HLMA304 - Corrigé 2ème session - Juin 2015 Fichier

HLMA304, Arithmétique
Examen de deuxième session, juin 2015
Exercice 1.
(1) Rappeler le petit théorème de Fermat.
Réponse. Soit p un nombre premier, on a, pour tout x dans Z/pZ : xp = x. En particulier, si x est
non nul, xp−1 = 1
(2) Calculer le reste de la division euclidienne de (77 )7 par 2.
Réponse. Dans Z/2Z, (77 )7 = (7)49 = (1)49 = 1. Le reste recherché vaut 1.
(3) Calculer le reste de la division euclidienne de (77 )7 par 5.
Réponse. Dans Z/5Z, (77 )7 = (7)49 = (2)4.12+1 = ((2)4 )12 .2 = 2, d'après le petit théorème de
Fermat. Le reste recherché vaut 2.
(4) En déduire le reste de la division euclidienne de (77 )7 par 10, et le dernier chire de (77 )7 .
Réponse. Le reste recherché, vérie l'équation :
(
x ≡ 1 [2]
,
x ≡ 2 [5]
x ∈ Z.
Une solution évidente de cette équation est x = 7. D'après le théorème des restes chinois (qui s'applique
car pgcd(2, 5) = 1 , on sait que l'ensemble des solutions de cette équation est {7 + k.2.5, k ∈ Z}. La
seule solution comprise entre 0 et 9 est 7, donc le reste vaut 7.
Puisque (77 )7 = q.10 + 7 (pour un entier q ), son dernier chire est 7.
Exercice 2.
(1) Soit n ∈ N. Montrer que 2(n2 + 1) est congru à ±1 modulo 3.
Réponse. Les carrés de Z/3Z sont :{0 = 0 , 1 = 1 = 2 }.
Si n2 = 0 alors 2(n2 + 1) = 2.1 = −1. Si n2 = 1 alors 2(n2 + 1) = 2.2 = 1.
2
2
2
(2) Soit p, n ∈ N∗ tels que p, p + 2(n2 + 1) et p + 4(n2 + 1) sont tous les trois premiers. Montrer
que 3 divise l'un de ces trois entiers.
Réponse. Dans Z/3Z, posons = 2(n2 + 1) = ±1. On observe que
{p, p + 2(n2 + 1), p + 4(n2 + 1)} = {p, p + , p − } = {0, 1, 2},
donc l'un des trois nombres p, p + , p − vaut 0, ce qui signie que l'un des trois nombres p, p + 2(n2 +
1), p + 4(n2 + 1) est divisible par 3, et donc égal à trois puisqu'il est premier.
(3) En déduire que p = 3.
Réponse. Puisque p est premier, p ≥ 2 ce qui implique p + 2(n2 + 1) ≥ 4 et p + 4(n2 + 1) ≥ 6. Mais
l'un des trois nombres de l'énonce vaut 3. Nécessairement, p = 3.
Exercice 3.
Résoudre :
(
x≡2
[35]
,
x ≡ −3 [99]
x ∈ Z.
Réponse. Commençons par appliquer l'algorithme d'Euclide (étendu) pour trouver une relation de
Bezout entre 35 et 99 :
99 = 2.35 + 29, 35 = 1.29 + 6
29 = 4.6 + 5, 6 = 1.5 + 1
ce qui donne, en "remontant" ces égalités :
1 = 6 − 5 = 6 − (29 − 4.6) = −29 + 5.6 = −29 + 5.(35 − 29) = 5.35 + (−6).29
= 5.35 + (−6).(99 − 2.35) = (−6).99 + (17).35.
On applique maintenant le théorème des restes chinois : une solution particulière de l'équation est :
etl0 ensembledessolutionsest :
{ +k.35.99= k∈ Z
Exercice 4.
(Suite de Fibonacci)
On rappelle la dénition de la suite de Fibonacci (Fn )n∈N :
F0 = 0, F1 = 1,
∀n ≥ 2, Fn = Fn−1 + Fn−2
Le but de cet exercice est de montrer que :
∀(m, n) ∈ N∗ 2 , pgcd(Fm , Fn ) = Fpgcd(m,n)
(1) Montrer, pour tout n ≥ 1, que
Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n .
(On pourra raisonner par récurrence sur n).
(2) Déduire de la question précédente que pgcd(Fn , Fn+1 ) = 1.
(3) Montrer que pour tout m, n ≥ 1,
Fm+n = Fm Fn+1 + Fm−1 Fn .
(on pourra raisonner par récurrence sur m).
(4) Soient m, n ≥ 1. Montrer qu'un entier d ≥ 1 divise Fm+n et Fn si et seulement si il divise Fm
et Fn . En déduire que pgcd(Fm+n , Fn ) = pgcd(Fm , Fn ).
(5) (dicile) Démontrer que,
∀(m, n) ∈ N∗ 2 , pgcd(Fm , Fn ) = Fpgcd(m,n)
(On pourra utiliser l'algorithme d'Euclide).
2