Feuille 2

M1
2016–2017
Topologie algébrique
Feuille 2 : Groupe fondamental.
Test de compréhension
Test 1.
Montrer que si x0 , x1 sont deux points d’un espace X connexe par arcs, alors π1 (X, x0 ) ' π1 (X, x1 ).
Test 2.
Soit γn : [0, 1] → S 1 le lacet defini par t 7→ e2iπnt .
Montrer directement que la concatenation γn .γm est homotope a γn+m .
Groupe fondamental, simple connexité
Exercice 1.
Soit U un ouvert de Rn et γ un chemin dans U . Montrer que γ est homotope à un chemin
affine par morceaux.
Soit M une variété différentiable C k , et γ un chemin dans M . Montrer que γ est homotope
à un chemin C k par morceaux.
Exercice 2.
Montrer qu’un espace X est simplement connexe ssi il est connexe par arcs et si l’ensemble
des lacets basés en x0 est connexe (pour la topologie compacte-ouverte sur l’ensemble
des applications continues [0, 1] → X , ou de la convergence uniforme si X est un espace
metrique).
Exercice 3. Classes d’homotopie libre
Soit S 1 le cercle unité de R2 , et a = (1, 0).
a. Montrer que X est simplement connexe ssi il est connexe par arcs et si pour toute
application continue f : S 1 → X , f s’etend en une application continue F : D2 → X sur le
disque unité.
b. Montrer que π1 (X, x0 ) s’identifie avec l’ensemble des applications S 1 → X envoyant a
sur x0 , modulo homotopie RELATIVE au sous-ensemble {a}.
c. Supposons X connexe par arcs. Une classe d’homotopie d’applications S 1 → X (non
relative a {a}, sans référence à un point base de X ) s’appelle une classe d’homotopie libre
de lacets.
Montrer que si x0 est un point base de X , l’ensemble des classes d’homotopie libre de
lacets s’identifie avec l’ensemble des classes de conjugaison d’éléments de π1 (X, x0 ).
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Exercice 4.
Soit G un groupe topologique. Par definition, cela veut dire que c’est un espace topologique
muni d’une structure de groupes tel que les applications de multiplication m : G × G → G
et d’inverse I : G → G definies par m(x, y) = xy et I(x) = x−1 sont continues. Exemples
de groupes topologiques C∗ , S 1 , SLn (R), SLn (C), On (R), Un (C).
a. Soit G0 ⊂ G la composante connexe de l’élément neutre 1. Montrer que G0 est un
sous-groupe distingué de G. Meme question avec la composante connexe par arcs de 1.
b. Montrer que toutes les composantes connexes de G sont homéomorphes entre elles.
c. On suppose G connexe par arcs. Montrer que π1 (G, 1) est abélien. Etant donné deux
lacets γ, γ 0 , on pourra considérer F : [0, 1]2 → G (s, t) 7→ γ(s)γ 0 (t).
Montrer que si γ, γ 0 sont 2 chemins, leur concatenation γ.γ 0 est homotope au chemin
t 7→ γ(t)γ 0 (t).
Exercice 5.
Soient X, Y deux espaces topologiques. On a vu que si f, g sont homotopes relaltivement
à x0 , les applications induites entre les groupes fondamentaux coincident.
On suppose que f, g sont homotopes, mais pas relativement a x0 . On ne suppose pas non
plus que f (x0 ) coincide avec g(x0 ).
Montrer qu’il existe η un chemin de f (x0 ) a g(x0 ) tq f∗ = adη ◦ g∗ .
Exercice 6.
Montrer que tout homéomorphisme du disque unité B 2 de dimension 2 envoie S 1 dans S 1 .
Exercice 7.
Soit d = {0} × R ⊂ R2 , et p : R2 → d la projection orthogonale.
a. Montrer que p est une retraction par deformation
b. Soit X = R2 \ {(1, 0)}, et q : X → d la restriction de q . Montrer que q est une retraction,
mais pas une retraction par deformation.
c. Soit d, d0 deux droites de R3 disjointes, X = R3 \ d, et r : X → d0 la restriction de la
projection orthogonale sur d0 . Montrer que r est une retraction, mais pas une retraction
par deformation.
Theoreme du sandwich
Exercice 8. Théorème du sandwich
Il s’agit de démontrer le théorème suivant. Soient P, J, F ⊂ R3 (pain, jambon, fromage)
3 sous-ensembles ouverts connexes et bornés de R3 , (non vides). Alors il existe un plan
H ⊂ R3 qui decoupe chacun des 3 ensembles P, J, F en 2 morceaux de mesure egale.
a. Montrer qu’étant donné un vecteur unitaire v ∈ R3 , il existe un unique réel a(v) tel que
l’hyperplan affine d’équation hx|vi = a(v) découpe l’ouvert P en deux moités de mesures
égales. Montrer que v 7→ a(v) est continue.
b. Notons Hv le demi-espace d’équation hx|vi ≥ a(v). Soient fF (v) = V ol(F ∩ Hv ) et
fJ (v) = V ol(J ∩ Hv ). Montrer qu’elles sont continues.
c. Constuire à partir de fF et fJ une fonction de S 2 → R2 qui satisfait les hypothèses du
théorème de Borsuk Ulam, et en déduire le théorème du Sandwich.
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d. Généraliser l’argument si P, J, F sont trois ensembles mesurables bornés quelconques.
Produits libres
Exercice 9.
a. Montrer qu’un produit libre de 2 groupes non triviaux est non commutatif.
b. Montrer que le groupe Z/2Z ∗ Z/2Z est isomorphe au groupe infini diédral, c’est à
dire au groupe des isométries de R engendré par la symmétrie z 7→ −z et la translation
z 7→ z + 1, et en particulier qu’il est résoluble.
c. Montrer que F2 contient un sous-groupe libre de rang infini, donc contient des groupes
isomorphes à Fn pour tout n.
d. Montrer que le groupe libre Fn n’est pas résoluble si n ≥ 2.
Théorème de Van Kampen
Exercice 10.
a. Soient x1 , . . . , xk ∈ R2 . Determiner le groupe fondamental de R2 \ {x1 , . . . , xk }.
b. Soient x1 , . . . , xk ∈ Rn , avec n ≥ 3. Determiner le groupe fondamental de Rn \{x1 , . . . , xk }.
Exercice 11.
Classer les lettres de l’alphabet à homotopie pres, puis à homéomorphisme près. Déterminer
leur groupe fondamental.
Exercice 12.
Soit S 1 plongé de manière canonique dans R3 : S 1 = {(x, y, 0)|x2 + y 2 = 1}. Déterminer le
groupe fondamental de X = R3 \ S 1 .
On pourra montrer que X se retracte par déformation sur B(0, 2) \ S 1 , qui lui même se
retracte par déformation sur S(0, 2) ∪ [N, S] où N = (2, 0, 0) et S = (−2, 0, 0).
Exercice 13.
Soit X = S 1 × S 1 \ ∆ où ∆ est la diagonale. Monter que X ' S 1 × R et déterminer son
groupe fondamental.
Exercice 14.
Soit X l’espace obtenu à partir de la réunion disjointe de deux carrés A1 A2 A3 A4 et
B1 B2 B3 B4 en recollant l’arete [Ai , Ai+1 ] sur l’arete [Bi+1 , Bi ] en renversant l’orientation
(ie en envoyant Ai sur Bi+1 et Ai+1 sur Bi ).
Déterminer une présentation du groupe fondamental de X .
Exercice 15.
Soit [−1, 1]3 le cube de R3 , et X obtenu partir de [−1, 1]3 en identifiant chaque face avec
son image par le vissage direct composé d’un quart de tour et d’une translation de longueur
1 parallèle aux axes.
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a. Montrer qu’il y a 2 classes d’équivalence de sommets, 4 d’arêtes, et 3 classes de faces.
b. Montrer que π1 (X) est isomorphe à H8 le groupe des quaternions à 8 éléments
{±1, ±i, ±j, ±k}.
Compléments
Exercice 16.
Soit X un espace topologique et x0 un point base. Un lacet spherique est une application
σ : [0, 1]2 → X qui envoit le sous-ensemble B ⊂ [0, 1]2 des 4 segments du bord du carré en
x0 . On definit π2 (X, x0 ) comme l’ensemble des classes d’homotopie relatives a B de lacets
spheriques.
On definit la concaténation de 2 lacets spheriques en juxtaposant les deux carrés : σ.σ 0 (x, y)
est defini comme σ(2x, y) pour x ≤ 1/2 et comme σ 0 (2x − 1, y) pour x ≥ 1/2.
Montrer que π2 (X, x0 ) est un groupe, et qu’il est abélien.
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