CourbesParametrees

Courbes param´ etr´ ees
Lang Fred, prof. HEIG-VD1
Pour concr´etiser ce cours, on utilisera le langage de la cin´ematique et le temps pour param`etre.
Les r´esultats restent valables si le param`etre repr´esente un angle ou tout autre quantit´e.
O
AP
y
x
B
v
v
Γ
Γ '
Mouvement bielle-manivelle: hodographe Γ’ du vecteur vitesse ~v et trajectoire Γd’un point de la bielle.
1Version 2007
1

1 Exemples
1.1 Mouvement circulaire
x
y
O
v
®
i
®
j
®
a
®
at
®
an
®
P
Α
Figure 1: Mouvement circulaire: vecteurs position ~r=
−→
OP, vitesse ~vet acc´el´eration ~a, celle-ci se d´ecompose en
composantes tangentielle ~atet normales ~an.
Sur la figure, on peut observer deux propri´et´es qui se g´en´eraliseront `a tous les mouvements:
•L’acc´el´eration et sa composante normale sont dirig´es du mˆeme cˆot´e de la trajectoire, celui indiqu´e
par la courbure de la courbe.
•Si le v´ehicule acc´el`ere, l’acc´el´eration tangentielle va contribuer `a augmenter la vitesse et a le mˆeme
sens que celui-ci, si le v´ehicule d´ec´el`ere, les vecteurs seront de sens oppos´es.
Le vecteur position est donn´e par:
−→
OP =~r(t)=R( cos(α)~ i+sin(α)~ j)
o`u Rest le rayon du cercle et α=α(t) est l’angle entre l’axe Ox et ~r.
Le vecteur vitesse s’obtient en d´erivant le vecteur position:
~v=~v(t)=d~r
dt =˙
~r=Rω(−sin(α)~ i+cos(α)~ j)
o`u
ω=ω(t)=dα
dt =˙α
est la vitesse angulaire2.
2que nous supposerons positive pour all´eger les notations.
2

La vitesse scalaire est la norme du vecteur vitesse:
v=v(t)=||~v|| =Rω
Le vecteur acc´ el´ eration est la d´eriv´ee du vecteur vitesse:
~a=~a(t)=d~v
dt
=˙ ~v=¨ ~r=R˙ω(−sin(α)~ i+cos(α)~ j)−Rω2( cos(α)~ i+sin(α)~ j)
o`u ˙ωest l’acc´ el´ eration angulaire.
Comme on le voit, ce vecteur se d´ecompose en deux composantes, tangentielle et normale:
~a=~at+~an
o`u
~at=R˙ω(−sin(α)~ i+cos(α)~ j)
est l’acc´ el´ eration tangentielle et
~an=−Rω2( cos(α)~ i+sin(α)~ j)
est l’acc´ el´ eration normale.
Leurs normes sont
at=R˙ω
et
an=Rω2=v2/R
Celle de l’acc´el´eration est:
a=Rp˙ω2+ω4
Il est facile de constater que les affirmations suivantes sont ´equivalentes
•ωest constante
•˙ωest nulle
•at=0
•~at=~o
•~a=~an
•a=an
•vest constante
•˙vest nulle
•a=v2/R
•Pour un mouvement plan: ~rest de norme constante ⇔~r⊥~v
3

Le dernier point se justifie par le calcul suivant:
r2·
=~r·~r·=2~r·˙ ~r
Annuler le membre de gauche, c’est dire que le vecteur position est de norme constante et le produit
scalaire du membre de droite s’annule si les vecteurs sont orthogonaux.
Vecteur vitesse angulaire ~ω
Ce vecteur est perpendiculaire au plan de rotation et est orient´e dans le sens de celle-ci selon le r`egle du
tire-bouchon et sa norme est la vitesse angulaire:
~ω =ω~ k
On ´etablira en exercice les r´esultats suivants:
•~v=~ω ∧~r
•~a=˙ ~ω ∧~r+~ω ∧~v
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1.2 Mouvement cyclo¨ ıdal
M
P
M
P
B O
B
C
Α
Figure 2: Mouvement cyclo¨ıdal: Une roue tourne sur un rail sans glisser. Un point P, li´e `a la roue, d´ecrit une
cyclo¨ıde.
L´egende:
•Ox ∥OC =Rail.
•M: Centre de la roue.
•PPoint li´e `a la roue.
•C: Point de contact de la roue avec le rail.
•B: Point sur la roue et sur le bras MP.
•R: Rayon de la roue.
•d: Longueur du bras MP.
•α: Angle de rotation de la roue.
Nous supposerons que la vitesse angulaire est constante et positive pour all´eger les calculs.
Un peu de trigonom´etrie3permet de d´eterminer le vecteur position:
−→
OP =
−→
CM +
−→
MP =Rα~ i+R~ j−dsin(α)~ i−dcos(α)~ j
Ainsi
~r(t)=(Rα−dsin(α))~ i+(R−dcos(α)) ~ j="Rα−dsin(α)
R−dcos(α)#
Le vecteur vitesse est alors:
~v=ω( (R−dcos(α))~ i+dsin(α)~ j)=ω"R−dcos(α)
dsin(α)#
3Voir par exemple Analyse, Stewart tome I page 51.
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