1 Épreuve et loi de Bernoulli 2 Schéma de

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Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée
S) et « échec » (notée E ou S), de probabilités respectives p et (1 − p) où p est un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont
la probabilité du succès est p.
Remarque
Dans le cas présent, la notion de succès n’a pas valeur de jugement. Le succès peut être un événement
désagréable et, l’échec, un événement heureux.
2
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli
de paramètre p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de
Bernoulli de paramètres n et p est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n, p).
Proposition (Admise)
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors son espérance, sa variance
» et son écart-type sont
respectivement donnés par E(X) = n × p, V (X) = n × p × (1 − p) et σ(X) = n × p × (1 − p).
3
Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, p désigne un réel appartenant à ]0; 1[, n est un entier naturel non nul et k un
entier compris entre 0 et n.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n etÇp.å
n
Le nombre de chemins réalisant exactement k succès sur les n épreuves est noté
(se lit « k parmi n »)
k
et est nommé coefficient binomial.
Ç å
Proposition
n
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors P (X = k) =
× pk × (1 − p)n−k .
k
Méthode (Utilisation de la calculatrice graphique)
Considérons une variable aléatoire
X suivant la loi B(n, p).
Ç å
n
• Calcul du coefficient binomial
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k ou, sur les modèles plus anciens, n nCr k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison ou nCr
• Calcul de la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp (n,p,k) ou binompdf (n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp ou binompdf
• Calcul de la probabilité P (X 6 k) :
◮ Syntaxe : binomFRép (n,p,k) ou binomcdf (n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFRép ou binomcdf
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Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée
S) et « échec » (notée E ou S), de probabilités respectives p et (1 − p) où p est un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont
la probabilité du succès est p.
Remarque
Dans le cas présent, la notion de succès n’a pas valeur de jugement. Le succès peut être un événement
désagréable et, l’échec, un événement heureux.
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Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit n un entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli
de paramètre p est nommée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de
Bernoulli de paramètres n et p est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n, p).
Proposition (Admise)
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors son espérance, sa variance
» et son écart-type sont
respectivement donnés par E(X) = n × p, V (X) = n × p × (1 − p) et σ(X) = n × p × (1 − p).
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Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, p désigne un réel appartenant à ]0; 1[, n est un entier naturel non nul et k un
entier compris entre 0 et n.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres n etÇp.å
n
Le nombre de chemins réalisant exactement k succès sur les n épreuves est noté
(se lit « k parmi n »)
k
et est nommé coefficient binomial.
Ç å
Proposition
n
Si une variable aléatoire X suit la loi B(n, p) alors P (X = k) =
× pk × (1 − p)n−k .
k
Méthode (Utilisation de la calculatrice graphique)
Considérons une variable aléatoire
X suivant la loi B(n, p).
Ç å
n
• Calcul du coefficient binomial
:
k
◮ Syntaxe : n Combinaison k ou, sur les modèles plus anciens, n nCr k
◮ Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison ou nCr
• Calcul de la probabilité P (X = k) :
◮ Syntaxe : binomFdp (n,p,k) ou binompdf (n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp ou binompdf
• Calcul de la probabilité P (X 6 k) :
◮ Syntaxe : binomFRép (n,p,k) ou binomcdf (n,p,k)
◮ Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFRép ou binomcdf