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Contenu du Cours 29
Argument
Forme polaire ou trigonométrique
Racine n e d’un complexe
Argument
Argument
Argument
Rappel
Si z est un nombre complexe, il s’écrit a + ib pour certains réels a et b .
Si ρ et θ sont les coordonnées polaires du point (a, b ) du plan, on a vu
ρ = |z|.
Définition
L’argument d’un nombre complexe z, noté arg z, est l’angle polaire de
z vu comme un point du plan de Gauß.
Remarque
Nous savons que la mesure de cet angle n’est défini qu’à un multiple
entier de 2π près ! Généralement on prend arg z entre 0 et 2π (on
parle alors de détermination principale) ou alors entre −π et π.
L’argument du nombre complexe nul n’est pas défini.
Argument
Im
z = a + bi = (a, b )
b
|z|
arg z
0
a
Re
Argument
Exemple
Voici la détermination principale des arguments de quelques
complexes :
π
2
I
arg i =
I
arg r = 0 si r est un réel positif ;
I
arg r = π si r est un réel strictement négatif.
I
arg(1 + i ) =
;
π
4
;
Exemple
Le nombre complexe z = ρ(cos θ + i sin θ) a pour argument θ (et pour
module ρ).
Résultat
Pour des complexes z et z 0 (à un multiple entier de 2π près) :
arg(zz 0 ) = arg z + arg z 0
(cas particulier : arg(−z) = π + arg z)
Argument
De façon générale, l’argument d’un complexe z = a + ib se détermine
via les formules
a
b
= cos(arg(z))
= sin(arg(z))
|z|
|z|
ou encore par la formule
b
= tan(arg(z)) en vérifiant le quadrant.
a
Exemple
L’argument θ de z = −1 − i vérifie
−1
=1
−1
Or z est dans le troisième quadrant (en bas à gauche), donc
π
5π
θ = +π =
4
4
tan θ =
Forme polaire ou trigonométrique
Forme polaire ou trigonométrique
Fonctions trigonométriques
Exponentielle complexe
Racine n e d’un complexe
Forme polaire ou trigonométrique
Remarque
Dans le plan de Gauß, un complexe z représente un point. Le passage
des coordonnées polaires (ρ, θ) aux coordonnées cartésiennes (a, b )
donne deux formules équivalentes
a + bi = ρ (cos(θ) + i sin(θ))
Définition
La première formule a + ib est généralement appelée forme normale
ou forme cartésienne, et la seconde est la forme polaire ou forme
trigonométrique, ou encore (voir ci-dessous) forme exponentielle.
Forme polaire ou trigonométrique
La notation z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) est un peu longue, mais il existe
des raccourcis. Le plus courant est la forme exponentielle :
Définition
On définit
exp (i θ) B cos(θ) + i sin(θ).
et on peut alors noter z sous forme exponentielle :
z = ρ exp (i θ)
Remarque
Une autre notation, mais que nous n’utiliserons pas dans ce cours,
est :
cis(θ) B cos(θ) + i sin(θ).
Remarque
Avec cette définition, la notation z = ρ exp (i θ) garde un sens si ρ est
négatif, mais alors |z| = −ρ et arg z = θ + π
Forme polaire ou trigonométrique
Exemple
Voyons quelques formes polaires :
1 = exp (i 0)
π
i = exp i
2
− 1 = exp (i π)
√
π
1 + 3i = 2 exp i
3
Forme polaire ou trigonométrique
Résultat
Si z = ρ exp (i θ) et z 0 = ρ0 exp (i θ 0 ) sont deux nombres complexes, si n
un entier, on a :
1. z = ρ exp (−i θ) ;
2.
1
ρ exp (i θ )
= 1ρ exp (−i θ) ;
3. (ρ exp (i θ))(ρ0 exp (i θ 0 )) = ρρ0 exp (i (θ + θ 0 )) ;
4. (ρ exp (i θ))n = ρn exp (inθ).
La dernière formule prend parfois le nom de « De Moivre ».
On comprend l’intérêt de la notation exponentielle, puisque les
opérations décrites deviennent de simples applications des règles sur
les exposants.
Forme polaire ou trigonométrique
Démonstration.
Vérifions la formule du produit (troisième propriété) :
(ρ exp (i θ))(ρ0 exp (i θ 0 )) = ρ(cos(θ) + i sin(θ))ρ0 (cos(θ 0 ) + i sin(θ 0 ))
= ρρ0 (cos(θ) cos(θ 0 ) − sin(θ) sin(θ 0 ))
+ i (cos(θ) sin(θ 0 ) + sin(θ) cos(θ 0 ))
= ρρ0 (cos(θ + θ 0 ) + i sin(θ + θ 0 ))
= ρρ0 exp (i (θ + θ 0 )).
Dès lors la formule est démontrée.
Forme polaire ou trigonométrique
Preuve, suite.
Montrons également la formule de De Moivre, par récurrence :
(ρ exp (i θ))n = ρn exp (inθ)
La formule est clairement vraie pour n = 1, puisque les deux membres
sont égaux pour cette valeur de n.
Supposons maintenant la formule vraie pour n = k , où k est un entier
fixé. C’est l’hypothèse de récurrence. Vérifions la formule pour
n = k +1 :
(ρ exp (i θ))k +1 = (ρ exp (i θ))(ρ exp (i θ))k
= (ρ exp (i θ)) ρk exp (ik θ)
= ρρk exp (i (θ + k θ))
= ρk +1 exp (i (k + 1)θ)
ce que nous voulions démontrer.
Ceci prouve la formule de De Moivre pour n entier naturel. On pourrait
prouver la formule pour les entiers négatifs en utilisant la
conjugaison.
Forme polaire ou trigonométrique
Forme polaire ou trigonométrique
Fonctions trigonométriques
Exponentielle complexe
Fonctions trigonométriques
Forme polaire ou trigonométrique
Fonctions trigonométriques
Par définition des parties réelles (notée <z) et imaginaires (notée
=z), nous avons :
z = <z + i =z
et par la définition du conjugué, nous avons :
z = <z − i =z
Nous en déduisons, par addition et soustraction :
z + z = 2<z
z − z = 2i =z
Or exp (ix) = cos x + i sin x dans notre notation.
Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus peuvent donc être
ré-écrites de la manière suivante :
exp (ix) + exp (−ix)
exp (ix) − exp (−ix)
sin(x) =
cos(x) =
2
2i
Forme polaire ou trigonométrique
Forme polaire ou trigonométrique
Fonctions trigonométriques
Exponentielle complexe
Exponentielle complexe
Forme polaire ou trigonométrique
Exponentielle complexe
Nous avons introduit la notation exp (ix) = cos x + i sin x pour tout
x ∈ R. De manière plus générale, si z = a + ib est un nombre
complexe, nous pouvons définir :
exp z = exp (a + ib ) B exp (a) exp (ib )
Cette nouvelle application exp · : C → C : z 7→ exp z vérifie l’identité
exp z exp z 0 = exp (z + z 0 )
pour tous complexes z, z 0 .
Démonstration.
exp (a + ib ) exp (a 0 + ib 0 ) = exp a exp ib exp a 0 exp ib 0
= exp a exp a 0 exp ib exp ib 0
= exp (a + a 0 ) exp (ib + ib 0 )
= exp (a + a 0 ) exp (i (b + b 0 ))
= exp ((a + a 0 ) + i (b + b 0 ))
Racine n e d’un complexe
Forme polaire ou trigonométrique
Racine n e d’un complexe
Racine n e d’un complexe
Rappel
On ne parle jamais de la racine carrée d’un nombre complexe, mais
des racines.
Définition
Soit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine n e de z tout
nombre complexe w tel que w n = z.
Rappel
Écrire w = a + ib et résoudre en a et b est fort long.
Théorème
Si z est donné sous forme polaire ρ exp (i θ) (ρ ≥ 0), alors les racines n e
de z sont les nombres w0 , . . . , wn−1 définis
par
!
(θ + 2k π)
√
wk = n ρ exp i
où k = 0, . . . , n − 1
n
En particulier, si z , 0, il y a exactement n racines n e de z.
Racine n e d’un complexe
Rappel
wk =
√
n
(θ + 2k π)
ρ exp i
n
!
où k = 0, . . . , n − 1
Démonstration.
Il y a deux choses à démontrer :
I
wk est bien une racine n e de z, et
I
il n’y en a pas d’autres.
Pour le premier point :
wkn = ρ exp (i (θ + 2k π))
= ρ(cos(θ + 2k π) + i sin(θ + 2k π))
= ρ(cos(θ) + i sin(θ))
= ρ exp (i θ) = z
Racine n e d’un complexe
Suite de la preuve.
Pour le second point, considérons w = r exp (i ϕ) une racine n e de z.
Alors w n = z, et en particulier r n = |w n | = |z| = ρ. Ceci montre déjà
√
que r = n ρ.
Par ailleurs, puisque w n = z et ρ = r n , il faut également
exp (inϕ) = exp (i θ). C’est-à-dire :
cos(nϕ) = cos(θ)
sin(nϕ) = sin(θ)
Or deux angles ne peuvent avoir même sinus et même cosinus que si
ils sont égaux à 2π près : dès lors,
nϕ = θ + 2k π pour un certain k ∈ Z.
d’où ϕ = θ+n2k π comme annoncé.
Racine n e d’un complexe
Suite de la preuve.
Reste à vérifier qu’il suffit de prendre k = 0, . . . , n − 1, et que les wk
correspondant sont tous différents.
Pour cela, remarquons simplement l’égalité
! :
θ
+
2(k
+
n)π
√
wk +n = n ρ exp i
n
θ
+
2k
π
√
= n ρ exp i
+ 2π
n
θ
+
2k
π
√
= n ρ exp i
= wk
n
Donc que pour toute valeur de k , wk se trouve parmi w0 , w1 , . . . , wn−1 .
Source pour les images animées présentées en fin de cours :
www.iflscience.com/brain/math-gifs-will-help-you-understand-these-concepts-better-your-teacher-ever-did