Modélisation des actions mécaniques 1/6 Lycée JJ Henner ALTKIRCH 1) NOTION D’ACTION MECANIQUE On appelle action mécanique toute cause susceptible de : Créer ou modifier un mouvement ; Le déplacement du voilier est dû à l’action mécanique exercée par le vent sur la voile. Maintenir un corps au repos ; L’action mécanique exercée sur la manivelle d’un étau permet de fixer une pièce entre les 2 mors de l’étau. Déformer un corps ; La charge excessive soulevée par un haltérophile déforme la barre des haltères. 2) DIFFERENTS TYPES D’ACTIONS MECANIQUES 2.1) LES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE En construction mécanique, elles sont essentiellement de type magnétique ou de pesanteur. 2.2) LES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT Elles résultent : - Soit du contact d’un fluide (gaz ou liquide) sur un solide - Soit du contact d’un solide avec un autre solide 3) LE MODELE DE LA FORCE 3.1) CAS DU CONTACT PONCTUEL PARFAIT (Sans Frottements) L'action mécanique qui s'exerce entre deux solides en contact ponctuel est modélisée par une force qui a les caractéristiques d’un vecteur (voir cicontre). Désignation d’une force : FE (4/2) solide sollicité solide qui exerce la force point d’application de la force Cours modélisation des AM origine : le point de contact ; E direction : normale au plan tangent de contact ; donc suivant X . sens : du solide qui exerce l’action mécanique vers le solide qui la subit ; suivant les X négatifs, norme : cette grandeur s’exprime en Newton (N) ; ici elle dépend, entre autre, du niveau de l’eau dans la cuve. FE 4/2 Page 1/6 Modélisation des actions mécaniques 2/6 Lycée JJ Henner ALTKIRCH 3.2) CAS DES CONTACTS NON PONCTUELS 3.2.1) Cas de la Pression d’un Fluide sur une Paroi Plane f La pression sera supposée uniforme. Elle s’applique en chaque élément de surface de la C f paroi. Nous avons donc une infinité de forces F f élémentaires . Leur somme nous donne une f f force appelée force de pression F , ayant les caractéristiques suivantes : point d’application : le centre de la surface, C norme : F p.S , avec : direction : perpendiculaire à la surface de - F : effort développé (N) contact entre le fluide et la pièce - p : pression uniforme du fluide (Pa) sens : dirigé vers la paroi - S : surface de la paroi plane, en (m2) 3.2.2) Cas de la Pesanteur p p p p p G p P On considère un solide indéformable. La pesanteur s’applique en chaque élément de matière de ce solide. Nous avons donc une infinité de forces élémentaires p . Leur somme nous donne une force appelée force de pesanteur P , ayant les caractéristiques ci-contre : point d’application : G, le centre de gravité du solide ou du système direction : verticale passant par G sens : vers le bas norme : P m.g , avec : - P : poids en Newton (N) - m : masse du solide ou du système en kilogrammes (kg) - g : accélération de la pesanteur = 9.81 m.s-2 3.3.3) Cas de l’Action d’un Ressort de Compression L’action mécanique qu’exerce un ressort sur une pièce peut être modélisée par une force, dont les caractéristiques sont : point d’application : centre du cercle de contact, direction : selon l’axe du ressort, sens : du ressort vers la pièce, norme : proportionnelle à la variation de longueur du ressort (de sa déformation) : F = k (lo-l) avec k : raideur du ressort (constante – N/mm), lo : longueur à vide du ressort (mm), l : longueur comprimée du ressort (mm). Cours modélisation des AM Exemple : effort du ressort sur le piston. Y X Page 2/6 Modélisation des actions mécaniques 3/6 Lycée JJ Henner ALTKIRCH 4) LE MOMENT D’UNE FORCE 4.1) MOMENT D'UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE 4.1.1) Cas où la Force est Orthogonale à l’Axe DEFINITION : On appelle moment d'une force FA par rapport à un axe (O, x ), le produit de la norme de la force ( FA ) par la distance de la droite d'action de la FA force à l'axe considéré, affecté d’un signe défini ci-dessous : distance FA distance + si la force tend à provoquer une rotation autour de l'axe dans le sens positif ( x y , y z ou z x ) . M Ox(FA ) ( FA OH ) ou (OH FA ) ou (d F ) - si la force tend à provoquer une rotation autour de l'axe dans le sens L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m) négatif. d : distance la plus courte à la droite d’action (m) F : norme de la force (N) Le moment d’une force par rapport à un axe est nul si le support de la force et l’axe du moment considéré appartiennent à un même plan. 4.1.2) Cas où la Force est Parallèle à l’Axe Le moment d'une force par rapport à un axe qui lui est parallèle est nul. MOz(FA )0 car FA est parallèle à (O, z ) 4.2) MOMENT D'UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT, NOTION DE VECTEUR MOMENT 4.2.1) Notion de Vecteur Moment DEFINITION : On appelle vecteur moment de FA au point O, MO(FA) , le vecteur dont les coordonnées ou composantes sont les moments par rapport aux trois axes : MOx(FA ) MO(FA ) MOy(FA ) MOz(FA ) Remarque : FA et MO(FA) sont perpendiculaires Cours modélisation des AM Page 3/6 Modélisation des actions mécaniques 4.2.2) Détermination Analytique, Produit Vectoriel DEFINITION : Le produit vectoriel d'un vecteur U par un vecteur V que l'on notera U V est le vecteur W dont un représentant d'origine M est tel que : - Son support est perpendiculaire au plan (S, U , V ) - Son sens est tel que le trièdre ( U , V , W ) soit direct - Sa norme a pour valeur: W U V . sin(U, V) PROPRIETES : - W 0 dans les suivants : cas U 0 V 0 U et V sont colinéaires. - Dans un repère orthonormé direct ayant pour vecteur pour vecteurs de base i , j , k , on a : i j k ; j k i ; k i j Lycée JJ Henner ALTKIRCH 4/6 W V U S z k i j y x Expression analytique du moment MS(FA ) dans un repère orthonormé direct R0 : Soient a, b et c les coordonnées du vecteur SA dans R0. Soient X, Y et Z les coordonnées du vecteur FA dans R0. Pour obtenir le produit vectoriel SA FA (qui est le moment en S de FA ) on effectue les produits en croix comme ci-dessous: SA FA MS(FA ) = = R0 a b c a X Y R0 Z X = R0 bZ–cY cX–aZ aY–bX 5) LE TORSEUR 5.1) EXPRESSION DU TORSEUR C'est la modélisation la plus générale pour une action mécanique. Elle permet, entre autres, de modéliser l’action mécanique transmissible par une liaison mais aussi les actions mécaniques de pesanteur, de pression et d’un ressort vues précédemment. Définition : Soient deux sous-ensembles 1 et 2 d'un mécanisme en liaison de centre A. L'action mécanique de 1 sur 2 est modélisée par l’association des vecteurs : FA 1/ 2 et MA(1/ 2) . L'ensemble FA s'appelle Torseur associé à l'action mécanique de 1 sur 2. MA(1/ 2) FA 1/ 2 est appelée résultante du torseur. MA(1/ 2) est appelé moment résultant en A du torseur associé. Cours modélisation des AM Page 4/6 Modélisation des actions mécaniques Lycée JJ Henner ALTKIRCH 5/6 FA 1/ 2 et MA(1/ 2) sont les éléments de réduction du torseur au point A. Notation : 1/ 2 X1/2 LA1/2 FA Y1/2 MA1/2 M A(1/2) A A Z1/2 NA1/2 (x, y, z) où (A; x , y , z ) représente le repère local associé à la liaison. Transport d’un Torseur : On a : 1/ 2 FA au point de réduction A, et on veut le "transporter" (le déplacer) au MA(1/2) A point B. On montre que le torseur, déplacé au point B, s'écrit : 1/ 2 FB FA MB(1/2) MA(1/2) BA FA B 5.3) TORSEURS DE QUELQUES ACTIONS MECANIQUES DEJA VUES 5.2.1) Torseur de l’Action Mécanique de Pression 5.2.3) Torseur de l’Action Mécanique d’un Ressort z C F y fluide/paroi F 0 - F MC(f/p) C 0 C x 0 0 0(x,y,z) Y X FD 8/6 5.2.2) Torseur de l’Action Mécanique de Pesanteur z G y P pesanteur x Cours modélisation des AM P 0 0 0 0 MG G- P 0(x,y,z) G 8/ 6 FD8/6 X8/6 0 0 0 MD(8/6) D 0 0(x,y,z) D Page 5/6 Modélisation des actions mécaniques 6/6 Lycée JJ Henner ALTKIRCH 5.3) TORSEURS DANS LES LIAISONS Cas d'un problème plan de normale z Nature de la liaison et repère associé : R Torseur Mvts transmissible possibles Schéma spatial 2 1 x y A y Pivot d'axe (A, z ) 2 A 1 z x z 1 A x y z 2 x A Appui plan de normale (A, y ) 2 1 x x Ponctuelle de normale (A, x ) 1 A y z x Linéaire rectiligne de normale (A, x ) et d’axe (A, z ) Linéaire annulaire d'axe (A, y ) 2 X 2 y z 1 A x 2 1 y A z X1/2 - Y1/2 - - 0 (x, y, z) A x - 0 Y1/2 - - NA1/2 (x, y, z) A y A y x x A X1/2 0 0 0 0 0(x, y, z) A 0 Rx Ty 0 Tz Rz X1/2 0 0 MA1/2 0 0 (x, y, z) A - 0 Y1/2 - - NA1/2 (x, y, z) A y 0 L A1/2 Y1/2 0 0 N A1/2 (x, y, z) A 0 Rx Ty Ry Tz Rz 0 Rz Ty Ry 0 Rz x A Tx 0 0 Ry Tz 0 A z y A y - X1/2 - Y1/2 - NA1/2 (x, y, z) A X1/2 - Y1/2 - - 0 (x, y, z) A x X1/2 0 Y1/2 0 Z1/2 0(x, y, z) A y 1 y A 0 0 Y1/2 MA1/2 Z1/2 NA1/2 (x, y, z) A 2 x A X1/2 L A1/2 Y1/2 MA1/2 Z 1/2 0 (x, y, z) A Tx Rx 0 0 0 0 y x 0 0 0 0 0 Rz y X1/2 L A1/2 Y1/2 MA1/2 Z 1/2 N A 1/2 (x, y, z) A 0 L A1/2 Y1/2 MA1/2 Z1/2 NA1/2 (x, y, z) A z Pivot glissant d'axe (A, x ) 0 0 0 Tx 0 0 0 0 0 A 1 0 0 0 0 Rx 0 Ry 0 Rz 2 Rotule de centre A Glissière d'axe (A, x ) Torseur transmissible 1/ 2 z Encastrement R quelconque Schéma plan x y - 0 Y1/2 - - NA1/2 (x, y, z) A X1/2 - 0 - - 0(x, y, z) A A X1/2 0 0 0 Z1/2 0(x, y, z) A x y x y X1/2 - 0 - - 0(x, y, z) A X1/2 - 0 - - 0(x, y, z) A A ATTENTION : Liste non exhaustive des torseurs possibles. Cours modélisation des AM Page 6/6