Examen du vendredi 13 septembre 2002 Probl`eme 1

Universit´e de Paris XI M´ethodes num´eriques
Licence MA 2e semestre 2001/2002
Examen du vendredi 13 septembre 2002
Dur´ee de l’´epreuve: 3 heures. Tous documents et calculatrices interdits.
Les deux probl`emes sont ind´ependants. Bar`eme indicatif : probl`eme 1:10 , probl`eme 2:
10.
Probl`eme 1
I) On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(1) z′(t) = 2 sin(t)z(t).
I.1) Justifier que, pour tout z0∈R, l’´equation (1) admet une unique solution d´efinie sur
Rqui v´erifie z(0) = z0, on la note z(t) = z(t, z0), t ∈R.Exprimer z(t, z0) en fonction de t
et z0.
I.2) D´eterminer les solutions de (1) sur Rqui sont constantes.
I.3) Justifier que, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que si |z0|< η alors |z(t, z0)|< ε
pour tout t≥0.
II) On consid`ere le syst`eme diff´erentiel
(2) (x′(t) = sin(t)x(t) + y(t)−(x(t))3
y′(t) = sin(t)y(t)−x(t)−(y(t))3.
II.1) Justifier que, pour tout (x0, y0)∈R2, il existe une unique solution maximale du
probl`eme de Cauchy associ´e au syst`eme (2) et `a la condition initiale x(0) = x0, y(0) = y0,
d´efinie sur un intervalle ouvert I(x0, y0) =]T0, T 0[. Cette solution est not´ee t∈]T0, T 0[→
(x(t, x0, y0), y(t, x0, y0)).
II.2) Soit (x0, y0)∈R2, pour tout t∈]T0, T 0[, on pose
v(t) = (x(t, x0, y0))2+ (y(t, x0, y0))2
a) V´erifier que
v′(t)≤2 sin(t)v(t) pour tout t∈]T0, T 0[.
b) Pour t∈]T0, T 0[, on consid`ere z(t) = z(t, x2
0+y2 0), la solution de (1) sur Rtelle que
z(0) = x2
0+y2 0. On pose e(t) = v(t)−z(t).
Etablir que
v(t)≤z(t) pour tout t∈]T0, T 0[.
Pour cela on propose de raisonner par l’absurde c’est `a dire
1

on suppose qu’il existe 0 ≤t1< t2< T 0tels que v(t1) = z(t1) et v(t)> z(t) pour tout
t∈]t1, t2[; ´etablir que e′(t)≤2e(t) pour tout t∈]t1, t2[ et en d´eduire une contradiction qui
permet de conclure.
c) D´eduire de la question b) que T0= +∞,et que pour tout ε > 0, il existe γ0 tel que si
px2
0+y2 0< γ alors p(x(t, x0, y0))2+ (y(t, x0, y0))2< ε pour tout t≥0.
III) On consid`ere le syst`eme diff´erentiel autonome
(3) (x′(t) = y(t)−(x(t))3
y′(t) = −x(t)−(y(t))3.
Montrer que (0,0) est un point d’´equilibre de (3) globalement asymptotiquement stable
(on pourra utiliser une fonction de Lyapunov bien choisie).
Probl`eme 2
Soit T > 0 et f∈ C3([0, T ]×R,R).Pour x0∈Rdonn´e, on consid`ere l’´equation diff´erentielle
(1) x′(t) = f(t, x(t)) , t ∈[0, T ],
avec la condition initiale x(0) = x0.On suppose qu’il existe une constante L > 0 telle que
(2) |f(t, y)−f(t, z)| ≤ L|y−z|,pour tous (y, z)∈R2, t ∈[0, T ].
Soit N∈N∗. On construit une subdivision uniforme `a N+1 points (donc de pas h=T /N)
de l’intervalle [0, T ], en posant tn=nh, 0≤n≤N.
I) Pour d´eterminer de mani`ere approch´ee une solution de (1), on utilise la m´ethode du
point milieu de pas hissue de x0∈Rdonn´e :
(M)(x0∈Rdonn´e ,
xn+1 =xn+h p1(tn, xn, h) 0 ≤n≤N−1,
avec p1(t, y, h) = f(t+h
2, y +h 2f(t, y)) pour y∈R, 0 < h < 2Tet 0 < t < T −h
2.
I.1) Pour tous y∈Ret 0 < t < T , calculer p1(t, y, 0),∂p1
∂h (t, y, 0) et ∂2p1 ∂h2(t, y, 0) et les
exprimer, lorsque c’est possible en utilisant les fonctions f, f[1], f[2], .... d´efinies en cours.
I.2) Que pouvez-vous en d´eduire sur l’ordre de la m´ethode du point milieu ?
II) Pour tous y∈R, 0 < h < T et 0 < t < T −h, on pose
p2(t, y, h) = f(t+h, y −hf (t, y) + 2hp1(t, y, h)).
II.1) Calculer p2(t, y, 0),∂p2
∂h (t, y, 0) et ∂2p2 ∂h2(t, y, 0) et les exprimer, lorsque c’est possible
`a l’aide des fonctions f, f[1], f [2], .....
2

II.2) Pour tous y∈R, 0 < h < T et 0 < t < T −h, on pose
Φ(t, y, h) = 1
6f(t, y) + 2 3p1(t, y, h) + 1 6p2(t, y, h).
En utilisant les r´esultats des questions I.1 et II.1, ´etablir que, pour tous y∈Ret 0 < t < T ,
Φ(t, y, 0) = f(t, y),
∂Φ
∂h (t, y, 0) = 1 2f[1](t, y),
∂2Φ
∂h2(t, y, 0) = 1 3f[2](t, y).
III) On s’int´eresse `a la m´ethode de Runge-Kutta suivante
(R)
y0∈Rdonn´e , tn=nh , 0≤n≤N ,
yn+1 =yn+h
6(f(tn, yn) + 4p1(tn, yn, h) + p2(tn, yn, h)) ,
0≤n≤N−1.
III.1) Justifier que la m´ethode (R) est une m´ethode `a un pas explicite pour r´esoudre (1).
III.2) Montrer que cette m´ethode est stable pour les fonctions f∈ C3([0, T ]×R,R) et
v´erifiant (2).
III.3) Justifier que cette m´ethode est d’ordre sup´erieur ou ´egal `a 3.
III.4) Soit (x(t), t ∈[0, T ]) la solution de (1) qui v´erifie x(0) = x0=y0. D´eduire de l’´etude
pr´ec´edente, un entier p∈N(aussi grand que possible) tel qu’il existe une constante M > 0
v´erifiant
max |x(tn)−yn|
hp; 0 ≤n≤N≤M
pour tout 0 < h < T avec Nh =T.
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