Corrigé du devoir surveillé n°3 :

Corrigé du devoir surveillé n°3 :
Capacités évaluées :
G2.1
G2.4
T6.6
T6.7
T6.14
3ème5
12 décembre 2011
T6.15
T6.16
T6.17
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : PGCD ET PUISSANCES ( 10 points)
Exercice 1 :
1) Déterminer, à l’aide de l’algorithme des différences, le PGCD des nombres 357 et 204.
a
b
a–b
a b
357
204
153
204
153
51
PGCD(357 ; 204) = 51
153
51
102
102
51
51
51
51
0
2) Les nombres 357 et 204 ne sont pas premiers entre eux car PGCD(357 ; 204)
1.
3) Déterminer, à l’aide de l’algorithme d’Euclide, le PGCD des nombres 1 520 et 263.
a
b
r
a
b et r est le reste de la division
1 520
263
205
euclidienne de a par b.
263
205
58
205
58
31
58
31
27
31
27
4
PGCD(1 520 ; 263) = 1
27
4
3
4
3
1
3
1
0
4) Les nombres 1 520 et 263 sont premiers entre eux car PGCD(1 520 ; 263) = 1.
/2,5 pts
Exercice 2 :
1) Calculer le PGCD des nombres 408 et 578.
On utilise l’algorithme d’Euclide. a b et r est le reste de la division euclidienne de a par b.
a
578
408
170
68
2) Ecrire
=
b
408
170
68
34
r
170
68
34
0
PGCD(578 ; 408) = 34
sous la forme d’une fraction irréductible.
=
/2 pts
Exercice 3 :
Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits.
L’association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque
équipe. Le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une équipe.
1) Quel est le nombre maximal d’équipes que cette association peut former ?
On cherche à répartir tous les inscrits dans des équipes identiques, le nombre d’équipe est donc un diviseur commun
au nombre de filles et au nombre d’hommes. De plus, comme on veut former le nombre maximal d’équipes, il
s’agit donc du PGCD de ces deux nombres.
On utilise l’algorithme d’Euclide.
a
252
144
108
a
b et r est le reste de la division euclidienne de a par b.
b
144
108
36
r
108
36
0
PGCD(252 ; 144) = 36
2) Quelle est alors, la composition de chaque équipe ?
252 : 36 = 7 garçons et 144 : 36 = 4 filles
Dans chaque équipe, il y aura 7 garçons et 4 filles.
/2 pts
Exercice 4 :
Ecrire chaque expression sous la forme an.
• 45
48 = 413
•
• 65
35 = 185
•
= 542
•
= 43
•
= 175
= 4-12
•
= 632
= 98
•
/2 pts
Exercice 5 :
1) Calculer l’expression A sous la forme a
10n. (avec a et n des nombres entiers)
A=
A=
A = 37,5
A = 37,5
103
A = 375
102
2) Donner le résultat obtenu à la question 1 en écriture scientifique.
A = 3,75 104
/1,5 pt
Exercice BONUS : « Extrait du Kangourou des mathématiques 2011 »
Dans le nombre de 5 chiffres 248, on remplace  et  par deux chiffres de telle sorte que le nombre obtenu soit
divisible par 4, 5 et 9. Que vaut la somme  +  ? Entourer la bonne réponse.
Pour que le nombre soit divisible par 5, on doit avoir  = 0 ou  = 5. Or, le nombre étant divisible par 4 et que 85
n’est pas dans la table de 4 alors  = 0.
La somme des chiffres du nombre mystérieux auquel on a ôté  est 14. Pour que cette somme soit divisible par 9, il
faut ajouter 4 donc  = 4.
4+0=4
A) 13
B) 10
C) 9
D) 5
E) 4