MATH 5108 Réalisé par GHADA YOUNES Centre L’Escale 2010 1 Les fonctions Trigonométriques ( 2 de 4) Les graphiques Rôle des paramètres a, b, h et k dans l'équation canonique: f(x) = a sin b (x-h) +k 3 La fonction de base sinus: f (x) = sin x 4 Graphique sin x 1 a=1 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π x -1 Période: p = 2π 5 Rôle du paramètre a a>0: modifie l'amplitude de la fonction a<0: un a négatif produit une réflexion par rapport à l'axe des “x” 6 a>1 sinx f(x) = 1,5 sinx 1,5 1 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π x -1 -1,5 7 0<a<1 sin x f(x) = 0,5 sinx 1 0,5 x -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π -0,5 3π/2 2π -1 8 a<0 ex: a = -1,5 sin x f(x) = -1,5 sinx 1,5 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π x -1,5 g(x) = 1,5 sinx 9 Rôle du paramètre b 1 - Modifie la période de la fonction 2 - Un b négatif provoque une réflexion par rapport à l'axe des y dans la fonction sin 10 La période est inversement proportionnelle au paramètre b. formule: I b I= 2π/p 11 Calcul de b: pour (p = π) pour (p = 4 π) • calcul: IbI = 2π /π IbI = 2 • calcul: IbI = 2π /4π IbI = ½ OU 0,5 • Équation: f(x) = sin2x • Équation: f(x) = sin(x/2) 12 b >1 ex: b =2 f(x) = sin2x sin x P=π 1 -π -π/2 π/2 π 2π x g(x) =sinx -1 P = 2π 13 b<1 ex :b =1/2 P = 4π sinx f(x) = sin x/2 1 -4π -2π -π -π/2 π/2 π 2π 4π x -1 14 b<0 ex: b = -1/2 sin x g(x) = sin x/2 1 -4π f(x) = sin ( - x/2) 2π -2π 4π x -1 15 Rôle du paramètre h Le déphasage h < 0: f(x) subit une translation horizontale vers la gauche de h h > 0: f(x) subit une translation horizontale vers la droite de h 16 h>0 ex: Le déphasage h = +π/2 sin x f(x) = sin(x-π/2) 1 -2π -3π/2 g(x) =sinx -π/2 0 π/2 3π/2 2π 5π/2 x -1 π/2 17 h<0 ex: Le déphasage h = - π/2 sin x -π/2 1 f(x) =sin(x+π/2) -5π/2 -2π -3π/2 -π/2 0 x π/2 3π/2 2π g(x) =sinx -1 18 Rôle du paramètre k k provoque une translation verticale de la fonction k<0: déplacement vers le bas de k. k>0: déplacement vers le haut de k. 19 Si k = -1 sinx 1 -2π -3π/2 -π/2 π/2 π 3π/2 2π x K =-1 -1 20 Donc, 5 étapes à suivre Pour tracer un graphique: 21 1- Ramener l'équation sous la forme y = a sin b(x-h)+k ou y = a cos b(x-h)+k 2- Trouver p, a, h et k translation: T (h, k) 3- Tracer y = sin x ou y = cos x 4- Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre) 5- Vérifier les signes pour la réflexion 22 Applications 23 Tracer la fonction: f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1 24 Trouver les valeurs de: p, a, h et k 25 π/2 + 1 1,5 sin22 (x+π/2) f(x) = 1,5 h = -π/2 a=1,5 k=1 b=2 déplacement horizontal un allongement vertical de π/2 vers la gauche P = 2 π/ IbI P= 2 π/2 = π déplacement vertical de +1 vers le haut 26 TRACER LA FONCTION DE BASE: f(x) = sin x sinx 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 27 Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre) 28 la période: P = π f(x) = sin2x sinx 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 29 UN ALLONGEMENT VERTICAL: a = 1,5 f(x) =1,5 sin 2x sinx 1,5 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 -1,5 30 h = -π/2 translation horizontale de π/2 vers la gauche f(x) = 1,5 sin2 (x + π/2) sinx 1,5 1 -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 -1,5 31 k=1 translation verticale de 1 vers le haut f(x) =1,5 sin2 (x+π/2) + 1 sinx 2,5 1 -2π -π π/2 -π/2 π 2π x -1 -1,5 32 La fonction de base cosinus: f (x) = cos x 33 graphique cos x 1 a=1 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π x -1 Période: P = 2π 34 Applications 35 Tracer la fonction : f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4) + 1 36 Trouver les valeurs de: p, a, h et k 37 1 1,5 cos22 (x-π/4 f(x) = 1,5 π/4 ) +1 h = π/4 a=1,5 k=1 b=2 déplacement horizontal un allongement vertical de π/4 vers la droite P = 2π/ IbI P = 2π/2 = π déplacement vertical de +1 vers le haut 38 P=π la période: cos x f(x) = cos2 x 1 g(x) = cosx π -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4 2π 3π/2 5π/4 x 7π/4 -1 39 UN ALLONGEMENT VERTICAL (a = 1,5) f(x) = 1,5 cos 2x cos x 1,5 g(x) = cos x x π/2 -π/2 π 3π/2 2π -1 -1,5 40 déplacement horizontal de π/4 vers la droite ( h = π/4) f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) cos x 1,5 g(x) = cosx x -π/2 -π/4 π/4 π/2 π 3π/2 2π -1 -1,5 41 déplacement vertical de 1 vers le haut (k = 1) f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) + 1 cos x 2,5 1,5 1 g(x) = cosx x π/2 -π/2 π 3π/2 2π -1 -1,5 42 La fonction tangente fonction de base: f(x) = tan x • La période: P= π I bI = π /P I bI = π / π = 1 • Les équations des asymptotes x = n π/2 ( n est un entier) 43 Tan x f(x) = tan x 1 3π/2 -π -π/2 π/2 0 π 3π/2 x -1 P=π 44 Applications Cahier d’apprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier Sous-module 08 Pages 309 et 310 Sous-module 09 Pages 302 à 325 45 Je tiens à remercier Mme France Garnier pour son soutien techno-pédagogique. 46