Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Continuité

Introduction
Nous avons déjà indiqué qu’intuitivement, une fonction continue est
une fonction dont le graphique ne présente aucune interruption,
aucune coupure, aucun manque. On peut la tracer d’une seul trait,
sans lever le crayon.
Notre objectif est de déterminer une procédure permettant de
repérer algébriquement les discontinuités d’une fonction sans avoir à
en tracer le graphique. En fait, l’étude algébrique de la continuité
d’une fonction devrait nous donner de l’information facilitant la
construction du graphique de celle-ci. Notre investigation
comportera donc deux pôles :
•les types d’interruption (discontinuité) que l’on peut rencontrer en
traçant un graphique;
•les caractéristiques algébriques de chacun de ces types.

Discontinuités
Considérons le graphique suivant :
On constate qu’en x=–5, il n’y a pas d’image alors que la limite à
gauche est égale à la limite à droite. Dans un tel cas, on dit que la
fonction a une discontinuité par trou àx=–5.
En x=–3, la fonction a une asymptote verticale et la limite à gauche
est la même qu’à droite. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une
discontinuité par trou à l’infini àx=–3.
SS
Le point associé au couple (–2; f(–2), n’est pas sur la courbe formée
par les points dans le voisinage de –2. Dans un tel cas, on dira que la
fonction a une discontinuité par déplacement àx=–2.
S
Trou
Trou à
l’infini
Déplacement
En x= 1, la limite à gauche est différente de la limite à droite et
chacune des ces limites est un nombre réel. Dans un tel cas, on dit
que la fonction a une discontinuité par saut fini àx= 1.
S
Saut fini
Saut infini
En x= 3, la limite d’un côté est ∞et de l’autre, elle est –∞. Dans un
tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par saut infini à
x= 3.
S
Manque
On constate finalement qu’il n’y a pas d’image dans [5; 7]. Dans un
tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par manque sur
[5; 7].
S

Détection des discontinuités
Fonctions définies par une seule expression
PROCÉDURE
pour déterminer les discontinuités d’une fonction définie par une
seule expression algébrique
1. Déterminer, selon le cas, les valeurs particulières ou l’intervalle des
valeurs de la variable indépendante qui n’ont pas d’image.
2. Utiliser les procédures appropriées pour évaluer la limite lorsque
la variable dépendante s’approche des valeurs obtenues.
3. Rédiger la conclusion en indiquant le type de chacune des
discontinuités.

SS
Exemple 4.3.1
Déterminer les discontinuités de la fonction définie par
f(x)x2
x2–x–6
Solution
,en factorisant.
Le dénominateur s’annule lorsque (x+ 2)(x–3) = 0, ce qui donne
x=–2et x= 3, par l’intégrité des nombres réels.
f(x)x2
x2–x–6
x2
(x2)(x–3)
Àx=–2, on aune limite de la forme 0/0. En évaluant, on obtient :
Déterminons les valeurs qui n’ont pas d’image :
La fonction a des discontinuités à x=–2et x= 3.
lim
x–2
x2
x2–x–6
lim
x–2
x2
(x2)(x–3)
lim
x–2
1
(x–3)
–1
5
Puisque –2n’a pas d’image et que la limite existe lorsque xtend vers
–2, la fonction a une discontinuité par trou à –2.
Àx= 3, on aune limite de la forme k/0. En considérant le
comportement à gauche et à droite, on obtient :
lim
x3–
x2
x2–x–6
lim
x3–
x2
(x2)(x–3)
5
50–
= –∞
lim
x3
x2
x2–x–6
lim
x3
x2
(x2)(x–3)
5
50
= ∞
La fonction a une discontinuité par saut infini à x= 3.
S