TD4 - LAAS
Universit´e Paul Sabatier Automatique Master 1 ISTR
Travaux Dirig´es 4 -Commandabilit´e/observabilit´e
Objectifs
— Analyse de la commandabilit´e et de l’observabilit´e,
— Mise sous forme standard,
— Mod`eles ´equivalents sous forme compagne.
Exercice 1
Soit le syst`eme ´electrique de la Figure 1, o`u U(t) est la tension d’entr´ee :
Figure 1 – Circuit
1. Etablir l’´equation d’´etat en posant comme ´etats les tension aux bornes des condensateurs. Justifier le
choix des ´etats.
2. Calculer la matrice de transition de l’´equation d’´etat pr´ec´edente.
3. D´eduire l’expression des trajectoires d’´etat lorsque la tension d’entr´ee U(t) est ´egale `a 1V. On prendra
comme conditions initiales u1= 0V,u2= 10Vet u3= 10Vpour t0= 0. calculer les valeurs des tensions :
u1,u2et u3, dans l’instante de temps t= 1.
4. Calculer la matrice de commandabilit´e et appliquer le crit`ere de Kalman pour conclure sur la comman-
dabilit´e du mod`ele.
5. D´ecrire la forme standard du mod`ele pr´ec´edent.
6. En considerant les tensions initiales nulles, u1=u2=u3= 0,
(a) Peut-on calculer une commande U(t) qui am`ene en 1sles tensions aux valeurs u1= 1V,u2= 1Vet
u3= 1V?
(b) Peut-on calculer une commande U(t) qui am`ene en 1sles tensions aux valeurs u1= 0V,u2= 1Vet
u3= 1V?
Justifier votre r´eponse.
Exercice 2
Soit le syst`eme mod´elis´e par l’´equation d’´etat suivante :
˙x=
120
020
−2−2−1
x+
1
0
0
u
1. ´
Etudier la commandabilit´e du syst`eme.
2. Mettre sous forme modale le mod`ele pr´ec´edent.
3. Trouver le (ou les) mode(s) non commandable(s).
1
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Exercice 3
Soit le mod`ele d’´etat donn´ee par
˙
X=
2100000
0200000
0020000
0002000
0000110
0000010
0000001
X+
210
211
111
321
401
101
100
U
Y=
2213110
1112000
0111110
X+
.
Le syst`eme pr´ec´edent est-il commandable et observable ?
Exercice 4
Pour les fonctions de transfert suivantes, ecrire les mod`eles d’´etat sous forme compagne de commande (et
de la forme modale), et ´etudier la commandabilit´e appliquant le critere de Kalman.
1. Y(s)
U(s)=p+3
p2+3p+2
2. Y(s)
U(s)=p
(p+10)(p2+5p+6)
Exercice 5
Pour les syst`emes suivants :
1. Etudier la commandabilit´e.
2. Calculer les matrices de passage permettant d’obtenir ces formes compagnes
3. Donner la forme compagne de commande, quand elle existe ;
1. ˙
X=
2 1 0
0 1 −1
0 0 3
X+
1
0
0
U, Y =001X
2. ˙
X=
2 1 0
0 1 −1
0 0 3
X+
0
0
1
U, Y =001X
3. ˙
X=
110
010
001
X+
1
0
0
U, Y =110X
4. ˙
X=
2 1 1
2
−1 0 −1
2
0 0 1
X+
1
0
1
U, Y =110X
5. ˙
X=
−2 2 −3
2 1 −6
−1−2 0
X+
3
1
−1
U, Y =110X
Travail en autonomie :
Lorsque les syst`eme ne sont pas commandables, donner la forme standard.
2
1
/
2
100%
