Les diapos du chapitre 4

CHAPITRE 4
Nombres complexes
Le plan R2 et les nombres
complexes
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•
Le plan R2
Le corps (C , + , x)
Module et argument
La fonction exponentielle complexe et les
formules de Moivre et d’Euler
Résolution dans C de l’équation algébrique
zn=A
Résolution dans C des équations du second
degré
Le plan R2 : une structure
d’espace vectoriel
Addition (loi interne)
(x1 , y1) + (x2 , y2) := (x1+x2 , y1+y2)
(pour (x1 , y1) , (x2, y2) dans R2)
Action « externe » de R sur R2
a . (x , y) = (a x x , a x y)
(pour a dans R , (x, y) dans R2)
Les règles régissant les deux
opérations (interne et externe)
• (R2,+) est un groupe abélien
• a . (b . (x,y)) = (a x b) . (x,y)
• (a+b) . (x,y) = a . (x,y) + b . (x,y)
• a . ((x1 ,y1) + (x2 ,y2)) = a . (x1 ,y1) + a . (x2 ,y2)
• 1 . (x,y) = (x,y)
(R2 , + , . ) R-espace vectoriel
Applications linéaires du plan
dans lui-même
L ( a . (x1 , y1) + b . (x2 ,y2)) =
a . L ((x1,y1)) + b . L ((x2 ,y2))
Application linéaire
L ((1,0)) = (a , c)
L ((0,1)) = (b , d)
tableau 2 x 2
Matrice de L
(
a
b
c
d
L ((x,y)) = (a x + b y , c x + d y)
)
Composition des applications linéaires et
« produit » de tableaux 2 x 2
a1
b1
c1
d1
L1
L2
a2
b2
a2a1 + b2c1
a2b1+b2d1
L2 o L 1
c2
d2
c2a1+d2c1
c2b1+d2d1
Les complexes ; pourquoi ?
Des motivations issues de la
physique (et quelques noms)
• Hydrodynamique, Mécanique des
fluides (A. Cauchy, G. Stokes, …)
• Astronomie et Mécanique Céleste Augustin
Cauchy
1789-1857
(P. S. Laplace,…)
• Mécanique Ondulatoire,
Thermodynamique, Optique,
Electromagnétisme (J. B. J. Fourier, Joseph Fourier
1768-1830
J. C. Maxwell, ..)
Pierre Simon Laplace
1749-1827
James C. Maxwell
1831-1879
Quelles sont les applications linéaires
préservant les angles orientés des figures ??
Le principe
de moindre action
M
m’
r
0
0
r
r cos q -r sin q
cos q -sin q
o
r
q
sin q
m
a = r cos (q)
b = r sin (q)
cos q
r sin q
(
r cos q
a
-b
b
a
)
L’ensemble des nombres
complexes (l’ensemble C )
{(
(
a
-b
a+ib
b
a
b
-b
a
)
; a , b dans R
}
) (1) ( i )
a
=a .
1
0
0
1
+b.
0
-1
1
0
L’addition sur C
a1
-b1
b1
a1
+
a2
-b2
b2
a2
=
a1+a2 -(b1+b2)
b1+b2
a1+a2
(a1 + i b1)+(a2 + i b2) := (a1+a2) + i (b1+b2)
(a1+i b1) x (a2 + i b2) = (a1a2-b1b2) + i (a1b2 + b1 a2)
La Multiplication
Sur C
a2
-b2
b2
a2
a1
-b1
a1 a2 – b 1 b 2
-(a1b2+b1a2)
b1
a1
a1b2+b1a2
a1a2-b1b2
Inverse d’un élément non nul
pour la multiplication
(a+ib)
x
a – ib
?
a2 + b 2
=
a – ib
?
2
a + b2
x
(a+ib) =1
(C ,+) groupe
Addition
abélien
Propriétés des opérations
+
•
•
•
•
Commutativité
z1+z2=z2+z1
Associativité
z1+(z2+z3)= (z1+z2) +z3
Elément neutre 0 :
z+0 = 0 + z = z
Tout élément z admet un « opposé » -z
z+ (-z) = (-z) + z = 0
(C,+, x) corps
Multiplication
commutatif
•
•
•
Distributivité mult/addition
z1 x (z2+z3) = (z1 x z2) + (z1
•
x z3)
Commutativité
z1 x z2=z2 x z1
Associativité
z1 x (z2 x z3)= (z1 x z2) x z3
x
Elément unité 1:
zx1=1xz=z
Tout élément non nul admet un inverse
pour la multiplication :
z z-1 = z-1 z = 1
Module et argument (d’un
nombre complexe non nul)
M
z= a+ib
m’
r
a = r cos (q)
b = r sin (q)
q
m
r = |z| = (a2+b2)1/2 : module (amplitude) de z
q (modulo 2 p) = arg (z) : argument (phase) de z
Conjugaison complexe
y
z=a+ib
x
x’
_
z :=a - ib
y’
Quelques formules utiles (sans
ambiguïté)
_
|z| = |z|
|z1 z2 | = |z1|x|z2|
_____ _
_
z1 + z2 = z1 + z2
___
_ _
z1 z2 = z1 z2
_
|z|2 = z z
_
1/z = z /|z|2
D’autres formules (à manier
avec précaution !)
arg ( z1 z2) = arg (z1) + arg (z2)
_
arg (z)
= - arg (z) si z S 0
Attention !! Ce sont des égalités
entre classes de nombres réels
modulo 2p
La fonction exponentielle
sur R : exp (x1 + x2) = exp (x1) exp (x2)
sur C : exp (x+iy) := exp (x) x (cos (y)+i sin(y))
sur C : exp (z1 + z2) = exp (z1) exp (z2)
En particulier : exp (z) = 1/(exp (-z)) S 0
i2 = -1
p= 3.1415926535897932385...
e
2ip
=1
fonction exponentielle
e=exp(1)= e1 =2.7182818284590452354...
Formes trigonométriques, forme
cartésienne d’un nombre complexe
• Forme trigonométrique : z = r cos q + i r sin q
(avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p])
• Autre forme trigonométrique : z = r exp (i q)
(avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2p])
• Forme cartésienne :
z= a+ib
(avec a = Re (z) [partie réelle] et b= Im (z)
[partie imaginaire])
Les formules de MOIVRE
(cos q + i sin q )n = (eiq)n = cos (nq) + i sin (nq)
Les formules d’Euler
cos q = (eiq + e-iq)/2
sin q = (-i/2) (eiq – e-iq)
Résoudre zN=A
A = R eiq
z=
1/N
R
k=0,1,2,..., N-1
e
(iq/N + 2ipk/N)
(N solutions)
Résoudre a z2 + b z + c = 0
az2+b z+c = a (z2 + (b/a) z) + c
2
= a ((z+ b/(2a)) – (b2-4ac)/(4a2))
d= discriminant
X2 = (b2-4ac)/(4a2) a (dans C) deux
racines X=u et X=–u distinctes si
b2-4ac est non nul
Conclusion : 2 cas à distinguer
• Si b2 – 4 ac =0, il y a une seule
solution donnée par z = -b/(2a)
• Si b2 – 4 ac R 0, il y a deux
solutions données par :
z1 = -b/(2a) - u/(2a)
z2 = -b/(2a) + u/(2a)
u2 = b2 – 4 ac
d/(4a2)
Construction
z2
u/(2a)
q/2
q/2
- u/(2a)
z1
-b/(2a)
Cas particulier : a,b,c réels et d <0
u/(2a)
d
z2
-b/(2a)
/(4a2)
- u/(2a)
z1
Autres relations utiles pour le
calcul de la racine carrée
•
•
•
•
•
•
Re( z2) = x2 -y2
|z2| = x2+y2
x2 = [|z2| + Re(z2)] /2
y2 = [|z2| - Re (z2)] /2
Im (z2) = 2 x y
signe(Im(z2))= signe (xy)
Détermination des racines
De z2 =A sans ambiguïté
Fin du chapitre 4