Olivier GRANIER

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Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
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Cinématique
du point matériel
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PCSI 1 - Physique
1 - Objet de la cinématique : décrire
les mouvements des corps sans
chercher à les interpréter.
Point matériel
: particule « suffisamment petite » pour pouvoir être assimilée
à un point repérable par un ensemble de trois coordonnées.
2 - Référentiel
: un référentiel est un corps solide (c’est-à-dire
indéformable), par rapport auquel on se place pour étudier le mouvement d’un
point matériel.
Relativité du mouvement
3 - Repère :
un repère est un système d’un point et de trois axes
permettant de repérer un point matériel.
* Repère cartésien (Oxyz)
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4 - Systèmes de coordonnées :
* a - Coordonnées cartésiennes
r
r
r
r
r = x ux + y u y + z uz
M
r
uz
est une BOND :
r
r
r
r
r
r
ux ∧ u y = uz ; u y ∧ uz = ux
r r
r
uz ∧ ux = u y
x
x
Trajectoire
z
est appelé rayon vecteur de M.
r r r
(u x , u y , u z )
z
r
r
r
uy
y
r O
ux
y
P
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Systèmes de coordonnées :
* b - Coordonnées polaires (mouvements plans uniquement)
r et θ sont les coordonnées polaires de M.
r
r
OM = r = r u r
y
+
θ ∈ [0,2π ]
x = r cos(θ
θ)
;
y = r sin(θ
θ)
r
r
r
u r = cos(θ ) u x + sin(θ ) u y
r
r
r
uθ = − sin(θ ) u x + cos(θ ) u y
r
uθ
M
y
r
uθ
est directement perpendiculaire à
r
uy
O
r
r
ur
r
ux
θ
x
x
r
ur
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Systèmes de coordonnées :
* c - Coordonnées cylindriques : (ρ,θ,
ρ,θ,z)
ρ,θ, sont les coordonnées cylindriques de M
r
OM = r = OP + PM
z
z H
ρ
M
r
r
r
OM = r = ρ u ρ + z u z
x = ρ cos(θ
θ)
Avec :
;
y = ρ sin(θ
θ)
θ ∈ [0,2π ]
r
uz
O r
uρ
θ
r
v
r
uθ
ρ
Trajectoire
de M
y
P
x
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6 - Le temps
: le temps est une notion absolue, c’est-à-dire indépendante
du référentiel d’étude : ainsi, deux observateurs liés à des référentiels
différents attribuent les mêmes dates aux mêmes événements.
En mécanique relativiste (Einstein, 1905), le temps perd son caractère absolu
(phénomène de dilatation des durées) :
t=
1
1−
v
2
t0
c2
t0 : durée de vie propre de la particule (au repos)
v : vitesse de la particule dans le laboratoire
c : vitesse de la lumière dans le vide
t : durée de vie observée par un observateur lié au laboratoire
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7 - Trajectoire :
L’ensemble des positions occupées par un mobile en fonction du temps
est une courbe appelée trajectoire.
Trajectoire orientée
s = AM
est l’abscisse curviligne de M.
La fonction s = s(t) est appelée équation
M(t)
A (origine qq)
horaire du mouvement
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8 - Vitesse associée à un mouvement :
Quelques propriétés des fonctions vectorielles :
*
*
*
r
r
r
dλ (t )
dA(t )
d
λ (t ) A(t ) =
A(t ) + λ (t )
dt
dt
dt
(
)
r
r
r
r
r
r
dA(t )
dB (t )
d
A(t ).B (t ) =
.B(t ) + A ( t ).
dt
dt
dt
(
)
r
r
r
r
dA(t ) r
dB(t )
d r
∧ B(t ) + A ( t ) ∧
A(t ) ∧ B(t ) =
dt
dt
dt
(
)
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Vecteur vitesse :
La figure précise les notations :
z
Trajectoire
M(t)
r
r
MM '
OM ' − OM d OM dr
v = lim
= lim
=
=
∆t → 0 ∆t
∆t → 0
∆t
dt
dt
r
r = OM
est le rayon vecteur du point M.
x
M’(t+∆
∆t)
y
O
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et est dirigé dans le sens du
mouvement (d’après la définition même)
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Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes :
Les vecteurs
r r
r
u x , u y et u z sont indépendants du temps, donc :
r dx r
r
r
r
dy r
dz r
v=
u x + u y + u z = x&u x + y& u y + z&u z
dt
dt
dt
Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées polaires :
r
r
r
&
v = r& u r + rθ uθ
Vitesse
Vitesse
radiale orthoradiale
r
dur & r
= θ uθ
dt
r
r
duθ
&
= −θ ur
dt
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Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées cylindriques :
z
r
r
r
r
&
&
v = ρu ρ + ρθuθ + z&u z
r
du ρ
z
ρ
M
r
uz
r
= θ& uθ
dt
r
r
duθ
= −θ& u ρ
dt
O r
uρ
θ
r
uθ
ρ
Trajectoire
de M
r
v
y
x
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9 - Vecteur accélération :
r
r
r dv d 2 OM d 2 r
a=
=
= 2
2
dt
dt
dt
Le vecteur accélération caractérise le rythme de variation du vecteur vitesse.
En coordonnées cartésiennes :
r d 2x r
r
r
r
d2y r
d 2z r
a = 2 u x + 2 u y + 2 u z = &x&u x + &y&u y + &z&u z
dt
dt
dt
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En coordonnées polaires et cylindriques :
r
r
2 r
&
&
&
&
&
&
&
a = (r − rθ ) u r + ( rθ + 2rθ ) uθ
Accélération
radiale
Accélération
orthoradiale
r
r
r
r
a = ( ρ&& − ρθ& 2 ) u ρ + ( ρθ&& + 2 ρ&θ&) uθ + &z& u z
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10 - Mouvements rectilignes :
La trajectoire est une portion de droite : vecteur vitesse et vecteur accélération
sont portés par cette droite, souvent choisie comme axe (Ox) par exemple.
Vecteurs vitesse et accélération dans le même sens : mouvement accéléré
Vecteurs vitesse et accélération en sens contraire : mouvement retardé
Vecteur accélération
constant : mouvement uniformément varié (exemple : chute
r r r
libre où a = g , g étant l’accélération de la pesanteur (g = 9,8 m.s-2)
Exemple : mouvement rectiligne sinusoïdal (x = xm cos(ω
ωt + ϕ))
xm : amplitude du mouvement ; ω : pulsation du mouvement (ω
ω = 2π
π/T=2π
πf, avec
T la période et f=1/T la fréquence du mouvement) et ϕ est la phase.
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11 - Mouvements de rotation :
z
r = OM = R = cste
θ est fonction du temps ; on note ω =
la vitesse angulaire de M.
dθ &
=θ
dt
r
uz
Le mouvement est dit uniforme si :
O
ω = cste
r
r
v = Rθ& uθ
θ
2
r
r
r
r
r
v
2
a = − Rθ& u r + Rθ&& uθ = −
u r + Rω& uθ
R
Mouvement uniforme :
r
v2 r
a=−
ur
R
x
r
M uθ
r
ur
r
v
y
R
(accélération centripète uniquement)
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12 - Mouvement hélicoïdal:
Exercice 7 (hélice circulaire) : dans un référentiel ℜ(Oxyz), un point M décrit
une hélice circulaire dont l’équation en coordonnées cylindriques est :
x = R cos θ ; y = R sin θ ;
z = hθ
θ
où R et h sont des constantes. On suppose la vitesse angulaire constante. A
l’instant t = 0 le point M est en A de coordonnées cylindriques (R, 0, 0).
a) Calculer dans ℜ les composantes du vecteur vitesse. Donner sa norme.
Montrer que la vitesse fait un angle constant a avec l’axe Oz.
b) Calculer les composantes du vecteur accélération.
c) Evaluer la distance parcourue sur l’hélice à l’instant t.
Animation cabri :
Animation JJ.Rousseau :
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13 - Mouvement cycloïdal (exercice n°5)
Une roue de rayon r et de centre C roule sans glisser sur l’axe (Ox) en restant
dans le plan (Ozx). Le repère cartésien (O; ex, ez ) est lié à ℜ le référentiel
d’étude. Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. A l’instant
t = 0, M est confondu avec l’origine O. La vitesse de C est constante et est
égale à v.
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a) Comment exprimer la condition : " la roue ne glisse pas " ?
b) Déterminer en fonction de v, t et r à l’instant t :
* la position de M dans le repère (O; ex, ez )
* le vecteur vitesse vM de M
* le vecteur accélération aM de M, sa norme et sa direction
c) Déterminer vM et aM lorsque M est en contact avec l’axe (Ox).
Animation JJ.Rousseau :
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14 - Spirale exponentielle (exercice n°12)
Dans le plan (xOy) d’un repère, un point P de coordonnées polaires r et θ décrit la
spirale d’équation polaire r = a exp(ω t), avec ωt = θ .
a) Définir en fonction de r et ω les composantes polaires du vecteur vitesse .
b) Définir en fonction de r et ω les composantes polaires du vecteur accélération.
c) Montrer que l’angle α que fait le vecteur vitesse avec l’axe (Ox) est θ + π/4 .
d) Pour r = 2 exp( θ ) et ω = 1 rad.s-1, on trace la courbe ci-contre que vous
recopierez ; on considère le point P d’abscisse 600 et d’ordonnée – 300.r Placer rsur
la feuille de copie, les coordonnées r et θ, les vecteurs unitaires u r et uθ .
Déterminer les coordonnées cartésiennes du point N pour lequel
θ = 3π / 2 et
placer le point sur la courbe.
Fichier Maple :
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