espaces vectoriels euclidiens. groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal
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E
ES SP PA AC CE ES S V VE EC CT TO OR RI IE EL LS S E EU UC CL LI ID DI IE EN NS S. . G GR RO OU UP PE E O OR RT TH HO OG GO ON NA AL L
1 Produit scalaire
1.1 Définition
On appelle espace euclidien tout couple ),(
φ
E, où E est un espace vectoriel réel de dimension finie
et φ une forme bilinéaire symétrique sur E définie positive :
(i) ),(
:,
yxx
EEEx x
φ
→φ∈∀
6 est linéaire.
(ii) ),(),(,, xyyxEyx φ=φ∈∀ .
(iii) 0),(, ≥φ∈∀ xxEx et 00),(
=
⇔=φ xxx .
Dans toute la suite, E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension * Nn∈.
Notation : On note souvent
()
yx au lieu de ),( yx
φ
.
1.2 Inégalité de Schwarz
()
yxyxEyx ×≤∈∀ ,, . Il y a égalité si et seulement si la famille ),( yx est liée.
Démonstration
Soit RRf →: la fonction définie par 2 ytxt +6.
0)(, ≥∈∀ tfRt .
Or,
()()
2
2
22)( ytyxtxyxtyxttf ++=++= .
donc 0≤∆ , c'est-à-dire
(
)
044 22 ≤− yxyx
donc
()
222 yxyx ≤
donc
()
yxyx ≤.
• Suppososns ),( yx liée.
Si 0=x, l'égalité est évidente,
sinon, il existe xtyRt =∈ ,. Alors
()
(
)
2
xttxxyx == et 2
xtxtxyx == .
• Supposons qu'il y ait égalité.
Alors 0=∆ et la fonction polynomiale f du second degré admet une racine double 0
t. Donc
0)( 0=tf , c'est-à-dire 0
2
0=+ yxt , soit 0
0
=
+
yxt (car . est une norme). ),( yx est donc une
famille liée.

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1.3 Inégalité de Minkowski
+≤+∈∀ xyxEyx ,, y. Il y a égalité si et seulement si 0
=
x ou 0
=
y ou xy λ= avec 0≥
λ
.
Démonstration
()
yxyxyx ++=+ 2
()
22 2yyxx ++=
()
22 2yyxx ++≤
22 2yyxx ++≤ (application de l'inégalité de Schwarz)
donc
()
22 yxyx +≤+ , d'où le résultat (croissance de la fonction raciné carrée).
• s'il y a égalité, alors
(
)
yxyx = donc ),( yx est une famille liée (c'est la cas d'égalité de
Schwarz).
Alors 0=x ou 0=y ou txyRt =∈∃ ,
*. Dans ce dernier cas,
(
)
2
xtyx =. Or
()
0≥yx donc
(
)
0
2≥= x
yx
t.
• si 0=x ou 0
=
y l'égalité est évidente et si yx
λ
=
avec 0≥λ , on a
yyyx )1()1( λ+=λ+=+ et yyx )1( λ+=+ .
1.4 Théorème et définition (norme euclidienne)
L'application RE →:. définie par
(
)
xxx 6 est une norme sur E. Cette norme est appelée
norme euclidienne.
Démonstration
• Soit Ex∈.
()
0≥= xxx
()
00 =⇔= xxx
0=⇔ x
• Soient REx ∈λ∈ ,.
()
xxx λλ=λ 2
()
xx
2
λ=
2
2xλ=
donc xxx λ=λ=λ 2
2.
• l'inégalité triangulaire est l'inégalité de Minkowski.

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1.5 Identités de polarisation
Eyx ∈∀ ,, on a :
(i)
()
()
22
4
1yxyxyx −−+=
(ii)
()
()
222
2
1yxyxyx −−+=
(iii)
()
()
222
2
1yxyxyx −−+=
Démonstration
(i)
()
()()()
yxyxyxyxyxyx −−−++=−−+ 4
1
4
122
() ()
()
2222 22
4
1yyxxyyxx −+−++=
()
yx=
(ii) et (iii) de démontrent de la même manière.
2 Orthogonalité
2.1 Théorème et définitions (éléments orthogonaux, orthogonal d'une partie)
(i) Soient Eyx ∈, . On dit que x et y sont orthogonaux si
(
)
0=yx . on note alors yx⊥.
(ii) Soit A une partie non vide de E. On appelle orthogonal de A, noté ⊥
A, l'ensemble
()
{
}
0, =∈∀∈=
⊥yxAyExA . C'est un sous espace vectoriel de E.
(iii) Soient A et B deux parties non vides de E. On dit que A et B sont orthogonales si :
()
0,),( =×∈∀ yxBAyx . On note alors
B
A
⊥
.
Démonstration
(ii) OA /≠
⊥ car 0 appartient à cet ensemble.
Soient RAxx ∈βα∈ ⊥,,, 21 .
Soit Ay∈.
()()()
yxyxyxx 2121 β+α=β+α
00
×
β+×α=
0=
⊥
A est donc un sous espace vectoriel de E.

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2.2 Proposition
Soient A et B deux parties non vides de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) A et B sont orthogonales
(ii) ⊥
⊂
B
A
(iii) ⊥
⊂A
B
Démonstration
)()( iii ⇒
Soit Ax∈.
()
0, =∈∀ yxBy donc ⊥ ∈Bx et donc ⊥ ⊂
B
A.
)()( iiiii ⇒
Soit Bx∈.
()
0, =∈∀ yxAy donc ⊥ ∈Ax et donc ⊥ ⊂A
B
.
)()( iiii ⇒
Soit BAyx ×∈),(. By∈ donc ⊥
∈Ay donc
(
)
0=yx et donc A et B sont orthogonales.
2.3 Proposition
Soient A et B deux parties non vides de E telles que
B
A⊂. Alors ⊥⊥ ⊂A
B
.
Démonstration
Soit ⊥ ∈Bx .
Soit Ay∈.
B
A
⊂ donc By∈ donc ()
0=yx .
Donc
()
0, =∈∀ yxAy donc ⊥
∈Ax et donc ⊥⊥ ⊂A
B
.
2.4 Théorème
Soient F et G deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E ( GFE ⊕
=
). Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) F et g sont des sous espaces orthogonaux
(ii) ⊥
=FG
(iii) ⊥
=GF
Démonstration
)()( iii ⇒ :
• ⊥ ⊂FG : déjà montré
• Soit ⊥ ∈Fx .
2121 ,),(! xxxGFxx
+
=×∈∃ .
()
0
1=xx et
(
)
12 xx
(
)
0
21 == xx .
()
11
2
1xxx =
()
12 xxx −=
()()
121 xxxx −=

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00−=
0=
Donc 0
1=x et donc Gxx ∈= 2
donc GF ⊂
⊥
Donc GF =
⊥.
)()( iii ⇒ :
Supposons que ⊥
=FG .
Soit GFyx ×∈),(. Gy∈ donc ⊥
∈Fy donc
(
)
0=yx donc F et G sont orthogonales.
Conséquence : Si F est un sous espace vectoriel de E, FF
=
⊥⊥ .
En effet, on a ⊥
⊕= FFE . ⊥
F est un sous espace vectoriel de E donc on a aussi ⊥⊥⊥ ⊕= FFE .
On prend ⊥
=FG et on applique le théorème précédent, ce qui donne FF
=
⊥⊥ .
2.5 Théorème
Soit F un sous espace vectoriel de E. Alors ⊥ ⊕= FFE .
Démonstration
Si
{}
0=F ou si
E
F=, le résultat est évident.
Sinon :
{}
0=∩ ⊥ FF :
Soit ⊥
∩∈ FFx . Fx∈ et ⊥ ∈Fx donc
(
)
0=xx donc 0
=
x.
Soit ),...,( 1p
ee une base de F ( )(Fdimp =).
Soit p
REu →: définie par
()
(
)
(
)
p
exexx ,...,
1
6. u est clairement linéaire de E dans p
R
(linéarité
du produit scalaire).
Soit )(uKerx∈. )0,...,0()( =xu donc :
()
0, =∈∀ ip exNi
donc ⊥
∈Fx
donc ⊥
⊂FuKer )(.
Réciproquement, si ⊥
∈Fx , alors 0)(
=
xu (vérification immédiate). Donc ⊥ =FuKer )(.
D'après le théorème du rang, nudimFdim =+
⊥))(Im()(.
Comme p
Ru ⊂)Im( , pudim ≤))(Im( et donc pnFdim −≥
⊥)(.
nFFdim ≤+ ⊥)(.
)()()()( ⊥⊥⊥ ∩−++ FFdimFdimFdimFFdim . Comme
{
}
0=∩ ⊥ FF , on en déduit que
)()()( ⊥⊥ ++ FdimFdimFFdim .
)()()( FdimFFdimFdim −+= ⊥⊥
donc pnFdim −≤
⊥)(.
Donc pnFdim −=
⊥)(.
• On a donc
{
}
0=∩ ⊥ FF et )()()( EdimFdimFdim =+ ⊥ donc ⊥
⊕= FFE .