2NDE - Colegio Francia

T.S Contrôle de mathématiques Mercredi 2 mai 2001
(1h30) Calcul vectoriel
I Soient P et Q, deux plans de l'espace connus par leurs équations cartésiennes :
P : 2x – 3y + z – 4 = 0
Q : 2x + y – z + 1 = 0
A est le point de coordonnées (-3 ; 1 ; -1)
R désigne le plan contenant A et orthogonal à P et à Q.
1. Montrer que P et Q ne sont pas parallèles.
2. Déterminer un vecteur directeur de la droite , intersection de P et Q (justifier le raisonnement)
3. Déterminer une équation cartésienne de R.
II On considère, dans un repère orthonormé d'origine O, les points suivants :
A(2;-1;0) , B(1;-1;1) et C(1;0;0).
1. Montrer que A , B et C ne sont pas alignés.
2. Donner une équation cartésienne du plan P, passant par A, B et C.
3. Calculer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de O sur P.
4. Calculer le volume du tétraèdre OABC
5. Donner une équation de la sphère S de centre O et tangente au plan P.
III Soient A , B et C, trois points de l'espace, non alignés.
Montrer que, pour tout point M de l'espace, le vecteur
 MAMCMCMBMBMA
est normal au
plan (ABC).
IV Soit ABC, un triangle non aplati de l'espace.
On note
CBA ˆ ,
ˆ
,
ˆ
respectivement les trois angles géométriques issus des sommets A , B et C.
1. Montrer l'égalité suivante :
 CBCABABCACAB
2. En déduire, si l'on désigne par a, b et c les longueurs respectives des côtés [BC], [AC], et [AB], que
)
ˆ
sin(
)
ˆ
sin(
)
ˆ
sin( C
c
B
b
A
a
Comment se nomme ce dernier théorème?
V ABC désigne un triangle, A' le milieu de [BC] et I le milieu de [AA'].
On pose : f(M) = MB2 + MC2 – 2MA2 et g(M) = 2MA2 + MB2 + MC2 .
1. Montrer que f(M) =
 '.4
22 AAMAACAB
2. Montrer que g(M) = g(I) + 4MI2
3. Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) = AB2 + AC2
4. Déterminer l'ensemble des points M tels que g(M) = 2g(I)