Synthèse des modèles

Formation des enseignants
• Tableau des
Analogies
•Analogie mécanique de la
résistance
uR
F
dq
dt
dx
dt
Frottement visqueux
Analogie mécanique de l’inductance
d 2q
uL 2
dt
1 dq 
E m ET223
 L
;
2
2 dt 
2
d 2x
F m 2
dt
domaine
Effort
Flux
Déplace
ment
électrique
Tension
(V)
Courant
(A)
Charge
(q)
Méca
translation
force
(N)
Vitesse
(m/s)
déplace
ment
(m)
Méca
rotation
Couple
(Nm)
Vitesse
(rd/s)
Angle
(rd)
Hydrauliqu
e
Pression
(P)
Débit Vol
(m3/s)
Volume
(m3)
Analogie mécanique capacité
u
1 dx 
Ec  m
2 dt 2
1
q;
C
F  k .x( force
de
2
E es 
11 2
q ;
2C
Ep 
1 2
kx
2
rappel )
Formation des enseignants
» LIAISON SYSTEME/MODELE
x(t)
•Équation
différentielle
X(p)
entrée
Y(p)
•Fonction de
transfert
F ( p)
ET223
y(t)
sortie
Formation des enseignants
• Système Intégrateur pur

• Équation différentielle
dy
 k . x (t )
dt
x

y
• Équation de la sortie
t
y  k. x(t )dt
0
La sortie y(t) est proportionnelle à l’intégrale de l’entrée x(t)
ET223
Formation des enseignants
Modèle intégrateur pur
Fonction de transfert
 G( p) 
Réponse indicielle
X(t)=échelon d’amplitude E
X ( p) 
E
KE
 Y ( p)  2
p
p
y (t )  KE.t
ET223
table
Y ( p) K

X ( p) p
Formation des enseignants
Intégrateur pur
Diagramme de BODE
Module:
G ( j )  20 log
Phase
arg( G ( j ))  
ET223

2
K

Formation des enseignants
Modèle Premier ordre

• Équation différentielle
• Système Premier Ordre
x
•
premier ordre
y
dy
y   .  G0 .x
dt
• Avec:
 : cons tan te
G0 : Gain
ET223
de
Statique
temps
Formation des enseignants
modèle premier ordre
Fonction de transfert
 G ( p) 
G0
Y ( p)

X ( p) 1   . p
Réponse indicielle
X(t)=échelon d’amplitude E
X ( p) 
G0 E
E
 Y ( p) 
p
p(1   . p)

table
t
y (t )  G0 E.(1  e  )
Tangente à l’origine
GE
Y  0 .t

Temps de réponse(à 5%):
ET223
 tr (5%)  3
Formation des enseignants
modèle premier ordre
G ( j ) 
G0

1 j
0
avec
0 
1
Diagramme de BODE

Module:
G( j )  20 log
G0
1  
Phase
arg( G ( j ))  arctg ( )
ET223
2
2 
Formation des enseignants
modèle premier ordre
• Identification
– Détermination de G0 et 
• Partant de l’enregistrement de la réponse indicielle:
– mesurer la valeur finale et en déduire G0
– Mesurer le temps de réponse(temps pour lequel on obtient les
0,95 de la valeur finale) et en déduire 
• Partant de l’enregistrement du diagramme de BODE
– Mesurer le gain statique en dB(soit 20log(G0) ), en déduire G0
– Mesurer la pulsation de coupure(pulsation pour laquelle on
obtient une diminution du gain en basse fréquence de -3dB) et
en déduire 
ET223
Formation des enseignants
Modèle Second ordre

• Équation différentielle
• Système Second Ordre
x
•
Second ordre
y
d2y
dy
2

2
m

.


0
0 y  G0 . x
2
dt
dt
• Avec:
m : coefficient
d ' amortissement
 0 : pulsation
propre
G0 : Gain
ET223
Statique
Formation des enseignants
modèle second ordre
Y ( p)
 G ( p) 

X ( p)
Fonction de transfert
G0
G0 02
 2
2m
p2
p  2m 0 p  02
1
p 2
0
Réponse indicielle:
Second ordre résonnant: m<1
X(t)=échelon d’amplitude E
X ( p) 
E
 Y ( p) 
p
G0 E
2m
p2
p(1 
.p  2 )
0
table



1
y (t )  G0 E.1 
e  m0t . sin(  0 1  m 2 .t   )
1  m2


• Pôles
p1 ; p 2  m 0  j 0 (1  m 2 )
ET223
0
Formation des enseignants
modèle second ordre
 G ( j ) 
Fonction de transfert
Diagramme de BODE:
Second ordre résonnant: m<1
Module:G0E=1
2
2
   2  

G( j )  20 log 1      2m 
  0    0 
• PHASE

 2m 

0
Arg (G ( j ))   arctg 
2
  
 1   
ET223
  0 







Y ( j )

X ( j )
G0
 
1  2m j
 0
 
  
  0



2
Formation des enseignants
modèle second ordre
Fonction de transfert
G0
Y ( p)
 G ( p) 

X ( p) 1   1 p 1   2 p 
Réponse indicielle:
Second ordre apériodique: m>1
X(t)=échelon d’amplitude E
X ( p) 
G0 E
E
 Y ( p) 
p
p(1   1 p)(1   2 p)
table
t
t

 

1

2
y(t )  G0 E.1 
e 1 
e 2 
 2 1
  1   2

• Pôles
p1  
ET223
1
1
;
p2  
1
2
Formation des enseignants
modèle second ordre
Fonction de transfert
 G ( j ) 
G0
Y ( j )
1
1

; avec : 1  et 2 
X ( j ) 
1
2
 
 
1  j 1  j

1 
2 

Diagramme de BODE:
Second ordre apériodique: m>1
Module:G0E=1
G( j)  20 log (1   12 2 )(1   22 2 )
• PHASE
Arg (G( j))  arctg( 1)  arctg( 2)
ET223
Formation des enseignants
modèle second ordre
 G ( p) 
Fonction de transfert
Réponse indicielle:
Second ordre apériodique: m=1
X(t)=échelon d’amplitude E
X ( p) 
G0 E
E
 Y ( p) 
p
p(1   p ) 2
table
t
 
t   
y (t )  G0 E.1  1  e 
   
• Pôles
1
p1   ;
ET223

p2  
1

G0
Y ( p)

X ( p) 1   p 2
Formation des enseignants
modèle second ordre
Fonction de transfert
 G ( j ) 
Diagramme de BODE:
Second ordre apériodique: m=1
Module:G0E=1

G( j)  20 log 1   2 2

• PHASE
Arg (G ( j ))  2arctg (  )
ET223
G0
Y ( j )
1

; avec : 1 
2
X ( j ) 


1  j 
1 

Formation des enseignants
modèle second ordre
• Identification( cas m<1)
– Détermination de G0 ,m,0
• Partant de l’enregistrement de la réponse indicielle:
– mesurer la valeur finale et en déduire G0
– Mesurer le dépassement »D »(rapport entre le premier maxima
et la valeur finale) et en déduire le coefficient d’amortissement
»m »tel que:
De

m
1 m 2
– mesurer la pseudo période Tp ,et en déduire 0, sachant que :
2
0 
Tp 1  m 2
ET223
Formation des enseignants
Fonction
Transf.
LAPLACE
Échelon unité
1
p
Rampe unité
1
p2
1 e
1

e


t
1
p (1  p )

1
1  p
t

t
t


1

 1 e   2 e  2 )
1
1  2

t
1
p1   1 p 1   2 p 
t


1
t  ( 1   2 ) 
 22 e  2   12 e 1 )
1  2


1
y (t )  1 
e  m0t . sin(  0 1  m 2 .t   )
1  m2


t
 
t   
ET223 y(t )  1  1   e 
1
p 1   1 p 1   2 p 
2
1
 2m
p2
p1 
p 2
0
 0
1
p1   1 p 
2




retour
Formation des enseignants
•
Retard pur
– Origine physique:
• Capteur fournissant l’information
du processus avec un retard à
cause de son emplacement
x(t)
capteur
y(t )  x(t  T )  Y ( p)  X ( p).e Tp
Fonction de transfert (associée
à un premier ordre)
ET223
 G ( p) 
G0
e Tp
1   . p 
Formation des enseignants
• Approximations de PADE
– Approximations de exp(-Tp) par une fraction rationnelle
Approximation premier ordre
e Tp
T
p 2T 2 p 3T 3
2

 1  pT 

 ....
T
2
4
1 p
2
ET223
1 p