Théorème de Gauss

Chapitre 3 OCPH
3.
Le théorème de Gauss
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Le théorème de Gauss
3.1. Le flux électrique
On peut faire une analogie entre
les lignes de force qui traversent
une surface et les lignes de
courant d'un fluide qui s'écoule
à travers une surface. Partant de
cette analogie, Gauss a défini la
grandeur
appelée
flux
électrique. La figure (partie de
gauche) représente une surface
plane d'aire A, perpendiculaire
aux lignes d'un champ électrique
uniforme. Par définition, le flux
électrique  E qui traverse cette
surface est
 E  EA
L'unité SI de flux électrique est le N  m 2 C . Bien que la définition du flux ne fasse pas
intervenir les lignes de force, le flux électrique à travers une surface donnée est proportionnel
au nombre de lignes de champ passant par cette surface. Si la surface est inclinée et fait un
certain angle avec le champ, comme à la figure (partie de droite), le nombre de lignes
interceptées dépend de An, la projection de la surface sur un plan normal aux lignes.
 E  EA cos 
On reconnaît le produit scalaire. Pour un champ uniforme,
 
E  E  A
Si le champ n’est pas uniforme ou la surface non plane, il
faut procéder à une division de la surface en petits
éléments et sommer les contributions du flux
correspondant.
 
 E   E  dA
3.2.
Le théorème de Gauss
Considérons une charge ponctuelle positive Q. La symétrie du
problème montre que le champ a la même valeur en tout point
d’une sphère imaginaire centrée sur la charge. Tout élément de
 
surface est parallèle au champ local. Ainsi E  dA  E dA . Le
flux total à travers une surface de Gauss fermée est :
2
E  
 E dA  E  dA  E 4r
Chapitre 3 OCPH
Le théorème de Gauss
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D’après la loi de Coulomb : E  k
Q
1
et k 
, la charge enfermée s’écrit (par rapport au
2
r
4 0
flux total) :
Qenf   0 E
Le flux traversant une surface de Gauss fermée dépend de la charge qu’elle enferme.
3.3. Méthode de résolution: Théorème de Gauss
Sous la forme intégrale, le théorème de Gauss est utile pour déterminer un champ
électrostatique à condition que la distribution de charges soit suffisamment symétrique pour
que l'intégration soit simple. Lorsqu'on choisit une surface de Gauss, il est bon d'avoir à l'esprit
les trois points suivants.
1. Utiliser la symétrie de la distribution de charges pour déterminer la configuration des lignes
de champ.


2. Choisir une surface de Gauss pour laquelle E est soit parallèle, soit perpendiculaire à dA .


3. Si E est parallèle à dA , l'intensité E doit être constante sur cette partie de la surface.
L'intégrale se réduit alors à une somme sur les éléments de surface.
Exemples :
1. Une sphère creuse de rayon R porte une charge Q uniformément répartie sur sa
surface. Trouver le champ à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère.
2. Une droite infinie chargée porte une densité linéaire de charge égale à  C m .
Déterminer le champ à une distance r de la droite.
3. Déterminer le champ créé par une feuille plane infinie chargée de densité superficielle
de charge égale à  C m 2
Chapitre 3 OCPH
3.4.
Le théorème de Gauss
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Exercices
1. Soit une plaque circulaire de rayon
12 cm. Son plan fait un angle de
30° avec un champ uniforme
E = 4507 N/C (figure). Quel est le
flux traversant la plaque ?
intérieur de rayon a aune densité
superficielle de charge 1 et
l'enveloppe extérieure cylindrique
de rayon b a une densité
superficielle de charge  2 . Trouvez
la relation entre 1 et  2 pour que
le champ soit nul à l'extérieur du
câble, c'est-à-dire pour r > b.
2. Soit un champ électrique uniforme
E parallèle à l'axe central d'un
hémisphère de rayon R (figure).
Quel est le flux traversant
l'hémisphère ?
3. Soit deux charges, q1  6 C et
4.
5.
6.
7.
q2  8 C à l'intérieur d'une
surface sphérique de rayon 5 cm.
Quel est le flux total traversant la
surface?
Le flux à travers chaque face d'une
surface de Gauss cubique d'arête
2
4 Nm
10 cm est égal à 3  10
. Quelle
C
est la charge nette à l'intérieur ?
Un conducteur sphérique de rayon
8 cm a une densité superficielle de
nC
charge uniforme égale à 0,1 2 .
m
Déterminez le champ électrique: (a)
sur la surface; (b) à une distance de
10 cm du centre.
Soit deux feuilles chargées, infinies
et parallèles, ayant une même
densité superficielle de charge égale
C
à  2 . Quel est le champ (a) dans
m
la région comprise entre les feuilles,
et (b) dans les régions non
comprises entre les feuilles ?
On considère le long câble coaxial
linéaire de la figure. Le conducteur