M1 polynômes irréductibles Année 2015/2016

M1
polynômes irréductibles
Exercice 1
Année 2015/2016
:
Les polynômes suivants sont-ils irréductibles dans Q[X] ?
1. P = X 4 − 6X 2 + X − 1
2. P = 2X 5 + 3X 4 + 8X 3 − 2X 2 + 5X − 1
3. P = X 4 + X 3 − X 2 + 7X − 1
4. P = X 5 − 6X 3 + 2X 2 − 4X + 5
Exercice 2
:
On considère le polynôme P = X 4 + X 3 − 2X 2 + 4X − 1 de Z[X].
1. Vérier que P (1) = 3.
2. En utilisant l'image P de P dans F3 [X], montrer que P est irréductible dans
Z[X] et dans Q[X].
Exercice 3
1.
2.
3.
4.
:
Quel est l'ordre de −2 dans (F5 )× ?
Le polynôme X 4 + 2 a-t-il une racine dans F25 ?
Le polynôme X 4 + 2 est-il irréductible dans F5 [X] ?
Le polynôme X 4 + 2 est-il irréductible dans Z[X] ?
Exercice 4
:
Soit a ∈ C, a algébrique sur Q, et P le polynôme minimal de a sur Q. Montrer que si
A est un polynôme unitaire de Z[X] dont a est une racine alors P divise A dans Z[X].
1
Exercice 5
:
Pour tout entier non nul n, on note Cn = {x ∈ C| xn = 1} et Cn∗ l'ensemble des
générateurs du groupe cyclique Cn . Dans C[X], on dénit le polynôme cyclotomique
Φn par
Y
(X − α)
Φn =
∗
α∈Cn
1. Quel est le degré de Φn ?
Q
2. Montrer que X n − 1 = d|n Φd dans C[X].
3. Montrer que Φn ∈ Z[X].
4. Soit ω ∈ Cn∗ , P le polynôme minimal de ω sur Q et E l'ensemble des racines
de P dans C. On veut montrer que pour tout entier p ne divisant pas n, E est
stable par élévation à la puissance p.
(a) Soit p un entier premier ne divisant pas n, on suppose qu'il existe un élément
a de E tel que ap n'appartient pas à E . Soit S ∈ Q[X] tel que X n − 1 = P S .
Montrer que S(ap ) = 0.
(b) Montrer que les polynômes P et S appartiennent à Z[X].
(c) Montrer qu'il existe un polynôme T de Z[X] tel que S(X p ) = P T .
(d) On note avec un indice 1 l'image des polynômes de Z[X] dans Fp [X]. Montrer
que (S1 (X))p = P1 T1 .
(e) En déduire que tout facteur irréductible γ de P1 dans Fp [X] divise S1 dans
Fp [X].
(f) Aboutir à une contradiction et conclure.
5. On veut en déduire que Φn est un polynôme irréductible de Z[X].
(a) Montrer que E ⊂ Cn∗ .
(b) Montrer que pour tout entier s premier avec n, ω s ∈ E .
(c) En déduire que E = Cn∗ .
(d) Montrer que P = Φn .
(e) Conclure que Φn est irréductible sur Q et sur Z.
Exercice 6
:
Soit k un corps et n un entier strictement positif. On veut montrer que Dn = det((Xi,j )1≤i≤n,1≤j≤n )
est un polynôme irréductible de k[Xi,j , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n]. On procède par récurrence sur l'entier n.
2
1. Pour un entier n ≥ 2, soit A = k[Xi,j , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, (i, j) 6= (n, n)] et
K le corps des fractions de A. On regarde Dn comme un polynôme de A[Xn,n ].
Montrer que Dn est un polynôme irréductible dans K[Xn,n ].
2. Montrer que Dn−1 ne divise pas le terme constant de Dn dans A et conclure.
Exercice 7
:
Soit p un entier premier. On considère le polynôme P = X p − X − 1 de Z[X].
1. Soit P de P dans Fp [X], L un corps de décomposition de P et a une racine de P
dans L. Montrer que l'ensemble des racines de P dans L est {a+i, 0 ≤ i ≤ p−1 }.
2. Montrer que P est irréductible dans Fp [X].
3. En déduire que P est irréductible dans Z[X] et dans Q[X].
Exercice 8
:
Soient k un corps et f et g deux polynômes de k[X, Y ]. On suppose que f et g sont
premiers entre eux dans l'anneau k[X, Y ]. On note
Cf = {(x, y) ∈ k 2 | f (x, y) = 0} et Cg = {(x, y) ∈ k 2 | g(x, y) = 0}, de sorte que Cf
et Cg sont deux courbes de k 2 . Le but de l'exercice est de montrer que Cf ∩ Cg est un
ensemble ni.
1. On note f˜ et g̃ les images de f et g dans l'anneau k(X)[Y ]. Comment obtient-on
les décompositions de f˜ et g̃ en produit d'irréductibles de k(X)[Y ] à partir des
décompositions de f et g en produit d'irréductibles de k[X, Y ] ?
2. Montrer que f˜ et g̃ sont premiers entre eux dans l'anneau k(X)[Y ].
3. Soit A l'ensemble des abscisses des points de Cf ∩ Cg , c'est-à dire
A = {t ∈ k | ∃(x, y) ∈ Cf ∩ Cg t = x}. Montrer que A est un ensemble ni.
4. Montrer que Cf ∩ Cg est un ensemble ni.
3