Devoir maison N°1 - TS2 Maths Spé Exercice 1 1°/ Donner tous les

Devoir maison N°1 - TS2 Maths Spé
Exercice 1
1°/ Donner tous les diviseurs naturels de 15.
2°/ Démontrer que si x et y sont deux entiers relatifs tels que yx2  y  15 alors y divise 15.
3°/ Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) tels que yx2  y  15 .
Exercice 2
Soit P(n)  n 6  1 pour n entier naturel non nul.
1°/ Calculer P(n) pour les valeurs de n de 1 à 10. Pour quelles valeurs de n, P(n) est il divisible par 9 ?
Que peut-on conjecturer pour ces valeurs de n ?
2°/ a) Ecrire n 3  1 et n 3  1 comme produit d’un facteur du premier degré et d’un polynôme du second
degré. ( On pourra utiliser Xcas, ou une TI89 , ou une NSpire ou encore https://www.wolframalpha.com/)
b) En déduire une factorisation de P(n) sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré et du
second degré.
3°/ Montrer alors la conjecture émise à la question 1°/.
Exercice 3
Le nombre n est un entier naturel
1. Démontrer que n 2  5n  4 et n 2  3n  2 sont divisibles par n + 1.
2. a) Développer n  13n  12  7 .
b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n 2  15n  19 est divisible par n + 1.
3. En déduire que, quel que soit l'entier naturel n, 3n 2  15n  19 n'est pas divisible par n 2  3n  2 .
Exercice 4
1. Montrer que si a et b sont des entiers tels que a 2  b 2 est impair, alors a et b sont de parité différente.
2. Montrer qu'un entier impair n qui est la somme de deux carrés est de la forme n = 4k + 1.
3. En déduire qu'un entier de la forme 4k – 1 ne peut pas être la somme de deux carrés.