Cinématique en repères cylindrique et sphérique

Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques)
Définition :
z
H
M
uz
O
ur
x
v
uθ
θ
y
m
u
vitesse de M :
Oxyz : repère cartésien orthonormé direct
M : point quelconque
m : projeté orthogonal de M sur le plan Oxy
H : projeté orthogonal de M sur Oz
Ou : axe Om
ur : unitaire sur Ou
uθ : unitaire directement orthogonal à ur dans
Oxy
u z : unitaire sur Oz
r = distance Om
θ = angle(Ox,Ou )
z
= OH
OM = r ur + z u z
d OM
dur
v (M) =
= rɺ ur + r
+ zɺ u z
dt
dt
du
or ur est en rotation autour de Oz à la vitesse angulaire θɺ , d’où r = θɺ u z × ur = θɺ uθ , puis
dt
ɺ
v (M) = rɺ ur + r θ uθ + zɺ u z
accélération de M :
d v (M)
dur
d
u
θ
a (M) =
= ɺɺ
r ur + rɺ
+ rɺ θɺ uθ + r ɺɺ
θ uθ + r θɺ
+ ɺɺ
z uz
dt
dt
dt
du
or uθ est en rotation autour de Oz à la vitesse angulaire θɺ , d’où θ = θɺ u z × uθ = −θɺ ur ,
dt
puis
a (M) = ɺɺ
r − r θɺ 2 ur + 2rɺ θɺ + r ɺɺ
θ uθ + ɺɺ
z uz
(
déplacement élémentaire :
d OM = v ( M ) dt , d’où
)
(
d OM = dr ur + rd θ uθ + dz u z
surface élémentaire sur le cylindre d’axe Oz :
dS = rd θ dz
volume élémentaire :
)
d τ = rdr d θ dz
Coordonnées sphériques
Définition :
z
Z
H
M
θ
ur x
O
uθ
v
uϕ
y
m
ϕ
u
Oxyz : repère cartésien orthonormé direct
M : point quelconque
m : projeté orthogonal de M sur le plan Oxy
Ou : axe Om
OZ : axe OM
ur : unitaire sur OZ
uθ : unitaire directement orthogonal à ur dans
OzZ
uϕ : unitaire tel que (ur , uθ , uϕ ) soit orthogonal
direct
r = distance OM
θ = angle(Oz ,OZ )
ϕ = angle(Ox,Ou )
OM = r ur
d OM
dur
vitesse de M :
v (M) =
= rɺ ur + r
dt
dt
or ur est en rotation autour de Oz à la vitesse angulaire ϕɺ , et en rotation autour de uϕ à la
dur
ɺ
vitesse angulaire θ , d’où
= θɺ uϕ + ϕɺ u z × ur = θɺ uθ + ϕɺ sin θ uϕ , puis
dt
v (M) = rɺ ur + r θɺ uθ + r sin θϕɺ uϕ
(
déplacement élémentaire :
d OM = v ( M ) dt , d’où
)
d OM = dr ur + rd θ uθ + r sin θ d ϕ uϕ
surface élémentaire sur la sphère de centre O :
dS = r 2 sin θ d θ d ϕ
volume élémentaire :
d τ = r 2 sin θ dr d θ d ϕ