CCP 2002

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Enoncés
CCP 2002
Exercice 5
1
[ 02590 ]
[correction]
I) Etudier la convergence de la série
Exercice 1 [ 02586 ] [correction]
I) Soit B = (e1 , . . . , en ) une base orthonormale d’un espace vectoriel E de
dimension n. On note P la matrice de u, endomorphisme, dans B.
Montrer que u est orthogonal ⇔ t P P = In ⇔ P est inversibleR et t P = P −1 .
+∞
II) Soit f : [0, +∞[ → R décroissante et continue et telle que 0 f (x)dx
converge.
a) Montrer que f est positive et que f tend vers 0 en +∞.
N
NP
−1
R Nh
P
b) ∀h > 0, montrer que h
f (nh) 6 0 f (x)dx 6 h
f (nh).
n=1
n=0
c) Montrer que la série de terme général f (nh) converge puis que
+∞
R +∞
P
f (nh) ∼ h1 0 f (x)dx quand h → 0+ .
n=0
Exercice 2
I) Calcul de
[ 02587 ] [correction]
+∞
P n2 +3n+1
.
2n
n=0
II) Dessiner ρ = a(1 + cos θ)
Exercice 3 [ 02588 ] [correction]
I) Soient E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.
a) Montrer que E = A ⊕ A⊥ (indice : on admettra que toute famille orthonormale
de E peut être complétée en une base orthonormale de E.
b) Montrer que A⊥⊥ = A.
II) On considère l’équation différentielle
Exercice 4 [ 02589 ] [correction]
I) Soit B ∈ Mn (C) vérifiant ∀k ∈ [[1, n]], tr(B k ) = 0.
a) Montrer que si B est triangulaire alors B est nilpotente.
b) Généraliser à B quelconque.
II) Montrer que f (x) = cos x ln(tan x) est sommable sur ]0, π/2[.
R π/2
R π/2
Calculer 0 f (x)dx (on calculera d’abord 0 cos x ln(sin x)dx).
n
ln 1 + sin (−1)
, α > 0.
α
n
II) Soit α1 , . . . , αn des réels et A la matrice de coefficient général
ai,j = sin(αi + αj ).
Montrer que det A = 0.
Exercice 6 [ 02591 ] [correction]
I) Soit A et B deux parties d’un espace vectoriel normé E, et
C = {x + y/x ∈ A, y ∈ B}.
a) On suppose A et B compactes ; montrer que C est compacte.
b) On suppose A compacte et B fermée ; montrer que C est fermée.
II) Soit A ∈ Mn (C) admettant n valeurs propres distinctes.
Exhiber une base du commutant de A et trouver sa dimension.
Exercice 7 [ 02592 ] [correction]
I) Enoncer les principales propriétés du groupe Sn ; montrer que son centre est
réduit à {Id} pour n > 3.
II) a) Trouver une relation de récurrence concernant la suite d’intégrales
R π/4
In = 0 tann xdx.
1
b) Montrer que In ∼ 2n
en +∞.
Exercice 8 [ 02593 ] [correction]
I) Trouver les solutions développables en séries entières de l’équation différentielle
2xy 00 + y 0 − y = 0
(E) : t2 y 00 (t) + 4ty 0 (t) + (2 − t2 )y(t) − 1 = 0
a) Montrer qu’il existe une seule fonction f définie sur R décomposable en série
entière solution de E.
b) Montrer que g(t) = −1/t2 est solution de (E).
c) Quel est l’ensemble des fonction réelles définies sur R solutions de (E) ?
P
II) Dans un espace vectoriel de dimension finie n, trouver un endomorphisme f
tels que ker f = Imf .
Exercice 9
I) Calculer
[ 02594 ]
[correction]
lim
x→0
sh(sin x) − sin(shx)
tan(thx) − th(tan x)
Indication : on pourra faire des développements limités à l’ordre 7.
II) Soit G un groupe multiplicatif non vide de Mn (R) d’élément neutre E.
Montrer que tous les éléments de G sont de même rang.
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
I) La dernière équivalence provient du théorème d’inversibilité des matrices
carrées.
u est orthogonal ⇔ ∀x, y ∈ E, (u(x) | u(y)) = (x | y).
Or (u(x) | u(y)) = (u? (u(x)) | y) donc u est orthogonal
⇔ ∀x, y ∈ E, (u? (u(x)) − x | y) = 0.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc u est orthogonal
⇔ ∀x ∈ E, u? ◦ u(x) = x.
Or t P P est la matrice de u? ◦ u donc u est orthogonal si, et seulement si,
t
P P = In .
II) a) f admet une limite en +∞ car elle est décroissante. Cette limite ne peut
être infinie ou finie non nulle donc f tend vers 0 en +∞ et puisqu’elle est
décroissante elle est positive.
R (n+1)h
b) f étant décroissante, hf ((n + 1)h) 6 nh
f (t)dt 6 hf (nh). Il suffit de
sommer pour n ∈ {0, . . . , N − 1}.
N
R Nh
R +∞
P
P
c)
f (nh) 6 h1 0 f (x)dx 6 h1 0 f (x)dx et f (nh) > 0 donc
f (nh)
n=1
converge.
En passant à la limite quand N → +∞ l’encadrement du b) :
+∞
+∞
R +∞
P
P
h
f (nh) 6 0 f (x)dx 6 h
f (nh)
n=1
donc
n=0
R +∞
0
f (x)dx 6 h
+∞
P
f (nh) 6
R +∞
n=0
A la limite quand h → 0 : h
+∞
P
f (x)dx + hf (0).
f (nh) →
n=0
Exercice 2 : [énoncé]
+∞
P 2
(n + 3n + 1)xn =
I) On évalue
n=0
0
R +∞
0
x2 −2x−1
(x−1)3
f (x)dx.
en x = 12 . On obtient 14.
II) C’est une cardioïde.
Exercice 3 : [énoncé]
I) a) Posons n = dim E, p = dim A.
Soit (e1 , . . . , ep ) une base orthonormale de A que l’on complète en (e1 , . . . , en )
base orthonormale de E.
x ∈ A⊥ ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , p} , (ei | x) = 0
2
donc A⊥ = Vect(ep+1 , . . . , en ) puis E = A ⊕ A⊥ .
b) On a dim A⊥ = n − dim A et donc dim A⊥⊥ = dim A.
II) a) On parvient à
+∞
X
t2p
y(t) =
(2p + 2)!
p=0
de rayon de convergence R = +∞.
En d’autres termes
y(t) =
ch(t) − 1
t2
prolongée par continuité en 0.
b) calculs.
+?
et R−? .
c) t 7→ cht
t2 est solution de l’équation homogène E0 sur R
cht
00
0
y(t) = t2 z(t) injectée dans E0 donne ch(t)z (t) + 2sh(t)z (t) = 0, z 0 (t) =
puis z = Cth(t) + D.
La solution générale de E0 est
y(t) =
C
ch2 (t)
Csht + Dcht
t2
sur R+? et R−? .
La solution générale de E est
y(t) =
Csht + Dcht cht − 1
+
t2
t2
sur R+? et R−? .
Par étude de recollement en 0, la seule solution sur R est la solution initiale.
Exercice 4 : [énoncé]
I) a) Posons λ1 , . . . , λn les coefficients diagonaux de B. L’hypothèse ∀k ∈ [[1, n]],
tr(B k ) = 0 donne ∀k ∈ [[1, n]] , λk1 + · · · + λkn = 0. Supposons qu’il existe des λi non
nuls et regroupons ceux qui sont égaux entre eux de sorte que
{λ1 , . . . , λn } \ {0} = {µ1 , . . . , µp } avec les µj deux à deux distincts. En notant αj
le nombre d’occurrences de µj dans la liste λ1 , . . . , λn , on obtient les équations
α1 µk1 + · · · + αp µkp = 0 pour tout k ∈ {1, . . . , p}. On peutalors percevoir

 µ1 x1 + · · · + µp xp = 0
···
(α1 , . . . , αp ) comme étant solution non nulle du système
.
µp1 x1 + · · · + µpp xp = 0
Or ce système est de Cramer car son déterminant est non nul (µi 6= 0 et µi 6= µj )
et sa seule solution est (0, . . . , 0). Absurde. On en déduit que tous les λi sont nuls
et que B est triangulaire supérieure stricte donc nilpotente.


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Corrections
b) Sur Mn (C), toute matrice est semblables à une matrice triangulaire
supérieure.
√
II) En π/2, on peut prolonger par continuité, en 0, on observe xf (x) → 0.
R π/2
R1
R π/2
cos x ln(sin x)dx = −1 et 0 cos(x) ln(cos x)dx = 21 0 ln(1 − u2 )du =
0
R1 u
1
2 1
2 −(1 − u) ln(1 − u ) 0 − 0 1+u du = ln 2 − 1.
R π/2
Finalement 0 cos x ln(tan x)dx = − ln 2.
Exercice 5 : [énoncé]
I) On a
1
(−1)n
1
(−1)n
− 2α + o
=
ln 1 + sin
nα
nα
2n
n2α
P 1
P (−1)n
1
converge par le critère spécial et
nα
2n2α + o n2α converge si, et
seulement si, α > 1/2.
II) sin(αi + αj ) = sin(αi ) cos(αj ) + sin(αj ) cos(αi ) donne






sin(α1 + αj )
sin(α1 )
cos(α1 )





..
.. 
..

 = cos(αj ) 



.
.  + sin(αj ) 
.




sin(αn + αj )
sin(αn )
cos(αn )
et donc la matrice A = (ai,j ) est de rang inférieur à 2. Ainsi, si n > 3, det A = 0.
Pour n = 1, det A = sin(2α1 ) et pour n = 2,
det A = sin(2α1 ) sin(2α2 ) − sin2 (α1 + α2 ). Ces quantités ne sont pas toujours
nulles.
Exercice 6 : [énoncé]
I) a) Soit (zn ) ∈ C N . zn = xn + yn avec (xn ) ∈ AN et (yn ) ∈ B N . A est compact
donc on peut extraire de (xn ) une suite convergeant dans A : (xϕ(n) ). Or B est
compact, donc on peut extraire de (yϕ(n) ) une suite convergeant dans B :
(yϕ(ψ(n)) ). La suite (zϕ(ψ(n)) ) converge alors dans C.
b) On suppose que (zn ) ∈ C N converge vers z. On peut écrire zn = xn + yn avec
(xn ) ∈ AN et (yn ) ∈ B N . A est compact donc on peut extraire de (xn ) une suite
convergent dans A : xϕ(n) → x ∈ A. La suite (yϕ(n) ) converge alors vers b = z − a
et b ∈ B car B est fermé. Ainsi z = a + b ∈ C.
II) Il existe P inversible tel que P −1 AP = D avec D matrice diagonale à
coefficients diagonaux distinctes. Une matrice B commute avec A si, et seulement
si, P −1 BP commute avec D. Or seules les matrices diagonales commutent avec D
donc les matrices commutant avec A sont les P −1 ∆P avec ∆ = diag(λ1 , . . . , λn ).
On obtient une base du commutant de A avec les ∆i = P −1 Ei,i P et on en déduit
que le commutant de A est de dimension n.
3
Exercice 7 : [énoncé]
I) Cf. cours.
Soit σ ∈ Sn , autre que
Id. Il existe i 6= j tel que σ(i) = j.
Posons τ = j k avec k 6= i, j. (τ ◦ σ)(i) = k et (σ ◦ τ )(i) = j donc σ
n’appartient pas au centre de Sn .
R π/4
1
II) a) In + In+2 = 0 (1 + tan2 x) tann xdx = n+1
.
b) Aisément (In ) est décroissante donc In + In+2 6 2In 6 In−2 + In et cela
1
permet de conclure : In ∼ 2n
.
Exercice 8 : [énoncé]
I) On obtient
y(x) = a0
+∞
X
2n n
x
(2n!)
n=0
II) Si n est impair, un tel endomorphisme
ne peut exister. Si n = 2p, un
O Ip
endomorphisme de matrice
convient.
O O
Exercice 9 : [énoncé]
I) On obtient 1/2.
II) Pour tout M ∈ G, M E = M donne
rg(M ) 6 rg(E)
D’autre part, en notant N l’inverse de M dans G, E = M N donne
rg(E) 6 rg(M )
Ainsi tous les éléments de G ont même rang que E.
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