École polytechnique 2013-2014 Théorie de Galois Les anneaux

École polytechnique
Théorie de Galois
2013-2014
Feuille d’exercices 2
Les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires.
Exercice 1. Soit p un nombre premier. Montrer que tout p-groupe fini est résoluble.
Exercice 2. (Sous-groupes transitifs résolubles de Sp ) 1
Soit p un nombre premier. On identifie Sp à l’ensemble des permutations de Fp et on note
respectivement Cp et AGL1 (Fp ) le sous-groupe cyclique des translations t 7→ t + b pour b ∈ Fp
et le sous-groupe des transformations affines t 7→ at + b pour b ∈ Fp et a ∈ F×
p.
i. Vérifier que AGL1 (Fp ) est le normalisateur de Cp dans Sp , c’est-à-dire le groupe des
permutations γ ∈ Sp telles que γτ γ −1 s’écrive de la forme τ u pour un certain u, où τ est
la translation t 7→ t + 1.
ii. Montrer que le groupe Cp est l’unique sous-groupe d’ordre p dans AGL1 (Fp ).
iii. Soit G ≤ Sp un sous-groupe transitif (c’est-à-dire que son action sur Fp est transitive).
Montrer qu’il existe σ ∈ Sp tel que Cp ≤ σGσ −1 . (Indication : on pourra commencer par
montrer que p divise |G|.)
iv. On veut maintenant montrer que si G ≤ Sp est résoluble et contient Cp , alors G ≤
AGL1 (Fp ).
(a) Soit G = G0 ≥ G1 ≥ · · · ≥ Gr = {1} une chaîne de sous-groupes de G telle que pour
chaque i le sous-groupe Gi+1 soit distingué dans Gi et que le quotient Gi /Gi+1 soit
cyclique d’ordre premier. Montrer que si i est le plus grand indice tel que Cp ≤ Gi
alors Gi /Gi+1 est d’ordre p.
(b) Montrer que Gi+1 = {e}. (Indication : montrer que si h ∈ Gi+1 \ {e}, il existe θ ∈
Cp \ {e} tel que θh soit d’ordre divisant (p − 1)! donc dans Gi+1 .)
(c) Montrer par récurrence descendante sur j que Gj ≤ AGL1 (Fp ) pour tout j ≤ r − 1.
(Indication : utiliser (ii) et (i).)
Exercice 3.
√ √
i. Montrer que K = Q( 5, 5 2) est de degré 10 sur Q.
ii. En déduire que K est isomorphe à la Q-algèbre Q[X, Y ]/(X 2 − 5, Y 5 − 2).
iii. En déduire un procédé permettant de trouver un polynôme annulateur de α =
√
5+
√
5
2.
iv. Comment pourrait-on vérifier que le polynôme
P = T 10 − 25 T 8 + 250 T 6 − 4 T 5 − 1250 T 4 − 200 T 3 + 3125 T 2 − 500 T − 3121
convient ?
Exercice 4.
i. Soient k un corps et A une k-algèbre de dimension finie. Montrer que l’ensemble Specmax(A)
des idéaux maximaux de A est fini, de cardinal au plus [A : k] = dimk (A). (Indication :
on pourra utiliser le théorème chinois.)
ii. À quelle condition a-t-on égalité ?
1. Ceci est le point clef qui permet à É. Galois de démontrer : « Pour qu’une équation irréductible de degré
premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que deux quelconques des racines connues, les autres s’en
déduisent rationnellement. ». Un des objectifs du cours est d’arriver à comprendre le lien entre ce dernier énoncé
et l’exercice de théorie des groupes proposé.
1
Exercice 5. Lemme de Gauß
i. (Lemme de McCoy-永田) Soit A un anneau commutatif. On veut montrer qu’un polynôme
P ∈ A[T ] non nul est diviseur de zéro si et seulement si il existe a 6= 0 dans A tel que
aP = 0.
(a) Écrivons P = a0 + a1 T + · · · + an T n et considérons Q = b0 + b1 T + · · · + bm T m 6= 0
tel que P Q = 0. Montrer que si P bm 6= 0, il existe un plus grand indice d ≤ n tel que
ad Q 6= 0.
(b) Montrer que le degré de ad Q est strictement inférieur à m.
(c) Conclure par récurrence sur le degré de Q.
ii. (Lemme de Gauß « universel ») Soient n et m des entiers.
Notons R l’anneau quotient de Z[a
, . . . , bm , A0 , . . . , An , B0 , P
. . . , Bm ] par l’idéal
Pn0 , . . . , an , b0P
m
engendré par les éléments 1 − 0 ai Ai , 1 − 0 bm Bm et les Ck = i+j=k Ai Bj pour
P
P
j
0 ≤ k ≤ n + m. Enfin, soient P = n0 Ai T i et Q = m
0 Bj T les polynômes dans R[T ].
(a) Montrer que P Q = 0.
(b) Montrer que les coefficients de P (resp. Q) engendrent l’idéal unité de R.
(c) En déduire, en utilisant le lemme de McCoy-永田, que l’anneau R est nul.
(d) On dit un polynôme à coefficients dans un anneau (quelconque) est primitif si l’idéal
engendré par ses coefficients est l’anneau tout entier. Déduire de ce qui précède que le
produit de deux polynômes primitifs est primitif.
iii. (Lemme de Gauß : forme usuelle)
(a) Montrer que tout polynôme non nul P de Q[T ] s’écrit de manière unique sous la
forme P = c(P )Q avec Q dans Z[T ] primitif et c(P ) ∈ Q>0 . Vérifier que c(P ) ∈ Z si
P ∈ Z[T ]. Le rationnel c(P ) s’appelle le contenu de P .
(b) Montrer que pour P, Q ∈ Q[T ], c(P Q) = c(P )c(Q).
(c) Un polynôme P ∈ Z[T ] est dit irréductible dans Z[T ] si il ne se factorise pas sous la
forme P = QR avec Q et R différents de ±1. Montrer que si P est irréductible dans
Z[T ], alors il est irréductible dans Q[T ].
Exercice 6. (Critère de [Schönemann-]Eisenstein)
i. Soit P = a0 + a1 T + · · · + an T n ∈ Z[T ] un polynôme non constant. Supposons qu’il existe
un nombre premier p divisant a0 , a1 , · · · , an−1 mais pas an et tel que p2 ne divise pas a0 .
Montrer que P est irréductible dans Q[T ]. (On pourra utiliser le lemme de Gauß.)
ii. Montrer que pour tout entier n, il existe un polynôme irréductible de degré n dans Q[T ].
Exercice 7. (Comptage et réduction modulo p)
i. Faire la liste des polynômes irréductibles unitaires de degré ≤ 3 dans F2 [T ] et ceux de
degré ≤ 2 dans F3 [T ].
ii. Montrer que T 4 + T 2 + T + 1 est irréductible dans F3 [T ].
iii. Montrer que le polynôme T 5 + 3T 4 − 2T 3 + 4T 2 − 2T + 3 est irréductible dans Q[T ].
iv. Soit p un nombre premier. Montrer que le nombre de polynômes irréductibles unitaires
de degré ≤ 3 dans Fp [T ] est 13 p3 + 12 p2 + 16 p.
v. Est-il vrai que le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré d dans Fp [T ] est
un polynôme en p ?
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