Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Théorème du moment cinétique (mécanique du point matériel) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique I - Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point : Soit un point matériel M(m), dans un référentiel galiléen (R), de rayon vecteur r r r = OM et de vitesse v ; O est l’origine du repère (Oxyz). Soit A un point quelconque, a priori mobile dans (R). z Le moment cinétique du point M, par rapport au point A et exprimé dans (R), est : r M r uz r O ux r r r σ A = AM ∧ mv r v Propriétés : r uy r σA y r est perpendiculaire à r AM et v r σ A = mv( AM ) sin( AM , v ) x Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Le moment cinétique dépend du point par rapport auquel on l’évalue : r r r r r σ B = BM ∧ mv = ( BA + AM ) ∧ mv = σ A + BA ∧ mv Dans la suite, A sera confondu avec l’origine O du repère (et sera donc fixe dans (R)) : r r r r σ O = OM ∧ mv = r ∧ mv Si le mouvement de M est plan, on peut utiliser les coordonnées polaires : r r r r r r r σ o = r ∧ mv = r ∧ m(r& u r + rθ& uθ ) = mr 2θ& u z r r r ( Avec u z = u r ∧ uθ ) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique II - Théorème du moment cinétique : r Le point M est soumis à des forces de résultante f . Evaluons la dérivée temporelle du moment cinétique de M par rapport à O : r r r r r r dσ O d r dr dv = ( r ∧ mv ) = ∧ mv + r ∧ m dt dt dt dt r r v f r r r dσ O r r = r ∧ f = OM ∧ f = Μ fr / O dt Enoncé du théorème du moment cinétique : « La dérivée du moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point fixe O d’un référentiel galiléen (R) est égale au moment par rapport à ce même point O des forces qui s’appliquent sur lui. » Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Interprétation du moment des forces par rapport à O : r Μ fr / O r r = OM r r Μ fr / O = OM ∧ f r f r Μ fr / O = rf sin α = rδ O δ α δ est appelé r« bras de levier » de la force f . C’est la distance entre la droite d’action de la force et le point O. Le théorème du moment cinétique fournit, pour une masse ponctuelle, une autre méthode pour obtenir des résultats accessibles par le PFD. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique III - Un 1er exemple de résolution ; étude du pendule simple 1 - En l’absence de frottements : O r uz l θ r r r r r dσ O = OM ∧ (T + mg ) = OM ∧ mg (car T // OM ) dt r r r σ d 2& 2 && r O r σ O = ml θ u z ; = ml θ u z r v = lθ& u dt θ Tr r r r r uθ OM ∧ mg = l u r ∧ mg (cos θ u r − sin θ uθ ) r r OM ∧ m g = − mg l sin θ u z M (m) r mg r ur Par conséquent : r r ml θ u z = − mgl sin θ u z 2 && z g & & soit θ + sin θ = 0 l Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique III - Un 1er exemple de résolution ; étude du pendule simple 2 - En présence de frottements fluides : Il faut prendre en compte le moment de la force de frottements fluides par rapport à O : r r r 2 r & OM ∧ (−hmv ) = l u r ∧ (−hmlθ uθ ) = − hml u z Le théorème du moment cinétique donne alors : r r r ml 2θ&& u z = − mgl sin θ u z − hml 2 u z Soit l’expression canonique traditionnelle : θ&& + hθ& + g sin θ = θ&& + 2σω0θ& + ω02 sin θ = 0 l Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique IV - Exercices 1 - Météorite : 2 - Un satellite : σ O ( S ) = mv( S )CS = 6,8.1013 kg.m 2 .s −1 (OS sin α = CS ) Conservation du moment cinétique : σ O ( A) = m(OA)v A = σ O ( P) = m(OP)v P = σ O ( S ) v A = 5,9.103 km.h −1 ; v P = 36.10 3 km.h −1 3 - Le toboggan : Equation différentielle du mouvement : Expression de la vitesse : Vitesse maximale : θ&& − g cos θ = 0 r v = rθ& = 2 gr (sin θ − sin θ 0 ) v(θ = π / 2) = 2 gr (1 − sin θ 0 ) = 6 m.s −1 = 21,7 km.h −1 Olivier GRANIER