T.S Contrôle de mathématiques (1h30) Mercredi 2 mai 2001 Calcul vectoriel I Soient P et Q, deux plans de l'espace connus par leurs équations cartésiennes : P : 2x – 3y + z – 4 = 0 Q : 2x + y – z + 1 = 0 A est le point de coordonnées (-3 ; 1 ; -1) R désigne le plan contenant A et orthogonal à P et à Q. 1. Montrer que P et Q ne sont pas parallèles. 2. Déterminer un vecteur directeur de la droite , intersection de P et Q (justifier le raisonnement) 3. Déterminer une équation cartésienne de R. II On considère, dans un repère orthonormé d'origine O, les points suivants : A(2;-1;0) , B(1;-1;1) et C(1;0;0). 1. Montrer que A , B et C ne sont pas alignés. 2. Donner une équation cartésienne du plan P, passant par A, B et C. 3. Calculer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de O sur P. 4. Calculer le volume du tétraèdre OABC 5. Donner une équation de la sphère S de centre O et tangente au plan P. III Soient A , B et C, trois points de l'espace, non alignés. Montrer que, pour tout point M de l'espace, le vecteur MA MB MB MC MC MA est normal au plan (ABC). IV Soit ABC, un triangle non aplati de l'espace. On note Aˆ , Bˆ , Cˆ respectivement les trois angles géométriques issus des sommets A , B et C. 1. Montrer l'égalité suivante : AB AC BC BA CA CB 2. En déduire, si l'on désigne par a, b et c les longueurs respectives des côtés [BC], [AC], et [AB], que a b c sin( Aˆ ) sin( Bˆ ) sin( Cˆ ) Comment se nomme ce dernier théorème? V ABC désigne un triangle, A' le milieu de [BC] et I le milieu de [AA']. On pose : f(M) = MB2 + MC2 – 2MA2 et g(M) = 2MA2 + MB2 + MC2 . 1. Montrer que f(M) = AB 2 AC 2 4 MA . AA' 2. Montrer que g(M) = g(I) + 4MI2 3. Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) = AB2 + AC2 4. Déterminer l'ensemble des points M tels que g(M) = 2g(I)