TD4 - LAAS

Université Paul Sabatier
Automatique Master 1 ISTR
Travaux Dirigés 4 - Commandabilité/observabilité
Objectifs
— Analyse de la commandabilité et de l’observabilité,
— Mise sous forme standard,
— Modèles équivalents sous forme compagne.
Exercice 1
Soit le système électrique de la Figure 1, où U (t) est la tension d’entrée :
Figure 1 – Circuit
1. Etablir l’équation d’état en posant comme états les tension aux bornes des condensateurs. Justifier le
choix des états.
2. Calculer la matrice de transition de l’équation d’état précédente.
3. Déduire l’expression des trajectoires d’état lorsque la tension d’entrée U (t) est égale à 1V . On prendra
comme conditions initiales u1 = 0V , u2 = 10V et u3 = 10V pour t0 = 0. calculer les valeurs des tensions :
u1 , u2 et u3 , dans l’instante de temps t = 1.
4. Calculer la matrice de commandabilité et appliquer le critère de Kalman pour conclure sur la commandabilité du modèle.
5. Décrire la forme standard du modèle précédent.
6. En considerant les tensions initiales nulles, u1 = u2 = u3 = 0,
(a) Peut-on calculer une commande U (t) qui amène en 1s les tensions aux valeurs u1 = 1V , u2 = 1V et
u3 = 1V ?
(b) Peut-on calculer une commande U (t) qui amène en 1s les tensions aux valeurs u1 = 0V , u2 = 1V et
u3 = 1V ?
Justifier votre réponse.
Exercice 2
Soit le système modélisé par l’équation d’état suivante :


 
1
2
0
1
2
0  x + 0 u
ẋ =  0
−2 −2 −1
0
1. Étudier la commandabilité du système.
2. Mettre sous forme modale le modèle précédent.
3. Trouver le (ou les) mode(s) non commandable(s).
1
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Automatique Master 1 ISTR
Exercice 3
Soit le modèle d’état donnée par

2
0

0

Ẋ = 
0
0

0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0

0
0

0

0
 X+
0

0
1

2
1
0
2
1
1
1
1
1
3
2
1
1
0
1
1
0
1

0
0 X+
0
Y =

2
2

1

3

4

1
1
1
1
1
2
0
0
0

0
1

1

1
U
1

1 .
0
Le système précédent est-il commandable et observable ?
Exercice 4
Pour les fonctions de transfert suivantes, ecrire les modèles d’état sous forme compagne de commande (et
de la forme modale), et étudier la commandabilité appliquant le critere de Kalman.
1.
Y (s)
U (s)
=
p+3
p2 +3p+2
2.
Y (s)
U (s)
=
p
(p+10)(p2 +5p+6)
Exercice 5
Pour les systèmes suivants :
1. Etudier la commandabilité.
2. Calculer les matrices de passage permettant d’obtenir ces formes compagnes
3. Donner la forme compagne de commande, quand elle existe ;

 

1
2 1 0
1. Ẋ = 0 1 −1 X + 0 U,
Y = 0 0 1 X
0 0 3
0


 
2 1 0
0



0
1
−1
2. Ẋ =
X + 0 U,
Y = 0 0 1 X
0 0 3
1


 
1 1 0
1
3. Ẋ = 0 1 0 X + 0 U,
Y = 1 1 0 X
0 0 1
0

 

1
2 1
1
2
Y = 1 1 0 X
4. Ẋ = −1 0 − 12  X + 0 U,
1
0 0 1

 

−2 2 −3
3
1 −6 X +  1  U,
5. Ẋ =  2
Y = 1 1 0 X
−1 −2 0
−1
Travail en autonomie :
Lorsque les système ne sont pas commandables, donner la forme standard.
2