École polytechnique 2013-2014 Théorie de Galois Les anneaux

École polytechnique 2013-2014
Théorie de Galois
Feuille d’exercices 2
Les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires.
Exercice 1. Soit pun nombre premier. Montrer que tout p-groupe fini est résoluble.
Exercice 2. (Sous-groupes transitifs résolubles de Sp)1
Soit pun nombre premier. On identifie Spà l’ensemble des permutations de Fpet on note
respectivement Cpet AGL1(Fp)le sous-groupe cyclique des translations t7→ t+bpour b∈Fp
et le sous-groupe des transformations affines t7→ at +bpour b∈Fpet a∈F×
p.
i. Vérifier que AGL1(Fp)est le normalisateur de Cpdans Sp, c’est-à-dire le groupe des
permutations γ∈Sptelles que γτγ−1s’écrive de la forme τupour un certain u, où τest
la translation t7→ t+ 1.
ii. Montrer que le groupe Cpest l’unique sous-groupe d’ordre pdans AGL1(Fp).
iii. Soit G≤Spun sous-groupe transitif (c’est-à-dire que son action sur Fpest transitive).
Montrer qu’il existe σ∈Sptel que Cp≤σGσ−1. (Indication : on pourra commencer par
montrer que pdivise |G|.)
iv. On veut maintenant montrer que si G≤Spest résoluble et contient Cp, alors G≤
AGL1(Fp).
(a) Soit G=G0≥G1≥ ··· ≥ Gr={1}une chaîne de sous-groupes de Gtelle que pour
chaque ile sous-groupe Gi+1 soit distingué dans Giet que le quotient Gi/Gi+1 soit
cyclique d’ordre premier. Montrer que si iest le plus grand indice tel que Cp≤Gi
alors Gi/Gi+1 est d’ordre p.
(b) Montrer que Gi+1 ={e}. (Indication : montrer que si h∈Gi+1 \ {e}, il existe θ∈
Cp\ {e}tel que θh soit d’ordre divisant (p−1)! donc dans Gi+1.)
(c) Montrer par récurrence descendante sur jque Gj≤AGL1(Fp)pour tout j≤r−1.
(Indication : utiliser (ii) et (i).)
Exercice 3.
i. Montrer que K=Q(√5,5
√2) est de degré 10 sur Q.
ii. En déduire que Kest isomorphe à la Q-algèbre Q[X, Y ]/(X2−5, Y 5−2).
iii. En déduire un procédé permettant de trouver un polynôme annulateur de α=√5 + 5
√2.
iv. Comment pourrait-on vérifier que le polynôme
P=T10 −25 T8+ 250 T6−4T5−1250 T4−200 T3+ 3125 T2−500 T−3121
convient ?
Exercice 4.
i. Soient kun corps et Aune k-algèbre de dimension finie. Montrer que l’ensemble Specmax(A)
des idéaux maximaux de Aest fini, de cardinal au plus [A:k] = dimk(A). (Indication :
on pourra utiliser le théorème chinois.)
ii. À quelle condition a-t-on égalité ?
1. Ceci est le point clef qui permet à É. Galois de démontrer : « Pour qu’une équation irréductible de degré
premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que deux quelconques des racines connues, les autres s’en
déduisent rationnellement. ». Un des objectifs du cours est d’arriver à comprendre le lien entre ce dernier énoncé
et l’exercice de théorie des groupes proposé.
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Exercice 5. Lemme de Gauß
i. (Lemme de McCoy-永田) Soit Aun anneau commutatif. On veut montrer qu’un polynôme
P∈A[T]non nul est diviseur de zéro si et seulement si il existe a6= 0 dans Atel que
aP = 0.
(a) Écrivons P=a0+a1T+··· +anTnet considérons Q=b0+b1T+··· +bmTm6= 0
tel que P Q = 0. Montrer que si P bm6= 0, il existe un plus grand indice d≤ntel que
adQ6= 0.
(b) Montrer que le degré de adQest strictement inférieur à m.
(c) Conclure par récurrence sur le degré de Q.
ii. (Lemme de Gauß « universel ») Soient net mdes entiers.
Notons Rl’anneau quotient de Z[a0, . . . , an, b0, . . . , bm, A0, . . . , An, B0, . . . , Bm]par l’idéal
engendré par les éléments 1−Pn
0aiAi,1−Pm 0bmBmet les Ck=Pi+j=kAiBjpour
0≤k≤n+m. Enfin, soient P=Pn
0AiTiet Q=Pm 0BjTjles polynômes dans R[T].
(a) Montrer que P Q = 0.
(b) Montrer que les coefficients de P(resp. Q) engendrent l’idéal unité de R.
(c) En déduire, en utilisant le lemme de McCoy-永田, que l’anneau Rest nul.
(d) On dit un polynôme à coefficients dans un anneau (quelconque) est primitif si l’idéal
engendré par ses coefficients est l’anneau tout entier. Déduire de ce qui précède que le
produit de deux polynômes primitifs est primitif.
iii. (Lemme de Gauß : forme usuelle)
(a) Montrer que tout polynôme non nul Pde Q[T]s’écrit de manière unique sous la
forme P=c(P)Qavec Qdans Z[T]primitif et c(P)∈Q>0. Vérifier que c(P)∈Zsi
P∈Z[T]. Le rationnel c(P)s’appelle le contenu de P.
(b) Montrer que pour P, Q ∈Q[T],c(P Q) = c(P)c(Q).
(c) Un polynôme P∈Z[T]est dit irréductible dans Z[T]si il ne se factorise pas sous la
forme P=QR avec Qet Rdifférents de ±1. Montrer que si Pest irréductible dans
Z[T], alors il est irréductible dans Q[T].
Exercice 6. (Critère de [Schönemann-]Eisenstein)
i. Soit P=a0+a1T+···+anTn∈Z[T]un polynôme non constant. Supposons qu’il existe
un nombre premier pdivisant a0, a1,··· , an−1mais pas anet tel que p2ne divise pas a0.
Montrer que Pest irréductible dans Q[T]. (On pourra utiliser le lemme de Gauß.)
ii. Montrer que pour tout entier n, il existe un polynôme irréductible de degré ndans Q[T].
Exercice 7. (Comptage et réduction modulo p)
i. Faire la liste des polynômes irréductibles unitaires de degré ≤3dans F2[T]et ceux de
degré ≤2dans F3[T].
ii. Montrer que T4+T2+T+ 1 est irréductible dans F3[T].
iii. Montrer que le polynôme T5+ 3T4−2T3+ 4T2−2T+ 3 est irréductible dans Q[T].
iv. Soit pun nombre premier. Montrer que le nombre de polynômes irréductibles unitaires
de degré ≤3dans Fp[T]est 1
3p3+1 2p2+1 6p.
v. Est-il vrai que le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré ddans Fp[T]est
un polynôme en p?
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