mouvement d `une particule dans un champ

MOUVEMENT D’UNE PARTICULE
DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
Hugues Ott
Maître de Conférences à l’IUT Robert Schuman
Université de Strasbourg Département Chimie
Conditions initiales :
• le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz
z
• à t = 0 , la particule est en O x0 = y0 = z0 = 0
• le vecteur vitesse initiale
– est dans le plan Oxz
– fait un angle a0 avec Oz
v0
a0
q
x
Particule dans un champ magnétique

B
y
O
Théorème du centre d’inertie :


F  ma


dv


m
q.(v  B)
dt
Multiplions par v les deux membres

Vecteur perpendiculaire
  
dv 
q.(v  B).v  m .v
à v et à B
u'.u 
dt
 

1 d 2
m
v
0
2 dt
2
 

v  Cte  v.v  v.v. cosv, v  v.v
v  v 0  Cte
Particule dans un champ magnétique
 
1 2
u
2
'
1
2u .u'
2
Théorème du centre d’inertie :


F  ma



dv
q.( v  B)  m
dt
Multiplions par B les deux membres
 
Vecteur perpendiculaire à
    m dv .B
q.( v  B).B
v et à B
dt
d 
m
v.B
0
dt


 v.B  Cte
Champ uniforme
 
Champ uniforme
 v.B. cos a  Cte
Vitesse constante
Particule dans un champ magnétique
a  Cte  a0
Vecteur vitesse :




OM  x.i  y. j  z.k
d
v  OM
dt

 
 

dy 
dj

jy
dt
dt

dx 
di
i x
dt
dt
dx  dy  dz 
v
i
j k
dt
dt
dt
x
 
d 

z.k
dt
d 

y. j
dt


d 
d 
v
x. i  y. j  z.k 
x. i
dt
dt
y
z
Particule dans un champ magnétique

dz 
dk
 kz
dt
dt



v  x i  y j  z k
k
Produit vectoriel
 
ij
Direction
i
Norme
 
i et j
 
ij  1
 

i k  j
-j
i
  
jk  i
k
k
O
O
O
j
1er vecteur
i
2e vecteur

2
1 1
k
Sens
 
  Règle de la
 
i  j  i . j sin( i , j) main droite
perpendiculaire à
  
i jk
j
O
i
j
Particule dans un champ magnétique
Produit
vectoriel
 
   
i  i  i . i . sin( i , i )
0
1 1
 
i  i 0
   
j j  kk 0


F

m
a
Théorème du centre d’inertie



v  x i  y j  z k



d 
v  x i  y j  z k
dt



dv
le champ magnétique B est
q.( v  B)  m
uniforme dirigé suivant Oz
dt







q ( x i  y j  z k )  (B k )  m. (x. i  y. j  z.k )






 

q ( x i  B k  y j  B k  z k  B k )  m.(x. i  y. j  z.k )



 
 
 
q ( x B i  k  y B j  k  z Bk  k )  m.(x. i  y. j  z.k )



 j
i 
r
r
r
0
Ý.i  yÝ
Ý. j  Ý
zÝ.k )
q ( x B j
 y B i
 0)  m.( xÝ


qB
x 
y
qy B i  mx i
x  y
m
On pose


qB
y  x
 qx B j  my j



qB
y


x


m


m
z  0
0  z.k
z  0
Particule dans un champ magnétique
x  y
z  0
y  x
z
Par intégration
v0
a0
q
x

B
z  Cte  v 0 . cos a 0
Vitesse selon l ’axe Oz
y
O
Par intégration
z  v0 . cos a0 t
Mouvement uniforme le long du champ magnétique
Particule dans un champ magnétique
x  y
y  x
x  2 x
Par intégration
y  x
x   x  0
2
Equation différentielle 2e degré
la solution est de la forme
x  A sin( t  )
dériver
Conditions initiales
t 0
v 0 . sin a 0
y  
sin t

Par intégration
z  0
z  v0 . cos a0 t
z
a0
v0 O
 cos(t )
y   v 0 sin a 0
 Cte
q


B
y
x  0  A. sin 
t 0
Condition initiale
 0
x
v 0 . sin a 0
v 0 . sin a 0
y

0



Cte
à t0 x

Cte

  A.cos(
cos 
tA

) à t0


 v 0 . sin a 0
cos t v 0 . sin a 0 v 0 sin a 0
v
sin
a
t

0
y

(cos t  1)

0
0

v 0 . sin a 0

A



v 0 . sin a 0
v . sin a 0
x
sin t
y 0
(cos t  1)


Particule dans un champ magnétique
v 0 . sin a 0
x
sin t

v 0 . sin a 0
y
(cos t  1)

On développe
On élève les 2
membres au carré
z  v0 . cos a0 t
Mouvement uniforme
suivant Oz
v 0 . sin a 0
v . sin a 0
cos t  0


v . sin a 0 v 0 . sin a 0
y 0

cos t


y
On élève les 2 membres au carré
2
2
 v 0 . sin a 0 
2
v
.
sin
a
v
.
sin
a
 0
x 
2
 sin t  y  0
0 
0 

cos
t
 







 

On somme les 2 expressions
1
2
2
2
v
.
sin
a
v . sin a 0 
 0

 v 0 . sin a 0 
0 
2
2

x2   y  0




 sin t  cos t 









v . sin a 0
2
On pose R  0
x 2  y  R   R 2

2
2


La trajectoire, dans le plan Oxy perpendiculaire à B, est un cercle de
rayon R et de centre C (xC=0 et yC=-R )
Particule dans un champ magnétique
Nature du mouvement
Mouvement circulaire dans le plan
Oxy perpendiculaire à B
Mouvement uniforme suivant
Oz le long du champ B
x 2  y  R   R 2
z  v0 . cos a0 t
2
MOUVEMENT HELICOIDAL
z
Période du mouvement hélicoïdal
dis tan ce parcourue
2R
2
2m
T



O
v
vitesse plan x 0 y
v 0 . sin a 0

qB
0
q
qB
v 0 . sin a 0  
R
m
x


B
y
La vitesse de la particule n’intervient pas directement dans l’expression de la
période.
La circonférence décrit par la particule est appelée circonférence de
Larmor (physicien anglais).
La fréquence est dite fréquence de Larmor.
Particule dans un champ magnétique
Le pas de l’hélice
Distance parcourue par la particule dans la direction du champ
lorsqu’elle effectue un tour complet sur la circonférence.
(Vitesse selon Oz) . (Période)
Période
h  z.T
2 2m
T


qB
2.m.
h  v 0 cos a 0
qB
=0
z  v0 . cos a0 t
z  v 0 . cos a 0
qB

m
=1
Si a0 = / 2
h 0
v 0 . sin a 0 v 0
m.v 0
R




qB
m.v 0
R
qB
Trajectoire = Cercle
Particule dans un champ magnétique
Expression de la vitesse v0
v . sin a 0
R 0

2
h
v 0 cos a 0

2
1 2
R    v 0 . sin 2 a 0
 
2
 2  2
2 2
4 R    v 0 . sin 2 a 0
 
2
 2  2 2
4 R  h   v 0 sin a 0
 
2
2
2
2
 2  2
h    v 0 cos 2 a 0
 
2
2
 2 
  v 02 cos 2 a 0

2
1
2

 2  2
2
2 2
2
   v 0 (sin 2 a 0  cos 2 a 0 )  v 0  2 4 R  h
4
 
q.B

2 2
2

v0 
4 2 R 2  h 2 

4 R  h 
v0 
2.m
2
2
Particule dans un champ magnétique


Déplacement d’une particule dans un champ non
uniforme
Rayon de l’hélice
m.v 0 . sin a 0
R
q.B
diminue
B augmente
Pas de l’hélice
2.m.v 0 cos a 0
h
qB diminue
diminue
B augmente
Vitesse selon B
v 0 . cos a 0 .B  Cte
B augmente
diminue
Dans un champ croissant
 La composante de la vitesse parallèle au champ décroît et va
s’annuler si le champ s’étend suffisamment
 le pas de l’hélice décroît au fur et à mesure que la particule se
déplace vers les champs croissants
 Le rayon de l ’hélice diminue
 la particule est obligée de revenir en arrière
Application : la ceinture de radiation de Van Allen.
Particule dans un champ magnétique