Le dipôle électrostatique

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Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
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Étude du dipôle
électrostatique
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
I – Définition et approximation dipolaire
On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges
ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.
N (−q) O
2a
P(+ q)
r
uz
z
Un tel modèle permet d’étudier :
* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H2O)
H (+δ )
O(−2δ )
Cl (−δ )
H (+δ )
H (+δ )
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* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène
de solvatation des ions)
M
On calcule ler potentiel puis le champ
électrique ( E = − grad (V ) ) créé par
le dipôle en un point M de l’espace.
r
Symétrie de révolution autour de
l’axe (Oz) : on choisit M(r,θ
θ) dans le
plan des deux charges.
θ
P(+ q)
r
2a u z
N (−q) O
z
Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges,
c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).
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II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire
Le potentiel au point M est (principe de superposition) :
M
V (M ) =
rN
rP
r
N (−q)
O
2a
q
1 q
−
4πε 0 rP 4πε 0 rN
 1
1 
V (M ) =
q − 
4πε 0  rP rN 
1
θ
r
u z P(+ q)
1
z
(avec : rP = PM et rN = NM >> a )
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Calcul des distances rP et rN :
r
r
PM = OM − OP = r − a u z
D’après la relation de Chasles :
En élevant au carré :
r r
PM = r + a − 2r .a u z
2
M
2
2
rP2 = r 2 + a 2 − 2ar cos θ
On calcule ensuite 1 / rP :
rN
rP
r
N (−q)
O
2a
1
=
rP
θ
r
u z P(+ q)
z
1
r 2 + a 2 − 2ar cos θ
(
1
= r 2 + a 2 − 2ar cos θ
rP
)
−1 / 2
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On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :
(1 + x )
−1 / 2
1
≈ 1− x
2
M
( x << 1)
On pose x = a / r (x << 1), alors :

1 1  a
a
= 1 + 2 − 2 cos θ 

rP r  r
r

2
rN
rP
r
N (−q)
O
2a
θ
r
u z P(+ q)
−1 / 2
Un DL au 1er ordre en x donne :
z
1 1 a

= 1 + cos θ 
rP r  r

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De la même manière (il suffit de remplacer θ par π − θ et donc cosθ
θ par
- cosθ
θ) :
1 1 a

= 1 − cos θ 
rN r  r

M
rN
a
1
1
−
= 2 2 cos θ
rP rN
r
rP
r
Par conséquent :
D’où le potentiel :
θ
V (M ) =
N (−q)
O
r
u z P(+ q)
z
1
(2aq )
4πε 0
2
r
cos θ
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On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur
dirigé de la charge négative vers la charge positive) :
r
r
p = (2aq ) u z = q NP
Alors (décroissance du potentiel en 1 / r2) :
M
V (M ) =
r
N (−q)
En notant
θ
r
O r u z P(+ q)
p
z
V (M ) =
1
4πε 0 r
r
r
ur = r / r
1
p
rr
p.u r
4πε 0 r 2
2
cos θ
:
r r
(u z .u r = cos θ )
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Retour sur la définition du moment dipolaire :
Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.
p s’exprime en C.m dans le SI.
On définit plutôt le Debye, mieux adapté :
1 D = 3,33.10 −30 C.m
Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire p H O = 1,85 D . En déduire
2
les charges + δ et – 2δ
δ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et
par l’atome d’oxygène.
Données :
α = (OH , OH ) = 104° ; l = OH = 0,096 nm
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Le moment dipolaire total de la molécule est :
r
pOH
α
O(−2δ )
r
p'OH
H (+δ ) 2 r
p H 2O
H (+δ )
r
r
r
p H 2O = pOH + p 'OH
Avec :
pOH = p 'OH = lδ
Par conséquent :
p H 2O = 2lδ cos
α
2
On en déduit :
p H 2O
e
≈
δ=
α 3
2l cos
2
(e = 1,6.10 −19 C )
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III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire
r
La relation intrinsèque E = − grad V permet de calculer le champ (en
coordonnées polaires) :
M
∂V
E r (r ,θ ) = −
∂r
r
N (−q)
O
2a
1 ∂V
Eθ (r , θ ) = −
r ∂θ
θ
r
u z P(+ q)
z
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r
Eθ
r
E
r
Er
Par conséquent :
M
r
N (−q)
O
2a
Er =
Eθ =
θ
r
u z P(+ q)
z
r
E=
1
p
4πε 0 r 3
1
2 p cos θ
4πε 0
r3
1
p sin θ
4πε 0
r3
r
r
(2 cos θ u r + sin θ uθ )
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IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (Σ
Σ0) au potentiel V0 est :
Pour M ∈ (Σ 0 ) : V ( M ) =
1
p
4πε 0 r
2
cos θ = V0
Soit l’équation en coordonnées polaires :
r 2 = A cos θ
( A = cste)
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ;
l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces
équipotentielles.
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IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (Σ
Σ0) au potentiel V0 est :
Pour M ∈ (Σ 0 ) : V ( M ) =
1
p
4πε 0 r
2
cos θ = V0
Soit l’équation en coordonnées polaires :
r 2 = A cos θ
( A = cste)
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ;
l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces
équipotentielles.
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Deux charges
ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle
électrostatique)
- q
+ q
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Lignes de champs :
r
Eθ
r
E
r
Er
M
Ligne de
champs
r
N (−q)
O
2a
θ
r
u z P(+ q)
Sur la ligne de champ
passant par M :
r r r
dr ∧ E = 0
r
r
r
dr = dr u r + r dθ uθ
r
r
r
E = E r u r + Eθ uθ
dr Eθ − r dθ E r = 0
z
Soit :
dr r dθ
=
Er
Eθ
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En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :
On sépare les variables :
Soit :
dr
r dθ
=
2 cos θ sin θ
dr
cos θ
d (sin θ )
=2
dθ = 2
r
sin θ
sin θ
d (ln r ) = d (ln(sin θ 2 ))
On note r = r0 pour θ = π / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation
en coordonnées polaires des lignes de champs (r0 est un paramètre) :
r
ln
 r0

 = ln(sin θ 2 )


soit
r = r0 sin θ 2
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Deux charges
ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle
électrostatique)
- q
+ q
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V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle
On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E0
qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.
Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ?
Système étudié : le dipôle (rigide)
Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)
Le dipôle est soumis aux deux forces
P(+ q)
r
− qE0
N (−q)
r
qE 0
O
r
E0
r
qE 0
et
r
− qE0
de résultante nulle.
Le dipôle est globalement soumis à
un « couple de forces », dont le
moment par rapport à O vaut :
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P(+ q)
r
− qE0
N (−q)
r
qE 0
O
r
E0
Sous l’effet d’un champ électrique,
le dipôle se met à tourner afin de
s’aligner selon le sens du champ (p
et E0 dans le même sens, position
d’équilibre stable).
r
r
r
M O = OP ∧ qE0 + ON ∧ (−qE0 )
r
r
r
M O = (OP − ON ) ∧ qE0 = q NP ∧ E0
Soit :
r
r r
M O = p ∧ E0
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Étude énergétique :
Soit V le potentiel dont dérive le
champ E0 ; l’énergie potentielle du
dipôle (rigide) dans ce champ est :
E p = qV ( P ) + (− q)V ( N )
E p = q[V ( P ) − V ( N )]
P(+ q)
r
− qE0
N (−q)
r
qE 0
O
r
E0
r r
On rappelle que (E0 est un champ de gradient) : E0 .dr = − dV
r
Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) : dr = OP − ON = NP
r
r r
Et donc :
E p = − p.E0
Soit
E p = q (− E0 .NP )
Ep est minimale (position d’équilibre stable) quand p et E0 ont même sens.
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Application (solvatation des ions) :
+δ
δ
+δ
δ
−δ
+δ
δ −δ
−δ
+δ
δ
+
−δ
+
−δ
−δ
+δ
δ
+δ
δ
Ion positif (Na+ par exemple)
Molécule polaire H2O
Lignes de
champs
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VI – Quadripôle électrostatique
Exercice n°5 (modèle de la molécule de CO2) :
Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et
- q en B(- a,0).
Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé à
la distance r de O, en supposant r >> a.
M
r
uz
B ( − q ) O ( 2q )
r
A(− q)
On rappelle le développement limité
(à l’ordre 2, pour x << 1) de :
θ
(1 + x )
−1 / 2
1
3 2
≈ 1− x + x
2
8
z
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M
V (M ) =
r
uz
B ( − q ) O ( 2q )
r
A(− q)
q
a2
4πε 0 r 3
(1 − 3 cos 2 θ )
θ
z
∂V
E r (r ,θ ) = −
∂r
1 ∂V
Eθ (r , θ ) = −
r ∂θ
Topographie : voir diapositive suivante
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Trois charges
ponctuelles
(+ 2q, – q et - q)
(Quadripôle
électrostatique)
- q
+ 2q - q
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