Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Continuité
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous avons déjà indiqué qu’intuitivement, une fonction continue est
une fonction dont le graphique ne présente aucune interruption,
aucune coupure, aucun manque. On peut la tracer d’une seul trait,
sans lever le crayon.
Notre objectif est de déterminer une procédure permettant de
repérer algébriquement les discontinuités d’une fonction sans avoir à
en tracer le graphique. En fait, l’étude algébrique de la continuité
d’une fonction devrait nous donner de l’information facilitant la
construction du graphique de celle-ci. Notre investigation
comportera donc deux pôles :
• les types d’interruption (discontinuité) que l’on peut rencontrer en
traçant un graphique;
• les caractéristiques algébriques de chacun de ces types.
Discontinuités
Considérons le graphique suivant :
Trou à
Déplacement
l’infini
Saut infini
Manque
Trou
Saut fini
On
qu’en
xcouple
–5,
n’y
pas
d’image
alors
que
limite
Le point
En
On
xconstate
xconstate
== –3,
3,1,associé
lalalimite
finalement
fonction
limite
aud’un
à=agauche
qu’il
côté
uneil
(–2;
asymptote
est
n’y
est
f(–2),
∞aadifférente
et
pas
de
n’est
d’image
verticale
l’autre,
pas
de sur
dans
elle
la
et la
limite
la
est
[5;
limite
courbe
–∞.
7].
àlaàdroite
Dans
formée
gauche
un
età
gauche
est
àdroite.
la
limite
à un
droite.
Dans
un
tel
cas,
on
ditinfini
que
la
est la
par
chacune
tel
cas,
lesmême
points
on
deségale
dit
qu’à
ces
dans
que
limites
le
la voisinage
fonction
fonction
est
Dans
un
nombre
de
aa tel
une
une
–2.cas,
Dans
discontinuité
discontinuité
réel.
on un
dit
Dans
tel
quecas,
un
la
par
par
fonction
on
tel
saut
manque
dira
cas,
que
on
a une
sur
dit
la
à
fonction
a
discontinuité
par
à xsaut
= –5.
discontinuité
fonction
que
x
[5;
= 7].
3.
la fonction
a une
unepar
discontinuité
a trou
une discontinuité
à l’infini
paràtrou
déplacement
x =par
–3.
fini
à xà=x–2.
= 1.
S
Détection des discontinuités
Fonctions définies par une seule expression
PROCÉDURE
pour déterminer les discontinuités d’une fonction définie par une
seule expression algébrique
1. Déterminer, selon le cas, les valeurs particulières ou l’intervalle des
valeurs de la variable indépendante qui n’ont pas d’image.
2. Utiliser les procédures appropriées pour évaluer la limite lorsque
la variable dépendante s’approche des valeurs obtenues.
3. Rédiger la conclusion en indiquant le type de chacune des
discontinuités.
Exemple 4.3.1
Déterminer les discontinuités de la fonction définie par f (x) 
Solution
Déterminons les valeurs qui n’ont pas d’image :
x2
x2

f (x)  2
, en factorisant.
(x

2)(x
–
3)
x –x–6
x2
x2 – x – 6
Le
s’annule
+ 2)(xk/0.
– 3)En= considérant
0, ce qui donne
À dénominateur
x = 3, on a une
limitelorsque
de la (xforme
le
xcomportement
= –2 et x = 3, par
l’intégrité
des nombres
réels.:
à gauche
et à droite,
on obtient
La fonctionxades
2 discontinuitésx à x2 = – 2 et x 5= 3.
 lim
lim 2

= –∞
–
–
–
(x

2)(x
–
3)
– 6 limite
x3de la forme 0/0. En
5 évaluant,
0
À x x3
= –2, xon –a xune
on obtient :
x22
x22
5
x
1
x
–1

lim
lim

=
∞

lim

lim
lim  x2 2 – x – 6


 (x  2)(x – 3)
x3
5

0
x3
(x

2)(x
–
3)
(x
–
3)
x –2
x –2
5
x –2 x – x – 6
Puisque –2 n’a pas d’image et que la limite existe lorsque x tend vers
–2, la fonction a une discontinuité par trou à –2.
La fonction a une discontinuité par saut infini à x = 3.
SS
Exemple 4.3.2
Déterminer les discontinuités de la fonction définie par f (x)  x – 2
Solution
La variable indépendante est présente sous un radical et l’extraction
d’une racine négative n’est pas définie dans R.
Par conséquent, la correspondance n’est pas définie lorsque la
variable indépendante prend des valeurs qui donnent une expression
négative sous ce radical. On doit donc avoir :
x–2>0
D’où :
x>2
La fonction est définie si et seulement
si x > 2. La fonction est donc discontinue par manque sur ]–∞; 2[.
S
Détection des discontinuités
Fonctions définies par parties
PROCÉDURE
pour déterminer les discontinuités d’une fonction définie par parties
1. Déterminer, pour chacune des parties, les discontinuités en
appliquant la procédure pour une expression algébrique unique en
tenant compte de l’intervalle sur lequel cette expression est valide.
2. Évaluer la limite à gauche et à droite aux frontières des intervalles
adjacents pour déterminer si les parties sont jointes ou non.
3. Rédiger la conclusion en indiquant le type de chacune des
discontinuités.
Exemple 4.3.3
x5


si x  3
Déterminer les discontinuités de la fonction f (x)  x – 1

x  4 si x  3
Solution
x5
y

Dans
3[, la
Dansl’intervalle
l’intervalle]–∞;
[3; ∞[,
lacorrespondance
correspondanceest
estdéfinie
définiepar
par y = x +. 4.
x –1
Cette expression algébrique ne présente pas de discontinuité
puisqu’elle
ne comporte
radical ni dénominateur.
Le
dénominateur
de cetteniexpression
s’annule à x = 1 et cette valeur
est
dans maintenant
]–∞; 3[. La vérifier
limite estsi de
formesegments
k/0 et, enseconsidérant
le
Il faut
lesladeux
joignent. En
comportement
à gauche
et àetdroite,
on obtient
évaluant la limite
à gauche
la limite
à droite,: on trouve :
x5 6
x5 6
  
lim
 –  –
et lim
–
x

5
8
x1 x – 1 0
x1 x – 1 0
lim f (x)  lim
  4 et lim f (x)  lim x  4  7
x3
x3
x3 –
x3 – x – 1 2
La fonction a donc une discontinuité par saut infini à x = 1.
On peut donc conclure que la fonction a une discontinuité par saut fini
à x = 3.
SS
Essentielle et non essentielle
DÉFINITION
Discontinuité essentielle
Soit f, une fonction ayant une discontinuité en x = c. On dit que la
discontinuité est essentielle si
lim f (x) n’existe pas.
xc
DÉFINITION
Discontinuité non essentielle
Soit f, une fonction ayant une discontinuité en x = c. On dit que la
discontinuité est non essentielle si
lim f (x) existe.
xc
Les discontinuités non essentielles sont les suivantes : discontinuité
par trou et par déplacement.
S
DÉFINITION
Continuité
Continuité en un point
Une fonction f(x) est dite continue en x = c si et seulement si :
1. f(c) est définie, c’est-à-dire c  domf;
2. lim f (x) existe.
xc
lim f (x) = f(c)
3. xc
La deuxième condition signifie que la limite à gauche est égale à la
limite à droite et que cette limite est un nombre réel.
On remarque de plus que la troisième condition englobe les deux
autres.
Analyse de la continuité
On peut avoir à démontrer la continuité en un point ou à faire l’étude
globale de la continuité d’une fonction.
Pour démontrer que la fonction est continue en un point, on doit
montrer que les trois conditions de la définition précédente sont
satisfaites.
L’analyse globale de la continuité d’une fonction consiste à
déterminer pour quelles valeurs celle-ci est discontinue et le type de
chacune de ses discontinuités, puis à indiquer sur quels intervalles,
ouverts ou fermés, elle est continue.
Pour faciliter cette analyse, nous définirons les notions de continuité
sur un intervalle ouvert et sur un intervalle fermé et nous énoncerons
quelques théorèmes nous permettant de conclure à la continuité
d’une fonction sur un intervalle.
S
Exemple 4.3.4
x2
Montrer que la fonction définie par : f (x) 
x2 – x – 6
est continue à x = 5.
Solution
Le dénominateur s’annule à x = –2 et à x = 3. Le domaine de la
fonction est donc R\{–2, 3}. Par conséquent, 5  domf et f(5) existe.
En fait :
7 1
f (5) 

14 2
En évaluant la limite lorsque x s’approche de 5, on obtient :
 x  2  7 1
lim 2




14 2
x5 x – x – 6
Donc, la limite existe et de plus, on a :
 x  2 
 f (5)
2


x5 x – x – 6
On peut conclure que la fonction est continue à x = 5.
lim
S
Exemple 4.3.5

–x
si x  2
Faire l’analyse globale de la continuité
 3
x2
f
(x)


de la fonction définie par :
si 2 < x  4

x(4 – x)
Solution
Lorsque
x ≤ 2,
la fonction
est àdéfinie
par ày x = 32,– pour
x. déterminer si les
Il reste une
dernière
valeur
analyser,
deux expression
segments sont
joints on
En évaluant
la limite
Cette
est définie
et non.
continue
partout pour
x ≤ à2 gauche
puisqueetlela
limite àest
droite,
obtient
radical
définionpour
toute: valeur de x plus petite ou égale à 3.
2 x  2 
x

lim
f
(x)

lim
et
lim f (x)
2,lim
3 – x est
1 définie

  1
y



Lorsque
x
>
la
fonction
par
x(4 – x)
x2
x2
x2 –
x2 –
x(4 –x)
Ladénominateur
limite à gauche
est égale
limite
droite
est
Le
s’annule
à x à= la
0 et
à x =à 4,
maiset0 cette
n’est limite
pas dans
l’image par
conséquent, est
les seul
troisà conditions
sont
l’intervalle
]2; la4[.fonction.
À x = 4, Par
le dénominateur
s’annuler, on
a
satisfaites
et la fonction
est continue
àx=2
donc
une forme
k/0. En analysant
le comportement
à gauche de 4, on
obtient
:
Conclusion
6
 x  2 
lim 
 à x = 4 et une discon  à l’infini
La fonction a une discontinuité
par


x4 x(4 – x) 4  0
tinuité par manque sur [4; ∞[. Elle est continue partout ailleurs.
La fonction a donc une discontinuité à l’infini à x = 4 et une
discontinuité par manque sur [4; ∞[.
SS
Remarques

–x
si x  2
 3
La fonction f (x)   x  2
si 2 < x  4

x(4 – x)
est continue à 2 puisque la limite à gauche
– xlimite
si xàdroite
2
est égaleà3la
et que cette

g(x) est
 l’image
3
si x  2
limite
 x  2 par la fonction.
si 2 < x  4

Cela signifie
que
x(4 – x) les deux sections de
courbes se rejoignent en un point qui est
On a alors
unela discontinuité
par déplal’image
de 2 par
fonction.
cement à x = 2.
Il faut absolument
2  3 – x que
si xtoutes
 2 ces conditions
soient
pour
3
h(x) satisfaites
si xque
 2 la fonction soit
continueà xx =22.
si 2 < x  4

x(4 – x) des modifications à la
En apportant
définition de la fonction, on peut obtenir
On a alors une discontinuité par saut fini à
divers type de discontinuités.
x = 2.
(2; 1)
(2; 3)
(2; 3)
S
Continuité sur un intervalle
DÉFINITION
Continuité sur un intervalle ouvert
Une fonction f est dite continue sur un intervalle ouvert si elle est
continue pour tout x  ]c; d[.
DÉFINITION
Continuité sur un intervalle fermé
Une fonction f est dite continue sur un intervalle fermé si elle est
continue pour tout x  ]c; d[.
1. Elle est continue pour tout x  ]c; d[;
2. lim f (x)  f (c) continuité par la droite;
xc
3. lim– f (x)  f (d ) continuité par la gauche.
xd
S
Exemple 4.3.6
Montrer que la fonction définie par : f (x)  4 – x2
est continue sur [–2; 2].
Solution
Le domaine de f est l’intervalle [–2; 2]. Par les propriétés des limites,
on peut écrire que pour tout c dans l’intervalle ouvert ]–2; 2[, on a :
lim f (x)  lim 4 – x 2 
xc
xc
lim 4 – x 2   4 – c 2  f (c)
xc
La fonction est donc continue dans l’intervalle ouvert ]–2; 2[.
De plus,
et,
lim f (x)  lim
x2 –
x2 –
lim f (x)  lim
x –2 
4 – x2 
x–2 
4 – x2 
lim 4 – x 2   0  f (2)
x2 –
lim 4 – x 2   0  f (–2)
x –2 
La fonction est donc continue par la gauche à x = 2 et par la droite à
x = –2.
Conclusion
La fonction est continue sur l’intervalle fermé [–2; 2].
SS
Théorèmes sur la continuité
Théorème
Fonctions continues sur leur domaine.
• Toute fonction polynomiale est continue sur R.
• Toute fonction rationnelle f(x) = g(x)/h(x), où g(x) et h(x) sont des
polynômes, est continue sur son domaine.
• Toute fonction irrationnelle est continue sur son domaine.
• Toute fonction exponentielle est continue sur son domaine.
• Toute fonction logarithmique est continue sur son domaine.
Rappel
Le domaine d’une fonction est l’ensemble des valeurs de la variable
indépendante qui ont une image par la fonction. Il faut se rappeler
que la division par zéro et l’extraction de la racine paire d’un
nombre négatif ne sont pas définies sur R. Dans le cas d’une fonction
logarithmique, il faut que son argument soit plus grand que 0.
S
Exemple 4.3.8
x 2 – 1 si x  1

f (x)  4
si x  1

si x  1
 x
Faire l’analyse globale de la continuité
de la fonction définie par :
Solution
Lorsque x < 1, la fonction est définie par y = x2 – 1. C’est une fonction
polynomiale,
Conclusion elle est continue pour tout nombre réel, elle est donc
continue sur ]–∞; 1[.
La fonction
discontinuité
parpar une expression irrationnelle.
Lorsque
x > 1,a laune
fonction
est définie
sautest
finicontinue
et déplacement
d’un
point réel
à positif, elle est donc continue
Elle
pour tout
nombre
x ]1;
= 1.
sur
∞[. Elle est continue partout
ailleurs.
La valeur x = 1 est suspecte, il peut y avoir une discontinuité en cette
valeur. On connaît déjà l’image, f(1) = 4 par définition.
En évaluant la limite à gauche et la limite à droite, on trouve :
lim f (x)  lim x 2 – 1  0 et
–
–
x1
x1
lim f (x)  lim
x1 
x1
x1
On constate que la limite à gauche est différente de la limite à droite et
chacune de ces limites est différente de l’image par la fonction.
S
Continuité et valeurs intermédiaires
Le domaine d’une fonction est l’ensemble des valeurs de la variable
indépendante qui ont une image par la fonction. Il faut se rappeler
que la division par zéro et l’extraction de la racine paire d’un
nombre négatif ne sont pas définies sur R. Dans le cas d’une fonction
logarithmique, il faut que son argument soit plus grand que 0.
Théorème
de la valeur intermédiaire
Soit f, une fonction telle que :
• f est continue sur [a; b];
• f(a) < L < f(b) [ou f(b) < L < f(a)];
alors, il existe au moins un nombre c  ]a; b[ tel que f(c) = L.
S
Continuité et valeurs intermédiaires
Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, puisque f est
continue sur [a; b], chaque nombre compris entre f(a) et f(b) a au
moins une préimage dans l’intervalle ]a; b[.
f(b)
L
f(a)
f(a)
L
a
c
b
f(b)
b
a c1
c2 c3
Si la fonction est discontinue sur [a; b], on ne peut rien conclure.
f(a)
L
b
f(b)
a
f(a)
L
f(b)
a c
b
Dans certains cas, il y a une préimage, dans d’autres non.
SS
Localisation des zéros
Théorème
de localisation des zéros
Soit f, une fonction telle que :
• f est continue sur [a; b];
• f(a) et f(b) sont de signes contraires;
alors, il existe au moins un nombre c  ]a; b[ tel que f(c) = 0.
S
Localisation des zéros
Le théorème de localisation des zéros affirme que si f est continue
dans un intervalle et qu’à l’une des frontières l’image est positive et
qu’à l’autre elle est négative alors le graphique doit couper l’axe
horizontal au moins une fois dans l’intervalle.
f(a)
b
a
f(b)
Le théorème de localisation des zéros est un cas particulier du
théorème de la valeur intermédiaire, il traite du cas L = 0.
S
Exemple 4.3.10
Soit la fonction définie par f(x) = x3 – 4x – 2.
Localiser les zéros de cette fonction dans
l’intervalle [–3; 3].
Solution
En calculant les images pour chaque
valeur entière dans l’intervalle, on trouve :
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
REMARQUEv
Onf(x)
peut –17
cerner –2
les zéros
diminuant
1 en –2
–5 la–2largeur
13
des intervalles. Ainsi, puisque f(2) = –2 et f(3) = 13,
Lale fonction
continue sur
[–2;
–1], de
zéro est est
probablement
plus
proche
de plus,
2 quef(–2)
de et f(–1) sont de
signes
Letest
théorème
de localisation
3. Oncontraires.
peut faire un
sur l’intervalle
[2; 2,5]. des
On zéros permet de
conclure
que la fonction
a unl’équation
zéro dans de
l’intervalle
[–2; –1].
peut également
trouver
la droite
Enpassant
procédant
depoints
façon (2;
analogue,
détecte un deuxième zéro dans
par les
–2) et (3;on13).
l’intervalle
[–1; 0]deetcette
un troisième
dans
l’intervalle
[2; 3].
L’intersection
droite avec
l’axes
des x est
une meilleure approximation du zéro.
S
Conclusion
Grâce à la notion de continuité d’une fonction, on est maintenant en
mesure de justifier notre procédure pour déterminer le taux de
variation ponctuel d’une fonction.
La recherche du taux de variation ponctuel d’une fonction f en un
point d’abscisse x = c donne toujours une limite de la forme 0/0. Cela
La notion àde
permet
de répondre
des
correspond
unecontinuité
discontinuité
non-essentielle
de f àenlax =critique
c. Puisque
cette
discontinuité
est non-essentielle,
il nous
est possible
de lever
fondements
du calcul
différentiel selon
laquelle
il est arbitraire
l’indétermination,
algébriquement
dans comme
la plupart
des cas,
d’introduire une variation
h que l’on traite
une grandeur
non
numériquement dans les autres.
nulle sachant fort bien que ce qui est visé au terme du processus c’est
La
démarche
de poser
h = 0. algébrique pour lever l’indétermination consiste à
déterminer une fonction g continue en x = c et qui a le même
comportement que f partout ailleurs. On peut alors évaluer la limite
de f lorsque x s’approche de c en calculant g(c), l’image de c par la
fonction g. Cette image est le taux de variation ponctuel cherché.
S
Lecture
Calcul différentiel, applications
Section 4.1, p.107-119.
en
sciences
de
la
nature,
de
la
nature,
Exercices
Calcul différentiel, applications
Section 4.2, p. 120-121.
en
sciences