TD 2 : Homotopies

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Groupe fondamental et revêtements
TD 2
26 Janvier 2015
TD 2 : Homotopies
Exercice 1.— Espaces contractiles
1. Montrer qu’un espace contractile est connexe par arcs.
2. Soit X un espace topologique, montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(a) X est contractile.
(b) id : X → X est homotope à une application constante.
(c) Toute application Y → X est homotope à une application constante.
(d) Deux applications Y → X sont toujours homotopes.
(e) Toute application X → Z est homotope à une application constante.
3. Deux applications X → Z sont-elles toujours homotopes ?
Exercice 2.— Une rétraction par déformation explicite
Décrire une rétraction par déformation du tore T2 privé d’un point sur l’union de deux
cercles méridien/longitude.
Exercice 3.— Simple connexité
Soit X un espace topologique.
1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Toute application continue S1 → X est homotope à une application constante.
(b) Toute application continue S1 → X s’étend en une application continue D2 →
X.
(c) π1 (X, x0 ) = 0 pour tout x0 ∈ X.
2. En déduire que X est simplement connexe ssi toutes les applications continues S1 →
X sont homotopes.
Exercice 4.— Composante connexe
Soit X un espace topologique et x0 ∈ X. On note X0 la composante connexe de x0 ,
montrer que l’inclusion X0 ⊆ X induit un isomorphisme π1 (X0 , x0 ) → π1 (X, x0 ).
Exercice 5.— Lacet ambiant
Soit X un espace topologique et φ : [0, 1] × X → X une application continue telle que
φ(0, .) = φ(1, .) = idX . Montrer que pour tout x0 ∈ X, le lacet t 7→ φt (x0 ) est dans le
centre de π1 (X, x0 ).
Exercice 6.— Groupe fondamental d’un groupe topologique
Soit G un groupe topologique (c’est-à-dire muni d’une topologie pour laquelle la multiplication et l’inverse sont continus).
1. Montrer que pour tout g, h ∈ G, π1 (G, g) ' π1 (G, h).
2. Montrer que π1 G est abélien.
3. Montrer que la multiplication terme à terme des chemins coincide avec la concaténation des chemins à homotopie près.
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Exercice 7.— Cylindre d’une application
Soit f : X → Y une application continue, on considère l’espace
Cf = X × [0, 1] t Y / ∼
où ∼ est la relation d’équivalence engendrée par (x, 1) ∼ f (x) pour x ∈ X.
1. Montrer que Cf se rétracte par déformation sur Y .
2. Montrer que Cf se rétracte par déformation sur X × {0} si et seulement si f est une
équivalence d’homotopie.
3. Montrer que deux espaces X et Y ont le même type d’homotopie si et seulement si
il existe un espace Z contenant X et Y comme rétractés par déformation.
Exercice 8.— Un espace contractile vicieux
Un espace contractile admet-il une rétraction par déformation sur un de ses points ?
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