Représentation d`une forme linéaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 1
Représentation d’une forme linéaire
Exercice 1 [ 02666 ] [Correction]
Soit n∈N.
(a) Montrer l’existence et l’unicité de A∈Rn[X] tel que
∀P∈Rn[X],P(0) =Z1
0
A(t)P(t) dt
(b) Établir que Aest de degré n.
Exercice 2 [ 03024 ] [Correction]
On définit sur R[X] le produit scalaire
hP,Qi=Z1
0
P(t)Q(t) dt
Existe-t-il A∈R[X] tel que
∀P∈R[X],P(0) =hA,Pi?
Exercice 3 [ 01573 ] [Correction]
Soit E=R[X].
(a) Montrer que ϕ(P,Q)=R1
0P(t)Q(t) dtdéfinit un produit scalaire sur E.
(b) Soit θ:E→Rla forme linéaire définie par θ(P)=P(0).
Montrer qu’il n’existe pas de polynôme Qtel que pour tout P∈Eon ait
θ(P)=ϕ(P,Q).
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Corrections 2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(a) Il est bien connu que l’application
(P,Q)7→ hP,Qi=Z1
0
P(t)Q(t) dt
définit un produit scalaire sur Rn[X]. L’application P7→ P(0) est une forme linéaire
sur R[X] donc il existe un unique polynôme A∈Rn[X] tel que cette forme linéaire
corresponde au produit scalaire avec A, ce qui revient à dire
∀P∈Rn[X],P(0) =hA,Pi=Z1
0
A(t)P(t) dt
(b) Si par l’absurde le degré de Aest strictement inférieur à nalors P=XA est élément
de Rn[X] et donc
Z1
0
tA(t)2dt=P(0) =0
Or la fonction t7→ tA(t)2est continue positive sur [0 ; 1] et la nullité de l’intégrale
précédente entraîne alors
∀t∈[0 ; 1],tA(t)2=0
On en déduit A=0 ce qui est absurde.
Exercice 2 : [énoncé]
Supposons l’existence d’un tel polynôme Aet considérons P(X)=XA(X).
On a
0=P(0) =hA,Pi=Z1
0
tA(t)2dt
Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive, on obtient
∀t∈[0 ; 1],tA(t)2=0
Le polynôme Aadmet une infinité de racine, c’est donc le polynôme nul ce qui est
absurde.
Exercice 3 : [énoncé]
(a) ras
(b) Supposons qu’un tel polynôme Qexiste et considérons P=XQ.
On a θ(P)=0=R1
0tQ2(t) dtdonc Q=0 d’où θ=0. Absurde.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD