TD 8 : Modes de convergence

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD 8 : Modes de convergence
1. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. Déterminer pour chacune des convergences
suivantes à quelle condition sur la suite (An)n≥1elle a lieu.
a. La suite (An)n≥1converge en probabilité vers 0.
b. La suite (An)n≥1converge dans L2vers 0.
c. La suite (An)n≥1converge presque sûrement vers 0.
Solution de l’exercice 1. a. Supposons que Anconverge vers 0en probabilité. Alors
en particulier, P(An>1
2) = P(An)tend vers 0. Réciproquement, si P(An)converge vers
0, alors pour tout ε > 0,P(An> ε)≤P(An)converge vers 0.
Finalement la condition est limn→∞ P(An)=0.
b. On a E[An] = P(An). La condition est donc limn→∞ P(An) = 0.
c. Soit ω∈Ω. La suite (An(ω))n≥1converge vers 0si et seulement si elle est station-
naire, égale à 0à partir d’un certain rang. Ceci a lieu si et seulement si ωappartient à
lim inf Ac
n, qui est le complémentaire de lim sup An. Ainsi, la convergence a lieu presque
sûrement si et seulement si P(lim sup An)=0.
2. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre p∈]0,1[. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn)n≥1prend une infinité de
fois la valeur 1et une infinité de fois la valeur 0.
Solution de l’exercice 2. Pour tout n≥1, posons An={Xn= 1}et Bn={Xn= 0}.
Les événements (An)n≥1sont indépendants et tous de probabilité p > 0. En particulier,
Pn≥1P(An)=+∞. La deuxième partie du lemme de Borel-Cantelli entraîne donc que
P(lim sup An)=1. Le même raisonnement s’applique aux événements Bnqui sont de
probabilité 1−p > 0. Donc P(lim sup Bn)=1, et P(lim sup An∩lim sup Bn)=1. Or
l’événement lim sup An∩lim sup Bnest précisément l’événement où la suite (Xn)n≥1prend
une infinité de fois la valeur 1et une infinité de fois la valeur 0.
3. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires telle que pour tout n≥1on ait
P(Xn=−1) = 1 −1
n2et P(Xn=n2−1) = 1 n2.
a. Montrer que la suite (Xn)n≥1converge vers −1en probabilité.
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b. Montrer que la suite (Xn)n≥1converge presque sûrement vers −1. Cette convergence
a-t-elle lieu dans L1?
Solution de l’exercice 3. a. Soit ε > 0un réel. Pour tout n≥1, on a P(|Xn+ 1|> ε) =
1
n2, donc
lim
n→∞
P(|Xn+ 1|> ε) = 0.
Puisque ceci a lieu pour tout ε > 0, la suite (Xn)n≥1converge en probabilité vers −1.
b. On a, pour tout n≥1,P(Xn6=−1) = 1
n2, donc
X
n≥1
P(Xn6=−1) <+∞.
D’après le lemme de Borel-Cantelli, ceci entraîne qu’avec probabilité 1, il n’y a qu’un
nombre fini de valeurs de npour lesquelles Xnn’est pas égal à −1. Autrement dit, avec
probabilité 1,Xnest égal à −1pour nassez grand. En particulier, avec probabilité 1, la
suite (Xn)n≥1converge vers −1.
La suite (Xn)n≥1converge donc presque sûrement vers −1.
Si l’on avait convergence dans L1de la suite (Xn)n≥1vers −1, on aurait en particulier
limn→∞ E[Xn] = E[−1] = −1. Or, pour tout n≥1, on a
E[Xn] = −1(1 −1
n2)+(n2−1) 1 n2= 0.
La convergence n’a donc pas lieu dans L1.
4. Soit (θn)n≥1une suite de réels strictement positifs telle que limn→+∞θn= +∞.
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n≥1,
Xnsuive la loi exponentielle de paramètre θn.
a. Étudier la convergence en probabilités de la suite (Xn)n≥1. Quelle hypothèse n’a-t-on
pas utilisée ?
b. Reprendre la question précédente avec la convergence dans L1.
c. Étudier, dans le cas où θn=npuis dans le cas où θn= log n, la convergence presque
sûre de la suite (Xn)n≥1.
Solution de l’exercice 4. a. On devine que la suite (Xn)n≥1tend vers 0en probabilité.
Par exemple, on peut observer que l’espérance et la variance de Xn, qui valent toutes
deux 1
θn, convergent vers 0. On sait que cela implique que la suite (Xn)n≥0converge dans
L2vers 0, et donc en probabilité.
Démontrons néanmoins directement la convergence. Soit ε > 0. On a
P(Xn> ε) = Z+∞
ε
θne−θnxdx =e−θnε.
Puisque la suite (θn)n≥1tend vers +∞, la suite (e−θnε)n≥1tend vers 0, et ce quel que soit
ε. Ceci montre qu’on a la convergence
Xn
P
−→
n→+∞0.
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On ne s’est pas servi de l’hypothèse d’indépendance.
b. Puisque la suite (Xn)n≥1converge vers 0en probabilité, sa seule limite possible dans
L1est 0. Pour tout n≥1, on a
E[|Xn−0|] = E[|Xn|] = E[Xn] = 1
θn
,
qui tend vers 0lorsque ntend vers l’infini. Ceci montre qu’on a la convergence
Xn
L1
−→
n→+∞0.
On ne s’est toujours pas servi de l’hypothèse d’indépendance.
c. Comme à la question précédente, la seule limite presque sûre possible pour la suite
(Xn)n≥0est 0. La question est donc de déterminer si l’événement
\
k≥1[
N≥1\ n≥N|Xn| ≤ 1
k,
qui est l’événement où la suite converge vers 0, est de probabilité 1ou non. Pour que cet
événement soit de probabilité 1, il faut (et il suffit) que pour tout k≥1, l’événement
[
N≥1\ n≥N|Xn| ≤ 1
k
soit de probabilité 1, ce qui équivaut à ce que l’événement complémentaire
\
N≥1[ n≥N|Xn|>1
k
soit de probabilité nulle. Ce dernier événement se présente comme la limite supérieure
d’une suite d’événements, en l’occurence la suite |Xn|>1
kn≥1.
Considérons la cas θn=n. Nous avons
P|Xn|>1
k=e−n
k= (e−1 k)n,
si bien que pour tout k≥1, la série
X
n≥1
P|Xn|>1
k,
qui est une série géométrique de raison strictement inférieure à 1, converge. Le lemme de
Borel-Cantelli nous permet d’en déduire que
Plim sup |Xn|>1
k=P \
N≥1[ n≥N|Xn|>1
k!= 0.
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Nous avons déjà dit pourquoi ceci entraînait la convergence presque sûre de la suite. Dans
ce cas, nous avons donc
Xn
p.s.
−→
n→+∞0.
Nous ne nous sommes toujours pas servi de l’hypothèse d’indépendance.
Nous allons enfin nous en servir dans le cas θn= log n. En effet, dans ce cas,
P|Xn|>1
k=e−log n
k=1
n1
k
.
Pour k= 1 par exemple, nous en déduisons
X
n≥1
P|Xn|>1
k= +∞
et donc, par la deuxième assertion du lemme de Borel-Cantelli,
P(lim sup {|Xn|>1}) = P \
N≥1[ n≥N
{|Xn|>1}!= 1.
Ainsi, avec probabilité 1, la suite (Xn)n≥1prend une infinité de fois des valeurs supérieures
à1. Ce comportement est incompatible avec la convergence vers 0, aussi, la probabilité
qu’elle converge vers 0est nulle. Nous avons déjà dit que la seule limite presque sûre
possible pour la suite (Xn)n≥1était la variable nulle, car c’est sa limite en probabilité.
Dans le cas où θn= log n, nous en déduisons que la suite (Xn)n≥1n’a pas de limite
presque sûre.
Une simulation peut permettre de mieux saisir la différence entre la convergence en
probabilité et la convergence presque sûre. Voici respectivement un tirage des 100 pre-
miers termes et des 10000 premiers termes de la suite (Xn)n≥1lorsque θn=n.
La suite converge rapidement vers 0 et, après quelques fluctuations, ne prend plus que
des valeurs extrêmement petites. On verrait un tel comportement en grossissant autant
qu’on pourrait le souhaiter l’échelle sur l’axe des ordonnées.
Voici maintenant un tirage des 100 premiers termes et des 10000 premiers termes de
la suite (Xn)n≥1lorsque θn= log n.
La suite a tendance à prendre des valeurs proches de 0et, bien que ce ne soit pas très
visible, cette tendance s’accentue lorsque ngrandit, au point que la densité de points bleus
au-dessus de n’importe quelle barrière strictement positive finira par devenir quasiment
nulle (c’est le sens de la convergence en probabilité). Par contre, il arrive, et il continuera
d’arriver pour des valeurs arbitrairement grandes de nque la suite prenne des valeurs
macroscopiquement grandes, en l’occurence de l’ordre de 1. On peut vérifer expérimen-
talement la persistance de ce comportement en regardant un tirage des 100 000 premiers
termes :
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5. Soit (an)n≥1une suite de réels. Soit cun réel.
a. Montrer que lim sup an> c si et seulement s’il existe un réel c0> c tel qu’on ait
an> c0pour une infinité de n.
b. Montrer que lim sup an< c si et seulement s’il existe un réel c0< c tel que an< c0
pour nassez grand.
Solution de l’exercice 5. a. Supposons lim sup an> c. Il existe une sous-suite de (an)n≥1
qui converge vers lim sup an. Soit (ank)k≥1une telle sous-suite. Soient c0et c00 tels que
c<c0< c00 <lim sup an. Le fait que la suite (ank)k≥1converge vers lim sup anassure que
pour kassez grand, on a ank≥c00 > c0. Ainsi, la suite (an)n≥1a une infinité de termes
strictement supérieurs à c0.
Réciproquement, supposons qu’il existe c0> c et une infinité de ntels que an> c0. La
suite (an)n≥1possède donc une sous-suite (bk)k≥1dont tous les termes sont strictement
supérieurs à c0. Toute valeur d’adhérence de cette sous-suite est donc supérieure ou égale
àc0. Par ailleurs, toute valeur d’adhérence de (bk)k≥1est aussi une valeur d’adhérence de
(an)n≥1. Ainsi, lim sup an≥lim sup bk≥c0> c.
b. Supposons an< c0pour nassez grand. Alors toute suite extraite de anest bornée
asymptotiquement par c0, donc toute limite de suite extraite de anest inférieure ou égale
àc0. Ainsi, lim sup an≤c0< c.
Réciproquement, supposons que lim sup an< c. On peut trouver c0tel que lim sup an<
c0< c. Alors en reprenant les notations de l’exercice précédent, vu la décroissance de sp,
il existe un Ntel que sp< c0pour tout p>N, en particulier sN< c0ce qui donne par
définition de sN, pour tout n>N,an< c0< c.
6. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires de loi exponentielle E(1).
a.Montrer que Plim sup Xn
log n>1= 0.
On suppose désormais X1, X2, . . . indépendantes.
b. Montrer que Plim sup Xn
log n<1= 0. Montrer que ce résultat peut être faux
sans l’hypothèse d’indépendance.
c. Montrer que lim sup Xn
log nest presque sûrement égale à une constante que l’on déter-
minera.
d. Montrer que lim inf Xnest presque sûrement égale à 0.
Solution de l’exercice 6. a. D’après l’exercice 3, on a
lim Xn
log n>1=[
k≥1Xn
log n>1 + 1 kinfiniment souvent 
=[
k≥1
lim sup
n→∞ Xn
log n>1 + 1 k.
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