Théorème de Gauss

Chapitre 3 OCPH Le théorème de Gauss 13
3. Le théorème de Gauss
3.1. Le flux électrique
On peut faire une analogie entre
les lignes de force qui traversent
une surface et les lignes de
courant d'un fluide qui s'écoule
à travers une surface. Partant de
cette analogie, Gauss a défini la
grandeur appelée flux
électrique. La figure (partie de
gauche) représente une surface
plane d'aire A, perpendiculaire
aux lignes d'un champ électrique
uniforme. Par définition, le flux
électrique
E
qui traverse cette
surface est
E
EA
L'unité SI de flux électrique est le 2
N m C
. Bien que la définition du flux ne fasse pas
intervenir les lignes de force, le flux électrique à travers une surface donnée est proportionnel
au nombre de lignes de champ passant par cette surface. Si la surface est inclinée et fait un
certain angle avec le champ, comme à la figure (partie de droite), le nombre de lignes
interceptées dépend de An, la projection de la surface sur un plan normal aux lignes.
cos
EEA
On reconnaît le produit scalaire. Pour un champ uniforme,
E
E A
Si le champ n’est pas uniforme ou la surface non plane, il
faut procéder à une division de la surface en petits
éléments et sommer les contributions du flux
correspondant.
E
E dA
3.2. Le théorème de Gauss
Considérons une charge ponctuelle positive Q. La symétrie du
problème montre que le champ a la même valeur en tout point
d’une sphère imaginaire centrée sur la charge. Tout élément de
surface est parallèle au champ local. Ainsi
EdA E dA
. Le
flux total à travers une surface de Gauss fermée est :
2
4
E
EdA EdA E r

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D’après la loi de Coulomb :
2
Q
E k
r
et
0
1
4
k , la charge enfermée s’écrit (par rapport au
flux total) :
0
enf E
Q
Le flux traversant une surface de Gauss fermée dépend de la charge qu’elle enferme.
3.3. Méthode de résolution: Théorème de Gauss
Sous la forme intégrale, le théorème de Gauss est utile pour déterminer un champ
électrostatique à condition que la distribution de charges soit suffisamment symétrique pour
que l'intégration soit simple. Lorsqu'on choisit une surface de Gauss, il est bon d'avoir à l'esprit
les trois points suivants.
1. Utiliser la symétrie de la distribution de charges pour déterminer la configuration des lignes
de champ.
2. Choisir une surface de Gauss pour laquelle
E
est soit parallèle, soit perpendiculaire à
dA
.
3. Si
E
est parallèle à
dA
, l'intensité Edoit être constante sur cette partie de la surface.
L'intégrale se réduit alors à une somme sur les éléments de surface.
Exemples :
1. Une sphère creuse de rayon Rporte une charge Quniformément répartie sur sa
surface. Trouver le champ à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère.
2. Une droite infinie chargée porte une densité linéaire de charge égale à
C m
.
Déterminer le champ à une distance rde la droite.
3. Déterminer le champ créé par une feuille plane infinie chargée de densité superficielle
de charge égale à
2
C m

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3.4. Exercices
1. Soit une plaque circulaire de rayon
12 cm. Son plan fait un angle de
30° avec un champ uniforme
E = 4507 N/C (figure). Quel est le
flux traversant la plaque ?
2. Soit un champ électrique uniforme
Eparallèle à l'axe central d'un
hémisphère de rayon R (figure).
Quel est le flux traversant
l'hémisphère ?
3. Soit deux charges, 16
q C
et
28
q C
à l'intérieur d'une
surface sphérique de rayon 5cm.
Quel est le flux total traversant la
surface?
4. Le flux à travers chaque face d'une
surface de Gauss cubique d'arête
10 cm est égal à
2
4
3 10
Nm
C
. Quelle
est la charge nette à l'intérieur ?
5. Un conducteur sphérique de rayon
8cm a une densité superficielle de
charge uniforme égale à
2
0,1
nC
m
.
Déterminez le champ électrique: (a)
sur la surface; (b) à une distance de
10 cm du centre.
6. Soit deux feuilles chargées, infinies
et parallèles, ayant une même
densité superficielle de charge égale
à
2
C
m
. Quel est le champ (a) dans
la région comprise entre les feuilles,
et (b) dans les régions non
comprises entre les feuilles ?
7. On considère le long câble coaxial
linéaire de la figure. Le conducteur
intérieur de rayon a aune densité
superficielle de charge
1
et
l'enveloppe extérieure cylindrique
de rayon b aune densité
superficielle de charge
2
. Trouvez
la relation entre
1
et
2
pour que
le champ soit nul à l'extérieur du
câble, c'est-à-dire pour r > b.