Cours d`Arithmétique

Z/10Z
Z/10Z
Z/10Z
˙x+ ˙a=˙ b
˙a˙x=˙ b
10
n
Z/nZ
Z/nZ
˙x+ ˙a=˙ b
˙a˙x=˙ b
a n
˙ax=˙ b
˙a
a n
ϕ(n)
˙a˙x2+˙ b˙x+ ˙c= 0
Z/pZp
Z/nZ

•N N ={0,1,2,3, . . .}
•N?N?={1,2,3, . . .}
•Z Z ={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}
•Z?Z?={. . . , −3,−2,−1,1,2,3, . . .}
Z/10Z
•˙ 0 0
•˙ 1 1
•˙ 9 9
˙
0 0
Z/10Z
Z/10Z=©˙ 0,˙ 1,˙ 2,˙ 3,˙ 4,˙ 5,˙ 6,˙ 7,˙ 8,˙ 9ª
10
Z/10Z
Z/10Z˙ 3˙ 7
3 13 7 47
13 47 611
˙
3×˙ 7 = ˙ 1
3
7 13 47
Z/10Z

+˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9
˙
0˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9
˙
1˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9˙ 0
˙
2˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9˙ 0˙ 1
˙
3˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9˙ 0˙ 1˙ 2
˙
4˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3
˙
5˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4
˙
6˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5
˙
7˙ 7˙ 8˙ 9˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6
˙
8˙ 8˙ 9˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7
˙
9˙ 9˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8
×˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9
˙
0˙ 0˙ 0˙ 0˙ 0˙ 0˙ 0˙ 0˙ 0˙ 0˙ 0
˙
1˙ 0˙ 1˙ 2˙ 3˙ 4˙ 5˙ 6˙ 7˙ 8˙ 9
˙
2˙ 0˙ 2˙ 4˙ 6˙ 8˙ 0˙ 2˙ 4˙ 6˙ 8
˙
3˙ 0˙ 3˙ 6˙ 9˙ 2˙ 5˙ 8˙ 1˙ 4˙ 7
˙
4˙ 0˙ 4˙ 8˙ 2˙ 6˙ 0˙ 4˙ 8˙ 2˙ 6
˙
5˙ 0˙ 5˙ 0˙ 5˙ 0˙ 5˙ 0˙ 5˙ 0˙ 5
˙
6˙ 0˙ 6˙ 2˙ 8˙ 4˙ 0˙ 6˙ 2˙ 8˙ 4
˙
7˙ 0˙ 7˙ 4˙ 1˙ 8˙ 5˙ 2˙ 9˙ 6˙ 3
˙
8˙ 0˙ 8˙ 6˙ 4˙ 2˙ 0˙ 8˙ 6˙ 4˙ 2
˙
9˙ 0˙ 9˙ 8˙ 7˙ 6˙ 5˙ 4˙ 3˙ 2˙ 1

˙
0˙ 1
˙
0˙ 0
Z/10Z
Z/10Z
˙x+ ˙a=˙ b
˙a∈Z/10Z˙a0∈Z/10Z
˙a+ ˙a0=˙ 0 ˙a0˙a
˙a0
˙x=˙ b+ ˙a0
˙a˙x=˙ b
˙a0˙a×˙a0˙ 1
˙a0˙x˙a0
˙a
˙
2
2
1
Z/10Z˙ 1˙ 3˙ 7˙ 9
˙
3 ˙x=˙ 2˙ 7
˙
2 ˙x=˙ 3
˙
4 ˙x=˙ 2˙ 3˙ 8
10
a b b 6= 0
(q, r)
a=bq +r
06r < |b|
(q, r)
a b q r

−17 −4
−17 = (−4) ×(−5) + 3
−17 = (−4) ×(−4) −1
|b|
n
n>2
a(ai)i>0
(ai)
i06ai< n
a=a0+a1n+a2n2+. . . +aini+. . .
(ai) (ai)
n a
a0
a n a1+a2n+. . . +aini−1+. . .
a n
a n a0
n n
n
a1
2
7 125487
125487 = 7 ×17926 + 5
17926 = 7 ×2560 + 6
2560 = 7 ×365 + 5
365 = 7 ×52 + 1
52 = 7 ×7 + 3
7=7×1 + 0
1=7×0 + 1