Feuille 2

M1 2016–2017
Topologie alg´ebrique
Feuille 2 : Groupe fondamental.
Test de compr´ ehension
Test 1.
Montrer que si x0, x1 sont deux points d’un espace X connexe par arcs, alors π1(X, x0)'π1(X, x1) .
Test 2.
Soit γn: [0,1] →S1le lacet defini par t7→ e2iπnt.
Montrer directement que la concatenation γn.γmest homotope a γn+m.
Groupe fondamental, simple connexit´ e
Exercice 1.
Soit U un ouvert de Rn et γ un chemin dans U . Montrer que γ est homotope `a un chemin
affine par morceaux.
Soit M une vari´et´e diff´erentiable Ck , et γ un chemin dans M . Montrer que γ est homotope
`a un chemin Ckpar morceaux.
Exercice 2.
Montrer qu’un espace X est simplement connexe ssi il est connexe par arcs et si l’ensemble
des lacets bas´es en x0 est connexe (pour la topologie compacte-ouverte sur l’ensemble
des applications continues [0,1] →X , ou de la convergence uniforme si X est un espace
metrique).
Exercice 3. Classes d’homotopie libre
Soit S1le cercle unit´e de R2, et a= (1,0).
a. Montrer que X est simplement connexe ssi il est connexe par arcs et si pour toute
application continue f:S1→X , f s’etend en une application continue F:D2→X sur le
disque unit´e.
b. Montrer que π1(X, x0)s’identifie avec l’ensemble des applications S1→Xenvoyant a
sur x0, modulo homotopie RELATIVE au sous-ensemble {a}.
c. Supposons X connexe par arcs. Une classe d’homotopie d’applications S1→X (non
relative a {a} , sans r´ef´erence `a un point base de X ) s’appelle une classe d’homotopie libre
de lacets.
Montrer que si x0 est un point base de X , l’ensemble des classes d’homotopie libre de
lacets s’identifie avec l’ensemble des classes de conjugaison d’´el´ements de π1(X, x0).
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Exercice 4.
Soit G un groupe topologique. Par definition, cela veut dire que c’est un espace topologique
muni d’une structure de groupes tel que les applications de multiplication m:G×G→G
et d’inverse I:G→G definies par m(x, y) = xy et I(x) = x−1 sont continues. Exemples
de groupes topologiques C∗, S1, SLn(R), SLn(C), On(R), Un(C).
a. Soit G0⊂G la composante connexe de l’´el´ement neutre 1 . Montrer que G0 est un
sous-groupe distingu´e de G. Meme question avec la composante connexe par arcs de 1.
b. Montrer que toutes les composantes connexes de Gsont hom´eomorphes entre elles.
c.
On suppose G connexe par arcs. Montrer que π1(G, 1) est ab´elien. Etant donn´e deux
lacets γ, γ0, on pourra consid´erer F: [0,1]2→G(s, t)7→ γ(s)γ0(t).
Montrer que si γ, γ0 sont 2 chemins, leur concatenation γ.γ0 est homotope au chemin
t7→ γ(t)γ0(t).
Exercice 5.
Soient X, Y deux espaces topologiques. On a vu que si f, g sont homotopes relaltivement
`a x0, les applications induites entre les groupes fondamentaux coincident.
On suppose que f, g sont homotopes, mais pas relativement a x0 . On ne suppose pas non
plus que f(x0)coincide avec g(x0).
Montrer qu’il existe ηun chemin de f(x0)ag(x0)tq f∗= adη◦g∗.
Exercice 6.
Montrer que tout hom´eomorphisme du disque unit´e B2 de dimension 2 envoie S1 dans S1 .
Exercice 7.
Soit d={0} × R⊂R2, et p:R2→dla projection orthogonale.
a. Montrer que pest une retraction par deformation
b. Soit X=R2\ {(1,0)} , et q:X→d la restriction de q . Montrer que q est une retraction,
mais pas une retraction par deformation.
c. Soit d, d0 deux droites de R3 disjointes, X=R3\d , et r:X→d0 la restriction de la
projection orthogonale sur d0 . Montrer que r est une retraction, mais pas une retraction
par deformation.
Theoreme du sandwich
Exercice 8. Th´eor`eme du sandwich
Il s’agit de d´emontrer le th´eor`eme suivant. Soient P, J, F ⊂R3 (pain, jambon, fromage)
3 sous-ensembles ouverts connexes et born´es de R3 , (non vides). Alors il existe un plan
H⊂R3qui decoupe chacun des 3 ensembles P, J, F en 2 morceaux de mesure egale.
a. Montrer qu’´etant donn´e un vecteur unitaire v∈R3 , il existe un unique r´eel a(v) tel que
l’hyperplan affine d’´equation hx|vi=a(v) d´ecoupe l’ouvert P en deux moit´es de mesures
´egales. Montrer que v7→ a(v)est continue.
b. Notons Hv le demi-espace d’´equation hx|vi ≥ a(v) . Soient fF(v) = V ol(F∩Hv) et
fJ(v) = V ol(J∩Hv). Montrer qu’elles sont continues.
c. Constuire `a partir de fF et fJ une fonction de S2→R2 qui satisfait les hypoth`eses du
th´eor`eme de Borsuk Ulam, et en d´eduire le th´eor`eme du Sandwich.
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d. G´en´eraliser l’argument si P, J, F sont trois ensembles mesurables born´es quelconques.
Produits libres
Exercice 9.
a. Montrer qu’un produit libre de 2 groupes non triviaux est non commutatif.
b. Montrer que le groupe Z/2Z∗Z/2Z est isomorphe au groupe infini di´edral, c’est `a
dire au groupe des isom´etries de R engendr´e par la symm´etrie z7→ −z et la translation
z7→ z+ 1, et en particulier qu’il est r´esoluble.
c. Montrer que F2 contient un sous-groupe libre de rang infini, donc contient des groupes
isomorphes `a Fnpour tout n.
d. Montrer que le groupe libre Fnn’est pas r´esoluble si n≥2.
Th´ eor` eme de Van Kampen
Exercice 10.
a. Soient x1, . . . , xk∈R2. Determiner le groupe fondamental de R2\ {x1, . . . , xk}.
b. Soient x1, . . . , xk∈Rn , avec n≥3 . Determiner le groupe fondamental de Rn\{x1, . . . , xk} .
Exercice 11.
Classer les lettres de l’alphabet `a homotopie pres, puis `a hom´eomorphisme pr`es. D´eterminer
leur groupe fondamental.
Exercice 12.
Soit S1 plong´e de mani`ere canonique dans R3 : S1={(x, y, 0)|x2+y2= 1} . D´eterminer le
groupe fondamental de X=R3\S1.
On pourra montrer que X se retracte par d´eformation sur B(0,2) \S1 , qui lui mˆeme se
retracte par d´eformation sur S(0,2) ∪[N, S]o`u N= (2,0,0) et S= (−2,0,0).
Exercice 13.
Soit X=S1×S1\∆ o`u ∆ est la diagonale. Monter que X'S1×R et d´eterminer son
groupe fondamental.
Exercice 14.
Soit X l’espace obtenu `a partir de la r´eunion disjointe de deux carr´es A1A2A3A4 et
B1B2B3B4 en recollant l’arete [Ai, Ai+1] sur l’arete [Bi+1, Bi] en renversant l’orientation
(ie en envoyant Aisur Bi+1 et Ai+1 sur Bi).
D´eterminer une pr´esentation du groupe fondamental de X.
Exercice 15.
Soit [−1,1]3 le cube de R3 , et X obtenu partir de [−1,1]3 en identifiant chaque face avec
son image par le vissage direct compos´e d’un quart de tour et d’une translation de longueur
1parall`ele aux axes.
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a. Montrer qu’il y a 2 classes d’´equivalence de sommets, 4 d’arˆetes, et 3 classes de faces.
b. Montrer que π1(X) est isomorphe `a H8 le groupe des quaternions `a 8 ´el´ements
{±1,±i, ±j, ±k}.
Compl´ ements
Exercice 16.
Soit X un espace topologique et x0 un point base. Un lacet spherique est une application
σ: [0,1]2→X qui envoit le sous-ensemble B⊂[0,1]2 des 4 segments du bord du carr´e en
x0 . On definit π2(X, x0) comme l’ensemble des classes d’homotopie relatives a B de lacets
spheriques.
On definit la concat´enation de 2 lacets spheriques en juxtaposant les deux carr´es : σ.σ0(x, y)
est defini comme σ(2x, y)pour x≤1/2et comme σ0(2x−1, y)pour x≥1/2.
Montrer que π2(X, x0)est un groupe, et qu’il est ab´elien.
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