CoursF_complexes_forme_exp ( PDF - 436.1 ko)

Chapitre
F
Nombres complexes - Partie 2
Contenus Capacités attendues Commentaires
Forme trigonométrique :
– module et argument, interprétation géo-
métrique dans un repère orthonormé di-
rect ;
– notation exponentielle.
•Passer de la forme algébrique à la forme
trigonométrique et inversement.
•Connaître et utiliser la relation zz =|z|2.
•Effectuer des opérations sur les nombres
complexes écrits sous différentes formes.
La notation exponentielle est introduite
après avoir montré que la fonction θ7→
cos θ+isinθ vérifie la même relation fonc-
tionnelle que la fonction exponentielle.
Les nombres complexes permettent de
mémoriser les formules trigonométriques
d’addition et de duplication vues en pre-
mière.
⇆Analyse fréquentielle d’un système.
1

Terminale S Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

Table des matières
F Nombres complexes - Partie 2 1
I - Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Définition, interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Propriétés des modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Arguments d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Propriétés des arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III - Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dans tout le chapitre le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct.
I - Module d’un nombre complexe
1. Définition, interprétation géométrique
Définition 1
Soit z=a+ibavec a, b ∈Run nombre complexe. On appelle module de zle réel noté |z|défini par :
|z|=pa2+b2.
Remarques :
• |z|>0;
•Si z∈Ralors |z|=|a|(valeur absolue du réel a) ;
Exemples 1
• |3 + 2i|=p32+ 22=√13 ;
• |3−2i|=p32+ 22=√13 ;
• |i|=p02+ 12= 1.
Propriété 1
Soit z∈C.
(1) Si Mest le point d’affixe zalors OM =|z|.
(2) Si #» west un vecteur d’affixue zalors k#» wk=|z|.
3

Terminale S Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
2. Propriétés des modules
Propriété 2
zet z′étant deux nombres complexes.
(1) |z|2=zzou bien |z|=√zz.
(2) |z|= 0 ⇔z= 0.
(3) |z|=|z|=| − z|=| − z|.
(4) |zz′|=|z| · |z′|.
(5) Si z6= 0 alors 
1
z
=1
|z|.
(6) Si z6= 0 alors 
z′
z
=|z′|
|z|.
(7) Si z6= 0 alors pour tout n∈Z,|zn|=|z|n.
Démonstration
(1),(2),(3) évidents.
(4) |zz′|2=zz′zz′=zz′zz′=zzz′z′=|z|2.|z′|2= (|z|.|z′|)2.
(5), (6), (7) même idée. 
II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1. Arguments d’un nombre complexe non nul
Définition 2
Soit zun nombre complexe non nul et Mle point d’affixe z.
On appelle argument de zet on le note arg(z)une mesure en radian de l’angle orienté (#» u;
# »
OM).
#»
u
#»
v
O
M(z)
arg(z)
|z|
Remarques :
•0n’a pas d’argument ;
•Tout nombre complexe admet une infinité d’arguments : si θest un argument de zalors pour tout k∈Z,
θ+ 2kπ est aussi un argument de z. On écrit :
arg(z) = θ(2π).
Exemples 2
Soit A,B,C,Det Eles points du plan complexe d’affixes respectives 3
2,−4,3i, −2i et 1 + i.
Déterminer un argument de chacun d’eux.
2. Forme trigonométrique
Théorème 1
Soit z=a+ibun nombre complexe non nul avec a, b ∈Ret θun argument de z. Alors :
a=|z|cos θet b=|z|sin θ.
4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

Terminale S Chapitre F - Nombres complexes - Partie 2
#»
u
#»
v
O
M(z)
θ= arg(z)
|z|
a=|z|cos θ
b=|z] sin θ
Définition 3
Une écriture d’un nombre complexe zsous la forme :
z=|z|(cos θ+isin θ)où θ= arg(z) (2π).
est appelée forme trigonométrique de z.
Exemples 3
(1) Donner deux formes trigonométriques distincts du nombre complexe z= 1 −i.
(2) Déterminer une forme trigonométique du nombre z=−3 + √3.
(3) Soit zle nombre complexe, tel que |z|= 4 et arg(z) = 2π
3(2π).
Déterminer la forme algébrique de z.
Solution
(1) z=√2îcos Ä−π
4ä+isin Ä−π 4äó ou z=√2hcos 3π 4+isin 3π 4i.
(2) |z|=»(−3)2+√32=√9 + 32√3.
En posant θ= arg(z) (2π), on a 
cos θ=−3
2√3=−3√3
2×3=−√3 2
sin θ=√3
2√3=1
2
À l’aide du cercle trigonométrique, on en déduit que θ=5π
6, d’où z= 2√2(sin 5π 6+isin 5π 6).
(3) z=−2 + 2i√3.
Remarque : z=√2Åcos π
4−isin π 4ãn’est pas une forme trigonométrique.
L’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique donne immédiatement les deux propriétés
suivantes :
Propriété 3
Si un nombre compelxe zs’écrit sous la forme z=r(cos α+isin α)où r∈Ravec r > 0et α∈Ralors :
|z|=ret arg(z) = α(2π).
Théorème 2
Soit zet z′deux nombres complexes.
z=z′⇔ |z|=|z′|et arg(z) = arg(z′) (2π).
5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes