Examen du vendredi 13 septembre 2002 Probl`eme 1

Université de Paris XI
Licence MA
Méthodes numériques
2e semestre 2001/2002
Examen du vendredi 13 septembre 2002
Durée de l’épreuve: 3 heures. Tous documents et calculatrices interdits.
Les deux problèmes sont indépendants. Barème indicatif : problème 1:10 , problème 2:
10.
Problème 1
I) On considère l’équation différentielle
z ′ (t) = 2 sin(t) z(t).
(1)
I.1) Justifier que, pour tout z0 ∈ R, l’équation (1) admet une unique solution définie sur
R qui vérifie z(0) = z0 , on la note z(t) = z(t, z0 ), t ∈ R. Exprimer z(t, z0 ) en fonction de t
et z0 .
I.2) Déterminer les solutions de (1) sur R qui sont constantes.
I.3) Justifier que, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que si |z0 | < η alors |z(t, z0 )| < ε
pour tout t ≥ 0.
II) On considère le système différentiel
(2)
(
x′ (t) = sin(t) x(t) + y(t) − (x(t))3
y ′ (t) = sin(t) y(t) − x(t) − (y(t))3 .
II.1) Justifier que, pour tout (x0 , y0 ) ∈ R2 , il existe une unique solution maximale du
problème de Cauchy associé au système (2) et à la condition initiale x(0) = x0 , y(0) = y0 ,
définie sur un intervalle ouvert I(x0 , y0 ) =]T0 , T 0 [. Cette solution est notée t ∈]T0 , T 0 [→
(x(t, x0 , y0 ), y(t, x0, y0 )).
II.2) Soit (x0 , y0 ) ∈ R2 , pour tout t ∈]T0 , T 0 [, on pose
v(t) = (x(t, x0 , y0 ))2 + (y(t, x0 , y0 ))2
a) Vérifier que
v ′ (t) ≤ 2 sin(t) v(t) pour tout t ∈]T0 , T 0 [.
b) Pour t ∈]T0 , T 0 [, on considère z(t) = z(t, x20 + y02 ), la solution de (1) sur R telle que
z(0) = x20 + y02 . On pose e(t) = v(t) − z(t).
Etablir que
v(t) ≤ z(t)
pour tout t ∈]T0 , T 0 [.
Pour cela on propose de raisonner par l’absurde c’est à dire
1
on suppose qu’il existe 0 ≤ t1 < t2 < T 0 tels que v(t1 ) = z(t1 ) et v(t) > z(t) pour tout
t ∈]t1 , t2 [; établir que e′ (t) ≤ 2 e(t) pour tout t ∈]t1 , t2 [ et en déduire une contradiction qui
permet de conclure.
c) Déduire de la question
b) que T 0 = +∞, et que pour tout ε > 0, il existe γ0 tel que si
p
p
x20 + y02 < γ alors (x(t, x0 , y0 ))2 + (y(t, x0 , y0 ))2 < ε pour tout t ≥ 0.
III) On considère le système différentiel autonome
( ′
x (t) = y(t) − (x(t))3
(3)
y ′ (t) = −x(t) − (y(t))3 .
Montrer que (0, 0) est un point d’équilibre de (3) globalement asymptotiquement stable
(on pourra utiliser une fonction de Lyapunov bien choisie).
Problème 2
Soit T > 0 et f ∈ C 3 ([0, T ]×R, R). Pour x0 ∈ R donné, on considère l’équation différentielle
x′ (t) = f (t, x(t)) ,
(1)
t ∈ [0, T ] ,
avec la condition initiale x(0) = x0 . On suppose qu’il existe une constante L > 0 telle que
(2)
|f (t, y) − f (t, z)| ≤ L|y − z|, pour tous (y, z) ∈ R2 , t ∈ [0, T ].
Soit N ∈ N∗ . On construit une subdivision uniforme à N +1 points (donc de pas h = T /N )
de l’intervalle [0, T ], en posant tn = nh, 0 ≤ n ≤ N.
I) Pour déterminer de manière approchée une solution de (1), on utilise la méthode du
point milieu de pas h issue de x0 ∈ R donné :
(
x0 ∈ R donné ,
(M)
xn+1 = xn + h p1 (tn , xn , h) 0 ≤ n ≤ N − 1 ,
avec p1 (t, y, h) = f (t +
h
h
, y + f (t, y)) pour y ∈ R, 0 < h < 2T et 0 < t < T − h2 .
2
2
∂p1
∂ 2 p1
(t, y, 0) et
(t, y, 0) et les
∂h
∂h2
exprimer, lorsque c’est possible en utilisant les fonctions f, f [1], f [2] , .... définies en cours.
I.1) Pour tous y ∈ R et 0 < t < T , calculer p1 (t, y, 0),
I.2) Que pouvez-vous en déduire sur l’ordre de la méthode du point milieu ?
II) Pour tous y ∈ R, 0 < h < T et 0 < t < T − h, on pose
p2 (t, y, h) = f (t + h, y − hf (t, y) + 2hp1 (t, y, h)).
∂p2
∂ 2 p2
II.1) Calculer p2 (t, y, 0),
(t, y, 0) et
(t, y, 0) et les exprimer, lorsque c’est possible
∂h
∂h2
[1]
[2]
à l’aide des fonctions f, f , f , .....
2
II.2) Pour tous y ∈ R, 0 < h < T et 0 < t < T − h, on pose
Φ(t, y, h) =
2
1
1
f (t, y) + p1 (t, y, h) + p2 (t, y, h).
6
3
6
En utilisant les résultats des questions I.1 et II.1, établir que, pour tous y ∈ R et 0 < t < T ,
Φ(t, y, 0) = f (t, y),
∂Φ
1
(t, y, 0) = f [1] (t, y),
∂h
2
2
1
∂ Φ
(t, y, 0) = f [2] (t, y).
2
∂h
3
III) On s’intéresse à la méthode de Runge-Kutta suivante
(R)

y0 ∈ R donné , tn = nh , 0 ≤ n ≤ N ,



h
yn+1 = yn + (f (tn , yn ) + 4p1 (tn , yn , h) + p2 (tn , yn , h)) ,

6


0 ≤ n ≤ N − 1.
III.1) Justifier que la méthode (R) est une méthode à un pas explicite pour résoudre (1).
III.2) Montrer que cette méthode est stable pour les fonctions f ∈ C 3 ([0, T ] × R, R) et
vérifiant (2).
III.3) Justifier que cette méthode est d’ordre supérieur ou égal à 3.
III.4) Soit (x(t), t ∈ [0, T ]) la solution de (1) qui vérifie x(0) = x0 = y0 . Déduire de l’étude
précédente, un entier p ∈ N (aussi grand que possible) tel qu’il existe une constante M > 0
vérifiant
|x(tn ) − yn |
;0 ≤ n ≤ N ≤ M
max
hp
pour tout 0 < h < T avec N h = T .
***********
3