espaces vectoriels euclidiens. groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal
ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS. GROUPE ORTHOGONAL
1
Produit scalaire
1.1 Définition
On appelle espace euclidien tout couple ( E , φ) , où E est un espace vectoriel réel de dimension finie
et φ une forme bilinéaire symétrique sur E définie positive :
∀x ∈ E , φ x : E → E
est linéaire.
(i)
x 6 φ( x, y )
(ii) ∀x, y ∈ E , φ( x, y ) = φ( y, x) .
(iii) ∀x ∈ E , φ( x, x) ≥ 0 et φ( x, x) = 0 ⇔ x = 0 .
Dans toute la suite, E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N * .
Notation : On note souvent (x y ) au lieu de φ( x, y ) .
1.2 Inégalité de Schwarz
∀x, y ∈ E , (x y ) ≤ x × y . Il y a égalité si et seulement si la famille ( x, y ) est liée.
Démonstration
2
Soit f : R → R la fonction définie par t 6 tx + y .
∀t ∈ R, f (t ) ≥ 0 .
Or, f (t ) = (t x + y t x + y ) = x t 2 + 2 (x y )t + y .
2
2
donc ∆ ≤ 0 , c'est-à-dire 4(x y ) − 4 x
donc (x y ) ≤ x
2
2
y
2
y ≤0
2
2
donc (x y ) ≤ x y .
• Suppososns ( x, y ) liée.
Si x = 0 , l'égalité est évidente,
sinon, il existe t ∈ R, y = t x . Alors (x y ) = (x tx ) = t x
2
et x y = x t x = t x .
2
• Supposons qu'il y ait égalité.
Alors ∆ = 0 et la fonction polynomiale f du second degré admet une racine double t 0 . Donc
f (t 0 ) = 0 , c'est-à-dire t 0 x + y = 0 , soit t 0 x + y = 0 (car . est une norme). ( x, y ) est donc une
famille liée.
2
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1.3 Inégalité de Minkowski
∀x, y ∈ E , x + y ≤ x + y . Il y a égalité si et seulement si x = 0 ou y = 0 ou y = λ x avec λ ≥ 0 .
Démonstration
2
x + y = (x + y x + y )
= x + 2(x y ) + y
2
2
≤ x + 2 (x y ) + y
2
≤ x +2 x y + y
2
donc x + y ≤ ( x + y
2
2
2
(application de l'inégalité de Schwarz)
) , d'où le résultat (croissance de la fonction raciné carrée).
2
s'il y a égalité, alors (x y ) = x y donc ( x, y ) est une famille liée (c'est la cas d'égalité de
•
Schwarz).
2
Alors x = 0 ou y = 0 ou ∃t ∈ R * , y = tx . Dans ce dernier cas, (x y ) = t x . Or (x y ) ≥ 0 donc
t=
(x y ) ≥ 0 .
x
•
2
si x = 0 ou y = 0 l'égalité est évidente et
x + y = (1 + λ ) y = (1 + λ ) y et x + y = (1 + λ ) y .
si
x=λy
avec
λ ≥0,
on
a
1.4 Théorème et définition (norme euclidienne)
L'application . : E → R définie par x 6
(x x )
est une norme sur E. Cette norme est appelée
norme euclidienne.
Démonstration
• Soit x ∈ E . x =
x = 0 ⇔ (x x ) = 0
⇔ x=0
•
(x x ) ≥ 0
Soient x ∈ E , λ ∈ R .
λ x = (λ x λ x )
2
= λ2 (x x )
= λ2 x
2
donc λ x = λ2 x
•
2
=λ x .
l'inégalité triangulaire est l'inégalité de Minkowski.
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1.5 Identités de polarisation
∀x, y ∈ E , on a :
1
2
2
x+ y − x− y
(i) (x y ) =
4
1
2
2
2
(ii) (x y ) =
x+ y − x − y
2
1
2
2
2
x + y − x− y
(iii) (x y ) =
2
(
(
(
Démonstration
1
2
(i)
x+ y − x− y
4
(
)
)
)
2
) = 14 ((x + y x + y ) − (x − y x − y ))
1
= ( x + 2(x y ) + y − x + 2(x y ) − y )
4
2
2
2
2
= (x y )
(ii) et (iii) de démontrent de la même manière.
2
Orthogonalité
2.1 Théorème et définitions (éléments orthogonaux, orthogonal d'une partie)
(i) Soient x, y ∈ E . On dit que x et y sont orthogonaux si (x y ) = 0 . on note alors x⊥y .
(ii) Soit A une partie non vide de E. On appelle orthogonal de A, noté A⊥ , l'ensemble
A ⊥ = x ∈ E ∀y ∈ A, (x y ) = 0 . C'est un sous espace vectoriel de E.
{
}
(iii) Soient A et B deux parties non vides de E. On dit que A et B sont orthogonales si :
∀( x, y ) ∈ A × B, (x y ) = 0 . On note alors A⊥B .
Démonstration
(ii) A ⊥ ≠ O/ car 0 appartient à cet ensemble.
Soient x1 , x2 ∈ A ⊥ , α, β ∈ R .
Soit y ∈ A .
(α x1 + β x2 y ) = α (x1 y ) + β (x2 y )
= α × 0 + β× 0
=0
⊥
A est donc un sous espace vectoriel de E.
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2.2 Proposition
Soient A et B deux parties non vides de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) A et B sont orthogonales
(ii) A ⊂ B ⊥
(iii) B ⊂ A ⊥
Démonstration
(i ) ⇒ (ii )
Soit x ∈ A . ∀y ∈ B, (x y ) = 0 donc x ∈ B ⊥ et donc A ⊂ B ⊥ .
(ii ) ⇒ (iii )
Soit x ∈ B . ∀y ∈ A, (x y ) = 0 donc x ∈ A ⊥ et donc B ⊂ A ⊥ .
(iii ) ⇒ (i )
Soit ( x, y ) ∈ A × B . y ∈ B donc y ∈ A ⊥ donc (x y ) = 0 et donc A et B sont orthogonales.
2.3 Proposition
Soient A et B deux parties non vides de E telles que A ⊂ B . Alors B ⊥ ⊂ A ⊥ .
Démonstration
Soit x ∈ B ⊥ .
Soit y ∈ A . A ⊂ B donc y ∈ B donc (x y ) = 0 .
Donc ∀y ∈ A, (x y ) = 0 donc x ∈ A ⊥ et donc B ⊥ ⊂ A ⊥ .
2.4 Théorème
Soient F et G deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E ( E = F ⊕ G ). Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) F et g sont des sous espaces orthogonaux
(ii) G = F ⊥
(iii) F = G ⊥
Démonstration
(i ) ⇒ (ii ) :
• G ⊂ F ⊥ : déjà montré
• Soit x ∈ F ⊥ .
∃!( x1 , x2 ) ∈ F × G, x = x1 + x2 . (x x1 ) = 0 et (x2 x1 ) = (x1 x2 ) = 0 .
x1 = (x1 x1 )
2
= (x − x2 x1 )
= (x x1 ) − (x2 x1 )
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= 0−0
=0
Donc x1 = 0 et donc x = x2 ∈ G
donc F ⊥ ⊂ G
Donc F ⊥ = G .
(ii ) ⇒ (i ) :
Supposons que G = F ⊥ .
Soit ( x, y ) ∈ F × G . y ∈ G donc y ∈ F ⊥ donc (x y ) = 0 donc F et G sont orthogonales.
Conséquence : Si F est un sous espace vectoriel de E, F ⊥ ⊥ = F .
En effet, on a E = F ⊕ F ⊥ . F ⊥ est un sous espace vectoriel de E donc on a aussi E = F ⊥ ⊕ F ⊥ ⊥ .
On prend G = F ⊥ et on applique le théorème précédent, ce qui donne F ⊥ ⊥ = F .
2.5 Théorème
Soit F un sous espace vectoriel de E. Alors E = F ⊕ F ⊥ .
Démonstration
Si F = {0} ou si F = E , le résultat est évident.
Sinon : F ∩ F ⊥ = {0} :
Soit x ∈ F ∩ F ⊥ . x ∈ F et x ∈ F ⊥ donc (x x ) = 0 donc x = 0 .
Soit (e1 ,..., e p ) une base de F ( p = dim(F ) ).
(
(
))
Soit u : E → R p définie par x 6 (x e1 ),..., x e p . u est clairement linéaire de E dans R p (linéarité
du produit scalaire).
Soit x ∈ Ker (u ) . u ( x) = (0,...,0) donc :
∀i ∈ N p , (x ei ) = 0
donc x ∈ F ⊥
donc Ker (u ) ⊂ F ⊥ .
Réciproquement, si x ∈ F ⊥ , alors u ( x) = 0 (vérification immédiate). Donc Ker (u ) = F ⊥ .
D'après le théorème du rang, dim( F ⊥ ) + dim(Im(u )) = n .
Comme Im(u ) ⊂ R p , dim(Im(u )) ≤ p et donc dim( F ⊥ ) ≥ n − p .
dim( F + F ⊥ ) ≤ n .
dim( F + F ⊥ )dim( F ) + dim( F ⊥ ) − dim( F ∩ F ⊥ ) . Comme F ∩ F ⊥ = {0}, on en déduit que
dim( F + F ⊥ )dim( F ) + dim( F ⊥ ) .
dim( F ⊥ ) = dim( F + F ⊥ ) − dim( F )
donc dim( F ⊥ ) ≤ n − p .
Donc dim( F ⊥ ) = n − p .
•
On a donc F ∩ F ⊥ = {0} et dim( F ) + dim( F ⊥ ) = dim( E ) donc E = F ⊕ F ⊥ .
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2.6 Théorème
Un espace euclidien admet une base orthonormale, c'est-à-dire que si E est un espace euclidien de
dimension n, alors il existe une base e = (e1 ,..., en ) de E vérifiant : ∀i, j ∈ N n , ei e j = δ i j .
(
)
Démonstration
Par récurrence sur la dimension de E.
Notons P(n) la propriété : "si E est un espace euclidien de dimension n ∈ N * , alors E admet une
base orthonormale".
• n = 1 : Soit E un espace euclidien de dimension 1.
⎛ x ⎞
Soit x ∈ E , x ≠ 0 . ⎜⎜ ⎟⎟ est une base orthonormale de E.
⎝ x ⎠
•
Soit n ∈ N * . Supposons P(n) vraie. Soit E un espace euclidien de dimension n + 1 .
x
Soit x ∈ E , x ≠ 0 . Soit en+1 =
. Soit F = vect (en+1 ) . D'après le théorème précédent, E = F ⊕ F ⊥ .
x
F ⊥ est un espace euclidien et dim( F ⊥ ) = dim( E ) − dim( F ) = n .
F admet donc un ebase orthonormale (e1 ,..., e p ) (hypothèse de récurrence). (e1 ,..., en+1 ) est une base
orthonormale de E donc P(n+1) est vraie.
•
Donc ∀n ∈ N * , P(n) est vraie.
2.7 Théorème de Pythagore
Soit ( xi )1≤i≤ p une famille d'éléments de E qui est orthogonale (c'est-à-dire si i, j ∈ N p avec i ≠ j ,
(
)
alors xi x j = 0 ). Alors
p
∑ xi
i =1
2
p
= ∑ xi
2
.
i =1
Démonstration
Par récurrence sur p.
p
Notons P(p) la propriété : "si ( xi )1≤i ≤ p est une framille orthogonale de E, alors
∑ xi
i =1
2
p
= ∑ xi
2
".
i =1
• n=1 : évident
• n=2 :
Soient x1 , x2 ∈ E tels que (x1 x2 ) = 0 .
Alors x1 + x2
2
= (x1 + x2 x1 + x2 )
= (x1 x1 ) + 2(x1 x2 ) + (x2 x2 )
= x1 + x2
donc P(2) est vraie.
2
2
• soit p ∈ N , p ≥ 2 . Supposons P(p) vraie.
Soit ( xi )1≤i≤ p +1 une famille orthogonale de E.
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2
p +1
∑x
i =1
i
=
∑x
i =1
=
2
p
i
+ x p +1
2
p
∑ xi
i =1
p
= ∑ xi
2
= ∑ xi
2
i =1
p +1
+ x p +1
2
+ x p +1
2
⎛
(d'après P(2), car ⎜⎜ x p +1
⎝
⎞
p
∑ x ⎟⎟ = 0 )
i =1
i
⎠
(hypothèse de récurrence)
i =1
donc P(p+1) est vraie.
• Donc ∀p ∈ N * , P(p) est vraie.
3
Groupe orthogonal
E désigne toujours un espace euclidien de dimension n ∈ N * .
3.1 Définition : endomorphisme orthogonal
Soit u un endomorphisme orthogonal de E. On dit que u est un endomorphisme orthogonal si u
conserve le produit scalaire, c'est-à-dire si : ∀x, y ∈ E , (u ( x) u ( y ) ) = (x y ) .
3.2 Théorème (caractérisation d'un endomorphisme orthogonal
Un endomorphisme u de E est orthogonal si et seulement si il conserve la norme, c'est-à-dire si et
seulement si : ∀x ∈ E , u ( x) = x .
Démonstration
• Supposons u orthogonal.
Soit x ∈ E .
2
u ( x) = (u ( x) u ( x) )
= (x x ) (car u conserve le produit scalaire)
= x
2
Donc u ( x) = x .
• Supposons que u conserve la norme.
Soient x, y ∈ E .
(u( x) u( y)) = 1 u( x) + u( y) 2 − u( x) 2 − u( y)
2
(
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2
)
(identité de polarisation)
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(
(
)
1
2
2
2
u ( x + y ) − u ( x) − u ( y )
(linéarité de u)
2
1
2
2
2
(u conserve la norme)
=
x+ y − x − y
2
= (x y ) (identité de polarisation)
=
)
u est donc un endomorphisme orthogonal.
3.3 Corollaire
Tout endomorphisme orthogonal de E est un automorphisme.
Démonstration
Soit u un endomorphisme de E.
Soit x ∈ Ker (u ) .
u ( x) = 0 donc u ( x) = 0
donc x = 0 (car u conserve la norme)
donc x = 0
Donc Ker (u ) = {0} donc u est injective donc u est bijective car E est de dimension finie.
3.4 Théorème et définition (groupe orthogonal)
L'ensemble des endomorphismes orthogonaux d'un espace euclidien E est un sous groupe du groupe
linéaire GL( E ) , appelé groupe orthogonal de E et noté O( E ) .
Démonstration
Notons O( E ) l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
• O( E ) ≠ O/ car id E ∈ O(E ) .
• Soient u, v ∈ O( E ) .
Soit x ∈ E .
u D v( x) = v( x) (car u ∈ O( E ) )
= x
(car v ∈ O( E ) )
Donc u D v ∈ O( E ) .
• Soit u ∈ O( E ) .
u est bijective de E dans E. Soit x ∈ E . ∃! y ∈ E , u ( y ) = x .
u D u −1 ( x ) = x .
Or, u D u −1 ( x) = u −1 ( x) (car u ∈ O( E ) ) donc u −1 ( x) = x . Donc u −1 ∈ O( E ) .
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3.5 Théorème
Un endomorphisme u de E est orthogonal si et seulement si l'image d'une base orthonormale de E
par u est une base orthonormale de E.
démonstration
• Supposons u orthogonal.
Soit e = (e1 ,..., en ) une base orthonormale de E. Alors ∀i, j ∈ N n , ei e j = δ i j .
(
)
(
)
u conserve le produit scalaire donc : ∀i, j ∈ N n , u (ei ) u (e j ) = δ i j .
(u (e1 ),..., u (en )) est une base de E car cette famille est l'image d'une base de E par une application
bijective de E dans E. (u (e1 ),..., u (en )) est donc une base orthonormale de E.
• Supposons que l'image par u d'une base orthonormale de E est une base orthonormale de E.
Soit e = (e1 ,..., en ) une base orthonormale de E telle que l'image de cette base par u soit une base
orthonormale de E.
n
Soit x ∈ E . ∃!( xi )1≤i≤n ∈ R n , x = ∑ xi ei .
i =1
⎛
⎞
2
u ( x) = u ⎜ ∑ xi ei ⎟
⎝ i =1
⎠
n
=
n
∑ x u (e )
i =1
n
i
2
(linéarité de u)
i
= ∑ xi u (ei )
i =1
n
2
2
(théorème de Pythagore car ( xi u (ei ))1≤i≤n est une famille orthogonale)
= ∑ xi2 (car les u (ei ) sont de norme 1)
i =1
= x
u conserve la norme donc u est un endomorphisme orthogonal.
2
3.6 Théorème (cas où la dimension de E est 2)
Soit E un espace euclidien de dimension 2. Soit u un endomorphisme orthogonal de E. Alors il
⎛ cos(θ) − sin(θ) ⎞
⎟⎟ ou
existe une base orthonormale e de E et un réel θ tels que mat (u; e) = ⎜⎜
⎝ sin(θ) cos(θ) ⎠
⎛ cos(θ) sin(θ) ⎞
⎟⎟ .
mat (u; e) = ⎜⎜
⎝ sin(θ) − cos(θ) ⎠
Démonstration
Soit e = (e1 , e2 ) une base orthonormale de E telle que (u (e1 ), u (e2 ) ) soit une base orthonormale de E.
⎛a c ⎞
⎟⎟ .
Notons mat (u; e) = ⎜⎜
⎝b d ⎠
u (e1 ) = ae1 + be2
u (e2 ) = ce1 + de2
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(u (e ) u (e )) = 1 donc a + b = 1 .
(u (e ) u (e )) = 1 donc c + d = 1 .
(u (e ) u (e )) = 0 donc ac + bd = 0 .
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
a + b = 1 donc il existe un réel θ tel que a = cos(θ) et b = sin(θ) .
c 2 + d 2 = 1 donc il existe un réel θ ' tel que c = cos(θ ' ) et d = sin(θ ' ) .
ac + bd = 0 donc cos(θ) cos(θ ' ) + sin(θ) sin(θ ' ) = 0
donc cos(θ '−θ) = 0
π
donc θ '−θ = [π]
2
π
⎧
⎪⎪θ ' = θ + 2 [2π]
donc ⎨
, ce qui donne les deux formes de matrices annoncées.
⎪θ ' = θ − π [2π]
⎪⎩
2
2
2
3.7 Proposition
Un endomorphisme u de E est orthogonal si et seulement si sa matrice A dans une base
orthonormale vérifie : t AA = I n .
démonstration
Soit e une base orthonormale de E et A = mat (u; e) .
• si u est un endomorphisme orthogonal :
∀x, y ∈ E , (u ( x) u ( y ) ) = (x y ) donc ∀X , Y ∈ M n1 ( R ), t ( AX ) AY = t XY , c'est-à-dire t X tAAY = t XY .
Donc t AA = I n .
• Supposons que t AA = I n
Soient x, y ∈ E , X = mat ( x; e), Y = mat ( y; e) .
(u ( x) u ( y))= t ( AX ) AY
= t X tAAY
= t XI nY
= t XY
= (x y )
donc u est un endomorphisme orthogonal.
3.8 Corollaire
Si u est un endomorphisme orthogonal, alors det(u ) = 1 .
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Démonstration
Soit e une base orthonormale de E, A = mat (u; e) . On a donc t AA = I n . Donc det( t AA) = 1 .
Or, det( t AA) = det( t A) × det( A)
= det( A) 2 (car det( t A) = det( A) )
donc det( A) 2 = 1 .
Comme det(u ) = det( A) , on a donc le résultat annoncé.
3.9 Définitions
(i) On note O + (E ) ou SO(E ) l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1.
(ii) On note O − (E ) l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de déterminant − 1 .
3.10 Proposition et définition (groupe spécial orthogonal)
SO( E ) est un sous groupe de O( E ) , appelé groupe spécial orthogonal.
Démonstration
• SO( E ) ⊂ O( E )
• SO( E ) ≠ O/ car id E ∈ SO (E )
• Soient u, v ∈ SO( E )
u D v ∈ O( E ) et det(u D v) = det(u ) × det(v)
= 1× 1
=1
donc u D v ∈ SO( E ) .
Soit u ∈ SO( E ) . u −1 ∈ O( E ) .
1
det(u −1 ) =
det(u )
= 1 (car det(u ) = 1 )
−1
Donc u ∈ SO( E ) .
•
3.11 Lemme
Pour tout endomorphisme orthogonal u de E, il existe un sous espace vectoriel de E de dimension 1
ou 2 invariant par u.
démonstration
• si u admet une valeur propre λ :
Soit x un vecteur propre associé λ . x ≠ 0 et u ( x) = λ x .
Donc u ( x) = λ x .
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Or u ( x) = x car u est orthogonal donc λ x = x donc λ = 1 et donc λ ∈ {− 1,1}.
Rx est un sous espace vectoriel de E, de dimension 1 et invariant par u : en effet u ( Rx) ⊂ Rx et
dim(u ( Rx)) = dim( Rx) donc u ( Rx) = Rx .
• si u n'admet pas de valeur propre :
Soit v = u + u −1
• v est un endomorphisme symétrique
soient x, y ∈ E .
(v( x) y ) = (u ( x) + u −1 ( x) y )
(
= (u ( x) y ) + u −1 ( x) y
)
∃! z1 ∈ E , y = u ( z1 )
∃! z 2 ∈ E , y = u −1 ( z 2 )
donc (v( x) y ) = (u ( x) u ( z1 ) ) + (u −1 ( x) z 2 )
= (x z1 ) + (x z 2 ) (car u, u −1 ∈ O( E ) )
(
)
= x u −1 ( y ) + (x u ( y ) )
= (x v ( y ) )
• v étant un endomorphisme symétrique, v admet au moins une valeur propre réelle λ
(voir chapitre endomorphismes symétriques)
Soit x un vecteur propre associé à la valeur propre λ : v( x) = λ x donc u ( x) = λ x − u −1 ( x) .
Soit F = vect ( x, u ( x)) .
( x, u ( x)) est libre sinon u admettrait une valeur propre donc dim( F ) = 2 .
Soit y ∈ F . ∃ α, β ∈ R, y = α x + β u ( x) .
u ( y ) = α u ( x) + βu (u ( x)) (linéarité de u)
= α u ( x) + β u (λ x − u −1 ( x))
= α u ( x) + β λ u ( x) − β x
donc u ( y ) ∈ F donc u ( F ) ⊂ F .
u est bijective donc dim(u ( F )) = 2 et donc u ( F ) = F .
3.12 Théorème
Un endomorphisme u de E est orthogonal si et seulement si E est somme directe orthogonale d'une
famille ( E k )1≤ k ≤ m de sous espaces vectoriels de E tels que pour tout k ∈ N m , Ek est de dimension 1
ou 2, invariant par u, l'application induite u k ( u k : Ek → Ek ) étant l'identité ou son opposée si
dim( Ek ) = 1 , une rottion autre que l'identité ou son opposée si dim( Ek ) = 2 .
démonstration
• La condition est suffisante :
on suppose qu'une telle famille ( Ek )1≤k ≤m existe. Il existe alors une base e = (e1 ,..., en ) de E telle
que :
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⎛Ip
⎞
⎜
⎟
⎜ %
⎟
⎜
⎟
Iq
⎜
⎟ , I et I étant des matrices unités d'ordres p et q, S étant de la
mat (u; e) =
q
θi
⎜
⎟ p
S θ1
⎜
⎟
%
⎜
⎟
⎜
⎟
S θn ⎠
⎝
⎛ cos(θ i ) − sin(θ i ) ⎞
⎟⎟ .
forme : ⎜⎜
⎝ sin(θ i ) cos(θ i ) ⎠
∀i, j ∈ N n , i ≠ j , u (ei ) u (e j ) = 0 .
(
∀i ∈ N n , (u (ei ) u (ei ) ) = 1 .
)
(u (e1 ),..., u (en ) )
est donc une famille orthonormale à n éléments dans un espace de dimension n,
c'est donc une base orthonormale de E.
L'image par u d'une base orthonormalee de E est une base orthonormale de E donc u est un
endomorphisme orthogonal.
• La condition est nécessaire :
Soit u ∈ O(E ) . D'après le lemme précédent, il existe un sous espace E1 de E de dimension 1 ou 2,
invariant par u tel que l'endomorphisme u1 induit par u sur E1 vérifie la condition du théorème.
Démonstration par récurrence sur la dimension de E.
Notons P(n) la propriété : "Si E est un espace euclidien de dimension n et si u est un
endomorphisme orthogonal de E, alors E est somme directe orthogonale d'une famille ( Ek )1≤k ≤m de
sous espaces vectoriels de E tels que pour tout k ∈ N m , Ek est de dimension 1 ou 2, invariant par u,
l'application induite u k ( u k : Ek → E k ) étant l'identité ou son opposée si dim( Ek ) = 1 , une rottion
autre que l'identité ou son opposée si dim( Ek ) = 2 ".
• n = 1 : soit u ∈ O( E ) , E étant un espace euclidien de dimension 1.
Alors u = id E ou u = −id E . P(1) est donc vraie.
• n = 2 : soit u ∈ O(E ) , E étant un espace euclidien de dimension 2.
ou bien u = id E
ou bien u = −id E
⎛1 0 ⎞
⎟⎟
ou bien u ∈ O − ( E ) et il existe une base orthonormale de e telle que mat (u; e) = ⎜⎜
⎝ 0 − 1⎠
ou bien u ∈ O + ( E ) − {id E , − id E } et il existe une base orthonormale de E telle que
⎛ cos(θ) − sin(θ) ⎞
⎟⎟ , avec θ ≠ 0[π] .
mat (u; e) = ⎜⎜
⎝ sin(θ) cos(θ) ⎠
Donc P(2) est vraie.
• Soit n ∈ N , n ≥ 2 . Supposons P(k) vraie pour k ∈ N , 1 ≤ k ≤ n .
Soit E un espace euclidien de dimension n + 1 . D'après le lemme précédent, il existe un sous espace
vectoriel E1 de E invariant par u. L'endomorphisme u1 induit par u sur E1 vérifie la condition
imposée à u k dans l'énoncé du théorème.
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Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal
E1⊥ est stable par u :
Soit x ∈ E1⊥ . Soit y ∈ E1 . (u ( x) u ( y ) ) = (x y ) = 0 donc u ( x) ∈ u ( E1 ) ⊥ . Or u ( E1 ) ⊂ E1 et u est
bijective donc u ( E1 ) = E1 et donc u ( x) ∈ E1⊥ donc u ( E1⊥ ) ⊂ E1⊥ donc E1⊥ est stable par u.
u ∈ O( E1⊥ ) , E1⊥ étant un espace euclidien de dimension inférieure ou égale à n. On applique alors
l'hypothèse de récurrence :
E1⊥ est somme directe d'une famille ( Ek ) 2≤k ≤m de sous espaces de E1⊥ vérifiant la condition du
théorème. ( Ek )1≤k ≤m est donc une famille de sous espaces de E telle que :
Pour tout k ∈ N m , Ek est de dimension 1 ou 2 ;
E=
⊥
⊕E
k∈N m
k
;
L'application induite u k par u sur Ek est l'identité ou son opposée si dim( Ek ) = 1 , une rotation autre
que l'identité ou son opposée si dim( Ek ) = 2 .
Donc P(n+1) est vraie.
•
Donc pour tout n ∈ N * , P(n) est vraie.
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