Notes du cours (version 2007/2008, encore d`actualité)

UNIVERSITE DE LIEGE
Facult´e des Sciences
COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES
GENERALES
(compl´ements aux cours A, B de premier bachelier en
sciences)
Deuxi`eme ann´ee de bachelier
chimie, g´eom´etrologie-g´eomatique, informatique
Ann´ee acad´emique 2009-2010 Fran¸coise BASTIN

Quelques r´ef´erences
•Notes du cours de Math´ematiques g´en´erales A, B, 1er bachelier en biologie,
chimie, g´eographie, g´eologie, informatique, philosophie, physique
•Calculus, with analytic geometry, Robert Ellis, Denny Gulick, Harcourt Brace
Jovanovich Inc., 1993 (quelques pages concernant les extrema on ´et´e scann´ees
et sont incluses dans les pr´esentes notes)
•Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig, Wiley 2006 (9th edition)
•What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods, Richard
Courant and Herbert Robbins, Oxford University Press (plusieurs ´editions)
Avertissement
Ce syllabus n’est pas finalis´e; le cours, et les pr´esentes notes, se sont adapt´es aux
diverses classes d’´etudiants qui se sont rejointes au fil des ann´ees dans ce cadre. Ce
syllabus constitue cependant un support ´ecrit suffisant pour l’´etude du cours, tenant
compte de l’enseignement proprement dit (th´eorie et exercices), et d´ecrit pr´ecis´ement
dans une table des mati`eres structur´ee et pr´ecis´ee selon les fili`eres. Des compl´ements,
d’autres pr´esentations et exercices peuvent ˆetre trouv´es dans les r´ef´erences fournies
ainsi que sur le web.
Fran¸coise Bastin
21 Septembre 2009

Chapitre 1
G´eom´etrie analytique dans l’espace
1.1 Rappels de calcul vectoriel et quelques compl´ements
1.1.1 Vecteurs, addition, multiplication, combinaisons lin´eaires de vecteurs
Pour des compl´ements d’information, nous renvoyons par exemple au cours de Math´ematiques g´en´e-
rales (A).
Dans l’espace, on d´efinit la notion de vecteur (li´e ou libre), de sens d’un vecteur, de norme d’un
vecteur, de direction d’un vecteur. Un vecteur libre est caract´eris´e par son sens, sa direction et sa
longueur.
Dans l’ensemble des vecteurs, on d´efinit ensuite l’addition entre deux vecteurs et la notion de
multiplication d’un vecteur par un nombre r´eel. Une combinaison lin´eaire d’un nombre fini de vecteurs
est une somme de multiples de ces vecteurs. Par convention, une combinaison lin´eaire de 0 vecteur
est le vecteur nul.
u
v
v
u + vu
-1/3 u
Deux vecteurs multiples l’un de l’autre sont dits “vecteurs parall`eles”.
On appelle droite vectorielle l’ensemble des multiples d’un vecteur non nul; on dit que ce vecteur
engendre la droite vectorielle. On appelle plan vectoriel l’ensemble des combinaisons lin´eaires de deux
vecteurs non parall`eles; on dit que ces vecteurs engendrent le plan vectoriel.
Par d´efinition, un vecteur est parall`ele `a une droite vectorielle (resp. `a un plan vectoriel) s’il
appartient `a cette droite vectorielle (resp. `a ce plan vectoriel).
1.1.2 D´ependance et ind´ependance lin´eaire de vecteurs
D´ efinitions
Cas de 1 vecteur
Le vecteur nul est dit lin´eairement d´ependant; tout vecteur non nul est dit lin´eairement ind´epen-
dant.
1

1.1. CALCUL VECTORIEL 2
Cas de 2 vecteurs
Deux vecteurs ~u, ~v sont dits lin´eairement d´ependants si l’un d’entre eux est multiple de l’autre.
Il revient au mˆeme de dire que deux vecteurs ~u, ~v sont lin´eairement d´ependants s’il existe des r´eels
r, s qui ne sont pas tous les deux nuls tels que
r~u +s~v =~ 0.
Deux vecteurs sont dits lin´eairement ind´ependants s’ils ne sont pas lin´eairement d´ependants.
Il revient au mˆeme de dire que deux vecteurs sont lin´eairement ind´ependants si seule la combinaison
lin´eaire `a coefficients nuls donne le vecteur nul ou encore que
r, s ∈R, r~u +s~v =~ 0⇒r=s= 0.
L’interpr´etation g´eom´etrique est la suivante: deux vecteurs lin´eairement d´ependants sont des
vecteurs parall`eles.
Cas de 3 vecteurs
Trois vecteurs ~u, ~v, ~w sont dits lin´eairement d´ependants si l’un d’entre eux est une combinaison
lin´eaire des deux autres.
Il revient au mˆeme de dire que trois vecteurs ~u, ~v, ~w sont lin´eairement d´ependants s’il existe des
r´eels r, s, t qui ne sont pas tous nuls tels que
r~u +s~v +t ~w =~ 0.
Trois vecteurs sont dits lin´eairement ind´ependants s’ils ne sont pas lin´eairement d´ependants.
Il revient au mˆeme de dire que trois vecteurs sont lin´eairement ind´ependants si seule la combinaison
lin´eaire `a coefficients nuls donne le vecteur nul ou encore que
r, s, t ∈R, r~u +s~v +t ~w =~ 0⇒r=s=t= 0.
L’interpr´etation g´eom´etrique est la suivante: trois vecteurs sont lin´eairement d´ependants s’ils
appartiennent `a un mˆeme plan vectoriel.
Cas de nvecteurs
En toute g´en´eralit´e, nvecteurs ~v1, . . . , ~vn(n´etant un nombre naturel non nul sup´erieur ou ´egal `a
deux) sont lin´eairement d´ependants si l’un d’entre eux est une combinaison lin´eaire des autres.
Il revient au mˆeme de dire que nvecteurs ~v1, . . . ,~vnsont lin´eairement d´ependants s’il existe des
r´eels r1,...,rnnon tous nuls tels que
r1~v1+...+rn~vn=~ 0.
De mˆeme, nvecteurs sont lin´eairement ind´ependants s’ils ne sont pas lin´eairement d´ependants.
Il revient au mˆeme de dire que nvecteurs ~v1, . . . , ~vnsont lin´eairement ind´ependants si seule la
combinaison lin´eaire `a coefficients nuls donne le vecteur nul ou encore que
r1,...,rn∈R, r1~v1+...+rn~vn=~ 0⇒rj= 0 ∀j= 1,...,n.
Propri´ et´ es
Cas de trois vecteurs (ou plus) d’un plan
Dans un plan, si on donne trois vecteurs, alors l’un d’entre eux est toujours une combinaison
lin´eaire des autres. On a mˆeme plus: si ~u, ~v, ~w sont tels que ~u, ~v sont lin´eairement ind´ependants alors
~w est une combinaison lin´eaire de ~u et ~v.
D`es lors, dans un plan, un nombre fini de vecteurs au moins ´egal `a trois forme toujours en ensemble
de vecteurs lin´eairement d´ependants.

1.1. CALCUL VECTORIEL 3
Cas de quatre vecteurs (ou plus) de l’espace
Dans l’espace, si on donne quatre vecteurs, alors l’un d’entre eux est toujours une combinaison
lin´eaire des autres. On a mˆeme plus: si ~u, ~v, ~w, ~x sont des vecteurs de l’espace tels que ~u, ~v, ~w sont
lin´eairement ind´ependants alors ~x est une combinaison lin´eaire de ~u, ~v et ~w.
Il s’ensuit que si on donne quatre vecteurs de l’espace (ou plus), ceux-ci sont toujours lin´eairement
d´ependants.
w
v
u
x
w
v
u
x
r
s
vs
tw
~x =r~u +s~v +t ~w
1.1.3 Base et composantes
Nous renvoyons aussi au cours de Math´ematiques g´en´erales (A).
On appelle base d’une droite vectorielle un vecteur non nul de cette droite.
On appelle base d’un plan vectoriel un ensemble de deux vecteurs lin´eairement ind´ependants de
ce plan.
On appelle base de l’espace un ensemble de trois vecteurs lin´eairement ind´ependants de l’espace.
Soit ~u un vecteur non nul d’une droite vectorielle. Si ~x est un autre vecteur de cette droite
vectorielle, il existe alors un r´eel unique rtel que
~x =r~u.
Le r´eel rest alors appel´e composante du vecteur ~x dans la base {~u}.
Soient ~u1, ~u2deux vecteurs lin´eairement ind´ependants d’un plan vectoriel L. Si ~x est un autre
vecteur de L, alors il existe des r´eels uniques r1, r2tels que
~x =r1~u1+r2~u2.
Les r´eels r1, r2sont appel´es composantes de ~x dans la base {~u1, ~u2}.
Soient ~u1, ~u2, ~u3trois vecteurs lin´eairement ind´ependants de l’espace. Si ~x est un autre vecteur de
l’espace, alors il existe des r´eels uniques r1, r2, r3tels que
~x =r1~u1+r2~u2+r3~u3.
Les r´eels r1, r2, r3sont appel´es composantes de ~x dans la base {~u1, ~u2, ~u3}.
u
u
u
1
2
3 x
u
r11
u
r
ru33
2 2