TD 2 : Homotopies

Groupe fondamental et revêtements TD 2 26 Janvier 2015
TD 2 : Homotopies
Exercice 1.— Espaces contractiles
1. Montrer qu’un espace contractile est connexe par arcs.
2. Soit Xun espace topologique, montrer que les propositions suivantes sont équiva-
lentes :
(a) Xest contractile.
(b) id : X→Xest homotope à une application constante.
(c) Toute application Y→Xest homotope à une application constante.
(d) Deux applications Y→Xsont toujours homotopes.
(e) Toute application X→Zest homotope à une application constante.
3. Deux applications X→Zsont-elles toujours homotopes ?
Exercice 2.— Une rétraction par déformation explicite
Décrire une rétraction par déformation du tore T2privé d’un point sur l’union de deux
cercles méridien/longitude.
Exercice 3.— Simple connexité
Soit Xun espace topologique.
1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Toute application continue S1→Xest homotope à une application constante.
(b) Toute application continue S1→Xs’étend en une application continue D2→
X.
(c) π1(X, x0)=0pour tout x0∈X.
2. En déduire que Xest simplement connexe ssi toutes les applications continues S1→
Xsont homotopes.
Exercice 4.— Composante connexe
Soit Xun espace topologique et x0∈X. On note X0la composante connexe de x0,
montrer que l’inclusion X0⊆Xinduit un isomorphisme π1(X0, x0)→π1(X, x0).
Exercice 5.— Lacet ambiant
Soit Xun espace topologique et φ: [0,1] ×X→Xune application continue telle que
φ(0, .) = φ(1, .) = idX. Montrer que pour tout x0∈X, le lacet t7→ φt(x0)est dans le
centre de π1(X, x0).
Exercice 6.— Groupe fondamental d’un groupe topologique
Soit Gun groupe topologique (c’est-à-dire muni d’une topologie pour laquelle la multi-
plication et l’inverse sont continus).
1. Montrer que pour tout g, h ∈G,π1(G, g)'π1(G, h).
2. Montrer que π1Gest abélien.
3. Montrer que la multiplication terme à terme des chemins coincide avec la concaté-
nation des chemins à homotopie près.
ENS Lyon 1 L3

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Exercice 7.— Cylindre d’une application
Soit f:X→Yune application continue, on considère l’espace
Cf=X×[0,1] tY/ ∼
où ∼est la relation d’équivalence engendrée par (x, 1) ∼f(x)pour x∈X.
1. Montrer que Cfse rétracte par déformation sur Y.
2. Montrer que Cfse rétracte par déformation sur X× {0}si et seulement si fest une
équivalence d’homotopie.
3. Montrer que deux espaces Xet Yont le même type d’homotopie si et seulement si
il existe un espace Zcontenant Xet Ycomme rétractés par déformation.
Exercice 8.— Un espace contractile vicieux
Un espace contractile admet-il une rétraction par déformation sur un de ses points ?
ENS Lyon 2 L3