactement n−1 divisions euclidiennes (i.e. le premier reste nul est
obtenu à la (n−1)edivision). Quel est ce pgcd ?
4. Démontrer le théorème de Lamé :
Soient aet bdeux entiers tels que 0 <b<aet de pgcd d. Montrer que si l’algo-
rithme d’Euclide s’arrête au bout de (n−1)divisions, on a :
a≥dFn+1et b≥dFn.
5. Soit N(a,b)le nombre de divisions euclidiennes à effectuer pour déterminer le
pgcd de aet bpar l’algorithme d’Euclide. En déduire qu’il existe deux constantes
réelles (à préciser) αet βtelles que pour tous les entiers a,b∈N∗avec a>b>0,
N(a,b)≤αln b+β.
Exercice.26. Entiers sommes de deux carrés
On se propose de démontrer le théorème suivant, énoncé par Fermat et complète-
ment démontré par Euler.
Le nombre premier impair pest somme de deux carrés si et seulement si p≡1 mod 4.
Dans tous le problème, pest un entier naturel premier impair. On rappelle que si kest
un entier impair, alors pour tout entier nil existe un unique entier n0tel que n≡n0
mod ket |n0|<k
2.
1. Montrer que si pest somme de deux carrés, alors p≡1 mod 4.
2. On suppose désormais p≡1 mod 4. On rappelle que l’anneau Z/pZdes entiers
modulo pest un corps.
(a) Montrer que 1 et −1 sont leur propre inverse modulo p, et que ce sont les
seuls.
(b) En regroupant les éléments de Z/pZpar paires, montrer que :
(p−1)!≡ −1 mod p. Théorème de Wilson
(c) Montrer que : (p−1)!≡p−1
2!2
mod p. (Dans le produit (p−1)!, se
ramener à un produit d’entiers compris entre −p
2et p 2.)
(d) Montrer qu’il existe x∈Ztel que x2+1≡0 mod pet |x|<p
2.
3. On fixe x∈Ztel que x2+1≡0 mod pet |x|<p
2.
(a) Soit k∈Ztel que x2+1=kp. Montrer que k<p.
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(b) Soit E={q∈N|il existe a,b∈Ntels que a2+b2=qp}. Montrer que E
contient un élément compris entre 1 et p−1. Soit mle minimum de Eet on
fixe aet bdans Ntels que a2+b2=mp.
(c) Montrer que mest impair. (Raisonner par l’absurde : aet bseraient de même
parité et développer (a+b
2)2+ ( a−b 2)2.)
4. On se propose de montrer que m=1. On raisonne par l’absurde en supposant
m≥3.
(a) Établir l’identité de Lagrange :
(α2+β2)(γ2+δ2) = (αγ +βδ)2+ (αδ −βγ)2.
(b) Soient a0et b0∈Ztels que |a0|<m
2,|b0|<m 2, et a0≡amod m,b0≡b
mod m. Soit n=a2
0+b2 0. Montrer que n6=0.
(c) Montrer qu’il existe u∈Ntel que n=um, puis que 1 ≤u≤m
2.
(d) Montrer que up est une somme de deux carrés d’entiers. (On partira du pro-
duit (um)(mp)et on utilisera l’identité de Lagrange.)
(e) Conclure.
5. Déterminer l’ensemble des entiers n∈N∗qui sont somme de deux carrés.
Exercice.27.
Soit xun nombre réel. On définit deux suites (dn)net (εn)nde la manière suivante :
IOn pose d0=E(x)et ε0=x−E(x)où E(x)désigne la partie entière de x.
IPour tout n∈N, on pose dn+1=E(10εn)et εn+1=10εn−E(10εn).
1. Dans cette question uniquement, on suppose x=123, 456. Calculer d0,d1,d2,d3et
ε0,ε1,ε2,ε3. Que valent dnet εnpour n>4 ?
2. On revient au cas général.
(a) Montrer que pour tout n∈N,εn∈[0, 1[.
(b) En déduire que pour tout n∈N∗,dn∈ {0, . . . , 9}.
(c) On pose Sn=
n
∑
k=0
dk10kpour tout n∈N. Montrer que x=Sn+εn
10npour tout
n∈N.
(d) En déduire que (Sn)nconverge vers x.
3. Soient T∈N∗et N∈N. On suppose que la suite (dn)nest T-périodique à partir
du rang N.
(a) Pour n∈N, on pose un=10N+TSn+N+T−10NSn+N. Montrer que la suite
(un)nest constante.
(b) En déduire qu’il existe p∈Ztel que pour tout n∈N, 10N+TSn+N+T−
10NSn+N=p.
(c) En déduire que xest rationnel.
4. Soit αle nombre dont l’écriture décimale est 0, 123456456456456 . . .. Montrer que
αest rationnel et l’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers.
5. On suppose que xest rationnel. Il existe donc a∈Zet b∈N∗tel que x=a
b. On
définit deux suites (qn)net (rn)nde la manière suivante.
Iq0et r0sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de
apar b.
IPour tout n∈N,qn+1et rn+1sont respectivement le quotient et le reste de la
division euclidienne de 10rnpar b.
(a) Justifier qu’il existe deux entiers naturels Net Mdistincts tels que rN=rM.
(b) En déduire que (rn)nest périodique à partir d’un certain rang.
(c) En déduire que (qn)nest également périodique à partir d’un certain rang.
(d) Montrer que pour tout n∈N,rn=bεnet qn=dn. On a donc prouvé que la
suite (dn)nétait périodique à partir d’un certain rang.
6. On suppose que x=13
35 . Déterminer N∈Net T∈N∗tels que la suite (dn)nsoit
T-périodique à partir du rang N.
`````
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