CCP 2002

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CCP 2002
Exercice 1 [ 02586 ] [correction]
I) Soit B= (e1, . . . , en)une base orthonormale d’un espace vectoriel Ede
dimension n. On note Pla matrice de u, endomorphisme, dans B.
Montrer que uest orthogonal ⇔tP P =In⇔Pest inversible et tP=P−1.
II) Soit f: [0,+∞[→Rdécroissante et continue et telle que R+∞
0f(x)dx
converge.
a) Montrer que fest positive et que ftend vers 0 en +∞.
b) ∀h > 0, montrer que h
N
P
n=1
f(nh)6RNh
0f(x)dx6h
N−1
P
n=0
f(nh).
c) Montrer que la série de terme général f(nh)converge puis que
+∞
P
n=0
f(nh)∼1
hR+∞
0f(x)dxquand h→0+.
Exercice 2 [ 02587 ] [correction]
I) Calcul de
+∞
P
n=0
n2+3n+1
2n.
II) Dessiner ρ=a(1 + cos θ)
Exercice 3 [ 02588 ] [correction]
I) Soient Eun espace euclidien et Aun sous-espace vectoriel de E.
a) Montrer que E=A⊕A⊥(indice : on admettra que toute famille orthonormale
de Epeut être complétée en une base orthonormale de E.
b) Montrer que A⊥⊥ =A.
II) On considère l’équation différentielle
(E) : t2y00(t)+4ty0(t) + (2 −t2)y(t)−1=0
a) Montrer qu’il existe une seule fonction fdéfinie sur Rdécomposable en série
entière solution de E.
b) Montrer que g(t) = −1/t2est solution de (E).
c) Quel est l’ensemble des fonction réelles définies sur Rsolutions de (E)?
Exercice 4 [ 02589 ] [correction]
I) Soit B∈ Mn(C)vérifiant ∀k∈[[1, n]], tr(Bk)=0.
a) Montrer que si Best triangulaire alors Best nilpotente.
b) Généraliser à Bquelconque.
II) Montrer que f(x) = cos xln(tan x)est sommable sur ]0, π/2[.
Calculer Rπ/2
0f(x)dx(on calculera d’abord Rπ/2 0cos xln(sin x)dx).
Exercice 5 [ 02590 ] [correction]
I) Etudier la convergence de la série Pln 1 + sin (−1)n
nα,α > 0.
II) Soit α1, . . . , αndes réels et Ala matrice de coefficient général
ai,j = sin(αi+αj).
Montrer que det A= 0.
Exercice 6 [ 02591 ] [correction]
I) Soit Aet Bdeux parties d’un espace vectoriel normé E, et
C={x+y/x ∈A, y ∈B}.
a) On suppose Aet Bcompactes ; montrer que Cest compacte.
b) On suppose Acompacte et Bfermée ; montrer que Cest fermée.
II) Soit A∈ Mn(C)admettant nvaleurs propres distinctes.
Exhiber une base du commutant de Aet trouver sa dimension.
Exercice 7 [ 02592 ] [correction]
I) Enoncer les principales propriétés du groupe Sn; montrer que son centre est
réduit à {Id}pour n>3.
II) a) Trouver une relation de récurrence concernant la suite d’intégrales
In=Rπ/4
0tannxdx.
b) Montrer que In∼1
2nen +∞.
Exercice 8 [ 02593 ] [correction]
I) Trouver les solutions développables en séries entières de l’équation différentielle
2xy00 +y0−y= 0
II) Dans un espace vectoriel de dimension finie n, trouver un endomorphisme f
tels que ker f=Imf.
Exercice 9 [ 02594 ] [correction]
I) Calculer
lim
x→0
sh(sin x)−sin(shx)
tan(thx)−th(tan x)
Indication : on pourra faire des développements limités à l’ordre 7.
II) Soit Gun groupe multiplicatif non vide de Mn(R)d’élément neutre E.
Montrer que tous les éléments de Gsont de même rang.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
I) La dernière équivalence provient du théorème d’inversibilité des matrices
carrées.
uest orthogonal ⇔ ∀x, y ∈E, (u(x)|u(y)) = (x|y).
Or (u(x)|u(y)) = (u?(u(x)) |y)donc uest orthogonal
⇔ ∀x, y ∈E, (u?(u(x)) −x|y)=0.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc uest orthogonal
⇔ ∀x∈E, u?◦u(x) = x.
Or tP P est la matrice de u?◦udonc uest orthogonal si, et seulement si,
tP P =In.
II) a) fadmet une limite en +∞car elle est décroissante. Cette limite ne peut
être infinie ou finie non nulle donc ftend vers 0 en +∞et puisqu’elle est
décroissante elle est positive.
b) fétant décroissante, hf((n+ 1)h)6R(n+1)h
nh f(t)dt6hf(nh). Il suffit de
sommer pour n∈ {0, . . . , N −1}.
c)
N
P
n=1
f(nh)61
hRNh
0f(x)dx61
hR+∞
0f(x)dxet f(nh)>0donc Pf(nh)
converge.
En passant à la limite quand N→+∞l’encadrement du b) :
h
+∞
P
n=1
f(nh)6R+∞
0f(x)dx6h
+∞
P
n=0
f(nh)
donc R+∞
0f(x)dx6h
+∞
P
n=0
f(nh)6R+∞
0f(x)dx+hf(0).
A la limite quand h→0:h
+∞
P
n=0
f(nh)→R+∞
0f(x)dx.
Exercice 2 : [énoncé]
I) On évalue
+∞
P
n=0
(n2+ 3n+ 1)xn=x2−2x−1
(x−1)3en x=1 2. On obtient 14.
II) C’est une cardioïde.
Exercice 3 : [énoncé]
I) a) Posons n= dim E,p= dim A.
Soit (e1, . . . , ep)une base orthonormale de Aque l’on complète en (e1, . . . , en)
base orthonormale de E.
x∈A⊥⇔ ∀i∈ {1, . . . , p},(ei|x)=0
donc A⊥=Vect(ep+1, . . . , en)puis E=A⊕A⊥.
b) On a dim A⊥=n−dim Aet donc dim A⊥⊥ = dim A.
II) a) On parvient à
y(t) =
+∞
X
p=0
t2p
(2p+ 2)!
de rayon de convergence R= +∞.
En d’autres termes
y(t) = ch(t)−1
t2
prolongée par continuité en 0.
b) calculs.
c) t7→ cht
t2est solution de l’équation homogène E0sur R+?et R−?.
y(t) = cht
t2z(t)injectée dans E0donne ch(t)z00(t)+2sh(t)z0(t)=0,z0(t) = C
ch2(t)
puis z=Cth(t) + D.
La solution générale de E0est
y(t) = Csht+Dcht
t2
sur R+?et R−?.
La solution générale de Eest
y(t) = Csht+Dcht
t2+cht−1 t2
sur R+?et R−?.
Par étude de recollement en 0, la seule solution sur Rest la solution initiale.
Exercice 4 : [énoncé]
I) a) Posons λ1, . . . , λnles coefficients diagonaux de B. L’hypothèse ∀k∈[[1, n]],
tr(Bk)=0donne ∀k∈[[1, n]] , λk
1+···+λk
n= 0. Supposons qu’il existe des λinon
nuls et regroupons ceux qui sont égaux entre eux de sorte que
{λ1, . . . , λn}\{0}={µ1, . . . , µp}avec les µjdeux à deux distincts. En notant αj
le nombre d’occurrences de µjdans la liste λ1, . . . , λn, on obtient les équations
α1µk
1+··· +αpµk
p= 0 pour tout k∈ {1, . . . , p}. On peut alors percevoir
(α1, . . . , αp)comme étant solution non nulle du système 
µ1x1+··· +µpxp= 0
···
µp
1x1+··· +µp
pxp= 0
.
Or ce système est de Cramer car son déterminant est non nul (µi6= 0 et µi6=µj)
et sa seule solution est (0,...,0). Absurde. On en déduit que tous les λisont nuls
et que Best triangulaire supérieure stricte donc nilpotente.
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b) Sur Mn(C), toute matrice est semblables à une matrice triangulaire supérieure.
II) En π/2, on peut prolonger par continuité, en 0, on observe √xf(x)→0.
Rπ/2
0cos xln(sin x)dx=−1et Rπ/2 0cos(x) ln(cos x)dx=1
2R1
0ln(1 −u2)du=
1
2−(1 −u) ln(1 −u2)1
0−R1
0
u
1+udu= ln 2 −1.
Finalement Rπ/2
0cos xln(tan x)dx=−ln 2.
Exercice 5 : [énoncé]
I) On a
ln 1 + sin (−1)n
nα=(−1)n nα−1 2n2α+o1 n2α
P(−1)n
nαconverge par le critère spécial et P1 2n2α+o1 n2αconverge si, et
seulement si, α > 1/2.
II) sin(αi+αj) = sin(αi) cos(αj) + sin(αj) cos(αi)donne
sin(α1+αj)
.
.
.
sin(αn+αj)
= cos(αj)
sin(α1)
.
.
.
sin(αn)
+ sin(αj)
cos(α1)
.
.
.
cos(αn)
et donc la matrice A= (ai,j )est de rang inférieur à 2. Ainsi, si n>3,det A= 0.
Pour n= 1,det A= sin(2α1)et pour n= 2,
det A= sin(2α1) sin(2α2)−sin2(α1+α2). Ces quantités ne sont pas toujours
nulles.
Exercice 6 : [énoncé]
I) a) Soit (zn)∈CN.zn=xn+ynavec (xn)∈ANet (yn)∈BN.Aest compact
donc on peut extraire de (xn)une suite convergeant dans A:(xϕ(n)). Or Best
compact, donc on peut extraire de (yϕ(n))une suite convergeant dans B:
(yϕ(ψ(n))). La suite (zϕ(ψ(n)))converge alors dans C.
b) On suppose que (zn)∈CNconverge vers z. On peut écrire zn=xn+ynavec
(xn)∈ANet (yn)∈BN.Aest compact donc on peut extraire de (xn)une suite
convergent dans A:xϕ(n)→x∈A. La suite (yϕ(n))converge alors vers b=z−a
et b∈Bcar Best fermé. Ainsi z=a+b∈C.
II) Il existe Pinversible tel que P−1AP =Davec Dmatrice diagonale à
coefficients diagonaux distinctes. Une matrice Bcommute avec Asi, et seulement
si, P−1BP commute avec D. Or seules les matrices diagonales commutent avec D
donc les matrices commutant avec Asont les P−1∆Pavec ∆ = diag(λ1, . . . , λn).
On obtient une base du commutant de Aavec les ∆i=P−1Ei,iPet on en déduit
que le commutant de Aest de dimension n.
Exercice 7 : [énoncé]
I) Cf. cours.
Soit σ∈Sn, autre que Id. Il existe i6=jtel que σ(i) = j.
Posons τ=j k avec k6=i, j.(τ◦σ)(i) = ket (σ◦τ)(i) = jdonc σ
n’appartient pas au centre de Sn.
II) a) In+In+2 =Rπ/4
0(1 + tan2x) tannxdx=1
n+1 .
b) Aisément (In)est décroissante donc In+In+2 62In6In−2+Inet cela
permet de conclure : In∼1
2n.
Exercice 8 : [énoncé]
I) On obtient
y(x) = a0
+∞
X
n=0
2n
(2n!)xn
II) Si nest impair, un tel endomorphisme ne peut exister. Si n= 2p, un
endomorphisme de matrice O Ip
O O convient.
Exercice 9 : [énoncé]
I) On obtient 1/2.
II) Pour tout M∈G,ME =Mdonne
rg(M)6rg(E)
D’autre part, en notant Nl’inverse de Mdans G,E=MN donne
rg(E)6rg(M)
Ainsi tous les éléments de Gont même rang que E.
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