Fonctions réciproques

Fonctions réciproques
y=f(x)
X
Y
x = g(y)= f (y)
- 1
x=message y=message
codé
codage
décodage
x=message
B. Aoubiza
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
6 janvier 2003

Table des matières
11.1Fonctionsréciproques .......................................... 3
11.1.1 Fonction réciproque – Définition................................ 3
11.1.2 Fonctionréciproque–Domaineetdomaineimage...................... 4
11.1.3 Fonctionréciproque–Déterminationdelafonctionréciproque............... 4
11.1.4 Fonctionréciproque–Propriétédecontinuité ........................ 5
11.1.5 Fonctionréciproque–Graphe ................................. 5
11.1.6 Fonctionréciproque–Dérivée ................................. 6
11.1.7 Fonctionréciproque–unthéorèmed’existence........................ 7
11.2Fonctionstrigonométriquesréciproques................................. 7
11.2.1 Fonction réciproque de sin —Définition............................. 7
11.2.2 Fonction réciproque de sin —Propriétés ............................ 8
11.2.3 Fonction réciproque de sin —Graphe.............................. 8
11.2.4 Fonction réciproque de sin —Dérivée.............................. 9
11.2.5 Fonction réciproque de cos —Définition ............................ 9
11.2.6 Fonction réciproque de cos —Propriétés ............................ 9
11.2.7 Fonction réciproque de cos —Graphe.............................. 10
11.2.8 Fonction réciproque de cos —Dérivée.............................. 10
11.2.9 Relationfondamentale...................................... 11
11.2.10 Fonction réciproque de tan —Définition ............................ 11
11.2.11 Fonction réciproque de tan —Propriétés ............................ 11
11.2.12 Fonction réciproque de tan —Graphe.............................. 12
11.2.13 Fonction réciproque de tan —Dérivée.............................. 12
11.2.14 Fonction réciproque de cot —Définition ............................ 13
11.2.15 Fonction réciproque de cot —Propriétés ............................ 13
11.2.16 Fonction réciproque de cot —Graphe.............................. 14
11.2.17 Fonction réciproque de cot —Dérivée.............................. 14
11.2.18Fonctionstrigonométriquesréciproques—Résumé....................... 14
11.3 Fonctions exponentielles de base a................................... 15
11.3.1 Fonctions exponentielles de base a—Propréités........................ 15
11.3.2 Fonctions exponentielles de base a—Graphe.......................... 15
11.4 Fonction exponentielle de base e.................................... 16
11.4.1 Fonction exponentielle — Définition............................... 16
11.4.2 Fonctionexponentielle—Propriétésetlimitesusuelles .................... 17
11.4.3 Fonctionexponentielle—Graphe ................................ 17
11.4.4 Fonctionexponentielle—Dérivée ................................ 18
11.4.5 Fonctionexponentielle—Dérivéedelacomposée ....................... 18
11.5Fonctionshyperboliques ......................................... 19
11.5.1 Fonctions hyperboliques — Définitions ............................. 19
11.5.2 Fonctions hyperboliques — Fonction cosh ............................ 19
11.5.3 Fonctions hyperboliques — Fonction sinh ............................ 20
11.5.4 Fonctionshyperboliques—Relationfondamentale....................... 20
11.6Fonctionshyperboliquesréciproques .................................. 20
11.6.1 Fonction réciproque de cosh —Définition............................ 20
11.6.2 Fonction réciproque de cosh —Propriétés............................ 21
11.6.3 Fonction réciproque de cosh —Graphe ............................. 21
1

11.6.4 Fonction réciproque de cosh —Dérivée ............................. 21
11.6.5 Fonction réciproque de sinh —Définition............................ 21
11.6.6 Fonction réciproque de sinh —Propriétés............................ 22
11.6.7 Fonction réciproque de sinh —Graphe ............................. 22
11.6.8 Fonction réciproque de sinh —Dérivée ............................. 22
11.7 Fonction logarithme ........................................... 23
11.7.1 Fonction logarithme — Définition ................................ 23
11.7.2 Fonction logarithme — Graphe .................................. 23
11.7.3 Fonction logarithme — Propriétés . . .............................. 23
11.7.4 Fonction logarithme — Dérivée . . . .............................. 25
11.7.5 Fonction logarithme — Dérivée ln(v(x)) ............................ 25
11.8 Fonctions logarithme de base a(a>0) ................................. 27
11.8.1 Fonctions logarithme de base a—Définition.......................... 27
11.8.2 Fonctions logarithme de base a—Propriétés.......................... 27
11.8.3 Fonctions logarithme de base a—Changementdebase.................... 27
11.8.4 Fonctions logarithme de base a—Dérivation.......................... 28
11.9 Fonctions exponentielles de base a................................... 28
11.9.1 Fonctions exponentielles de base a—Nouvelleformulation.................. 28
11.9.2 Fonctions exponentielles de base a—Dérivation........................ 28
11.10Fonctionspuissances ........................................... 28
11.10.1 Fonctions puissances — Définition................................ 28
11.10.2Fonctionspuissances—Dérivée ................................. 29
11.10.3Fonctionspuissances—Graphes................................. 29
11.11Comparaisondescroissances....................................... 29
2

11.1 Fonctions réciproques
11.1.1 Fonction réciproque – Définition
Il arrive souvent que, pour une fonction donnée f, on a besoin (si c’est possible) d’une autre fonction gtelle
que :
y
fg
xx
Dèfinition 1 (Fonctions réciproque) Si fest une application de Xdans Yet gest une application de Y
dans Xtelles que
—f(g(y)) = ypour tout y∈Y
—g(f(x)) = xpour tout x∈X
on dit que fest la fonction réciproque de g,etquegest la fonction réciproque de f.
Notation 1 La fonction réciproque de fse note f−1.
y=f x ()
X
Y
x = g y f y () = ()
- 1
xy
Exemple 1 Soient fet gles deux fonctions définies par
f:[0,+∞[−→ [0,+∞[
x7→x2et g:[0,+∞[−→ [0,+∞[
y7→√y
Ces deux fonctions vérifient les relations suivantes :
-f(g(y)) = f(√y)=(
√y)2=ypour tout y∈[0,+∞[
-g(f(x)) = g(x2)=√x2=xpour tout x∈[0,+∞[
Donc fest la fonction réciproque de g,etgest la fonction réciproque de f.
Dèfinition 2 (Fonction Bijective) une fonction fest bijective sur un domaine (intervalle) si chaque fois
que f(x1)=f(x2),alorsx1=x2.
Remarque 1 Rappelons que toute fonction bijective admet une fonction réciproque.
Exemple 2 Montrer que la fonction f(x)=x3est bijective.
Solution : Montrons que si f(x1)=f(x2)alors x1=x2.
Soient x1et x2deux réels quelconques tels que f(x1)=f(x2).Ona
x3
1=x3 2et donc x3 1−x3 2=0
or
x3
1−x3 2=(x1−x2)(x2 1+x1x2+x2 2)=0
Le produit est nul si l’un des facteurs est nul. On déduit donc que x1=x2car x2
1+x1x2+x2 2ne peut pas être
nul dans R. (dire pourquoi ?)
Exemple 3 La fonction f(x)=x2définie pour tout réel x, n’est pas bijective car f(1) = f(−1) mais 16=−1.
3

Test de la droite horizontale
Une fonction fest bijective si et seulement si toute droite horizontale ne peut rencontrer Cfqu’au plus en
un point.
Fonction bijective
Même image pour 2 valeurs
différentes
x
2
x
11
f ( )
x
2
f ( )
x
11
Fonction non bijective
11.1.2 Fonction réciproque – Domaine et domaine image
On déduit facilement les relations suivantes entre le domaine image et le domaine de définition :
domaine de f−1=domaine image de f
domaine image de f−1=domaine de f
11.1.3 Fonction réciproque – Détermination de la fonction réciproque
Pour déterminer la fonction réciproque de y=f(x):
1. Résoudre l’équation y=f(x)où l’inconnue est x, on obtient alors x=g(y).
2. Remplacer ypar xet xpar ydans l’expression x=g(y)pour obtenir
y=g(x)=f−1(x)
Exemple 4 Soit f(x)=x2pour x>0. Déterminer sa fonction réciproque.
Solution : On résout l’équation
y=x2,x>0
où l’inconnue est x,onobtient
x=√y, y > 0
Maintenant on remplace ypar xet xpar yon obtient
y=√x, x > 0
Ainsi, la fonction réciproque f−1(x)de f(x)=x2,pourx>0, est la fonction racine carrée : f−1(x)=√x.
Point de vue graphique. Si on regarde le graphe de y=x2,pourtoutx, on voit que cette fonction ne peut
pas avoir de réciproque pour tout x.
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4
x
y=x2
Noter que la droite horizontale y=4coupe la courbe de y=x2en deux points. Ce qui signifiequelafonction
n’est pas bijective et donc elle n’admet pas de fonction réciproque.
4