1 Épreuve et loi de Bernoulli 2 Schéma de

1 Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée
S) et « échec » (notée Eou S), de probabilités respectives pet (1 −p)où pest un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont
la probabilité du succès est p.
Remarque
Dans le cas présent, la notion de succès n’a pas valeur de jugement. Le succès peut être un événement
désagréable et, l’échec, un événement heureux.
2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit nun entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter nfois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli
de paramètre pest nommée schéma de Bernoulli de paramètres net p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de
Bernoulli de paramètres net pest appelée loi binomiale de paramètres net pet est notée B(n, p).
Proposition (Admise)
Si une variable aléatoire Xsuit la loi B(n, p)alors son espérance, sa variance et son écart-type sont
respectivement donnés par E(X) = n×p,V(X) = n×p×(1 −p)et σ(X) = »n×p×(1 −p).
3 Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, pdésigne un réel appartenant à ]0; 1[,nest un entier naturel non nul et kun
entier compris entre 0et n.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres net p.
Le nombre de chemins réalisant exactement ksuccès sur les népreuves est noté Çn
kå(se lit « kparmi n»)
et est nommé coefficient binomial.
Proposition
Si une variable aléatoire Xsuit la loi B(n, p)alors P(X=k) = Çn
kå×pk×(1 −p)n−k.
Méthode (Utilisation de la calculatrice graphique)
Considérons une variable aléatoire Xsuivant la loi B(n, p).
•Calcul du coefficient binomial Çn
kå:
◮Syntaxe : nCombinaison kou, sur les modèles plus anciens, nnCr k
◮Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison ou nCr
•Calcul de la probabilité P(X=k):
◮Syntaxe : binomFdp (n,p,k) ou binompdf (n,p,k)
◮Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp ou binompdf
•Calcul de la probabilité P(X6k):
◮Syntaxe : binomFRép (n,p,k) ou binomcdf (n,p,k)
◮Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFRép ou binomcdf

1 Épreuve et loi de Bernoulli
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues, appelées « succès » (notée
S) et « échec » (notée Eou S), de probabilités respectives pet (1 −p)où pest un réel appartenant à ]0; 1[.
On appelle loi de Bernoulli de paramètre p, la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont
la probabilité du succès est p.
Remarque
Dans le cas présent, la notion de succès n’a pas valeur de jugement. Le succès peut être un événement
désagréable et, l’échec, un événement heureux.
2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Soit nun entier naturel non nul.
L’expérience aléatoire consistant à répéter nfois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli
de paramètre pest nommée schéma de Bernoulli de paramètres net p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de
Bernoulli de paramètres net pest appelée loi binomiale de paramètres net pet est notée B(n, p).
Proposition (Admise)
Si une variable aléatoire Xsuit la loi B(n, p)alors son espérance, sa variance et son écart-type sont
respectivement donnés par E(X) = n×p,V(X) = n×p×(1 −p)et σ(X) = »n×p×(1 −p).
3 Loi binomiale et coefficients binomiaux
Dans tout ce paragraphe, pdésigne un réel appartenant à ]0; 1[,nest un entier naturel non nul et kun
entier compris entre 0et n.
Définition
On considère l’arbre pondéré associé au schéma de Bernoulli de paramètres net p.
Le nombre de chemins réalisant exactement ksuccès sur les népreuves est noté Çn
kå(se lit « kparmi n»)
et est nommé coefficient binomial.
Proposition
Si une variable aléatoire Xsuit la loi B(n, p)alors P(X=k) = Çn
kå×pk×(1 −p)n−k.
Méthode (Utilisation de la calculatrice graphique)
Considérons une variable aléatoire Xsuivant la loi B(n, p).
•Calcul du coefficient binomial Çn
kå:
◮Syntaxe : nCombinaison kou, sur les modèles plus anciens, nnCr k
◮Accès : Touche Math puis PRB puis Combinaison ou nCr
•Calcul de la probabilité P(X=k):
◮Syntaxe : binomFdp (n,p,k) ou binompdf (n,p,k)
◮Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFdp ou binompdf
•Calcul de la probabilité P(X6k):
◮Syntaxe : binomFRép (n,p,k) ou binomcdf (n,p,k)
◮Accès : Menu distrib (Touches 2nde var ) puis choisir binomFRép ou binomcdf