CAPES. Espaces de Hilbert

CAPES. 2005/2006
Feuille 7 [email protected]
Espaces de Hilbert
Ex 1. Soit Kune partie convexe fermée non vide d’un espace de Hilbert réel (H,(·,·)). On note |·|
la norme associée.
(1) Etablir la formule de la médiane :
|u−f|2+|v−f|2=2|u+v
2−f|2+1 2|v−u|2∀u,v,f∈H.
(2) Montrer que pour tout f∈H, il existe un unique u∈Ktel que
|f−u|=inf
v∈K|f−v|.
Indication : En utilisant la formule de la médiane, montrer que toute suite (un)de Kvérifiant
|f−un| → d=inf
v∈K|f−v|est de Cauchy. On note PKl’application de Hdans Hqui à f
associe PKf=u. L’application PKs’appelle la projection sur K.
(3) Soit f,u∈H. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
(i) u=PKf.
(ii) u∈Ket (f−u,v−u)≤0∀v∈K.
Indication : Pour (i) ⇒(ii), considérer w= (1−t)u+tv où t∈]0,1].
(4) On suppose que K=Eoù Eest un sous espace vectoriel fermé de H.
(a) Soit f,u∈H. Montrer que u=PEfsi et seulement si u∈Eet (f−u,v−u) = 0∀v∈E.
(b) Montrer que PEest une application linéaire et continue de Hdans lui même. Calculer
sa norme. Déterminer l’image de PE.
(c) Soit E⊥={f∈H|(f,v) = 0∀v∈E}. Montrer que kerPE=E⊥et que E⊥est un sous
espace vectoriel fermé de H.
(d) Déterminer PE◦PE. Montrer que I−PE=PE⊥(Idésigne l’identité de H) et
|| f||2=||PEf||2+||PE⊥f||2∀f∈H.
Ex 2. (D’après CAPES externe) SoitC([−1,1]) l’espace préhilbertien réel des applications de [−1,1]
vers Rcontinues sur [−1,1], muni du produit scalaire
(f,g) = Z1
−1f(t)g(t)dt.
On note || · ||2la norme associée.
(1) Pour n∈N∗, on considère la fonction impaire fnde [−1,1]vers Rvérifiant, pour t∈[0,1],
fn(t) = (nt si t≤1/n
1 sinon.
(a) Montrer que fn∈C([−1,1]).
(b) Montrer que pour tout 1 ≤n≤m,|| fn−fm||2≤q2
3n.
(c) C([−1,1]) est-il un espace de Hilbert?
1

(2) Soit Fnle sous espace vectoriel deC([−1,1]) constitué des fonctions polynomiales de degré
inférieur ou égal à n. Soit πnle projecteur orthogonal de C([−1,1]) sur Fn.
(a) A l’aide du théorème de Stone-Weierstrass, montrer que pour tout
f∈C([−1,1]),(πn(f))n∈Nconverge vers fdans C([−1,1]).
(b) Montrer qu’il existe (Kj)j∈N⊂C([−1,1]) telle que pour tout f∈C([−1,1]),
πn(f) =
n
∑
j=0(f,Kj)Kj,||πn(f)||2
2=
n
∑
j=0(f,Kj)2.
(c) Montrer que pour tout f∈C([−1,1]), la série de terme général (f,Kn)2converge et
∑n≥0(f,Kn)2=|| f||2
2. Quelle est la limite lorsque n→∞de R1
−1f(t)Kn(t)dt ?
(3) Soit n∈Net x0<x1<···<xnn+1 éléments de [−1,1]. Soit
`j(t) = ∏
0≤i≤n,
i6=j
t−xi
xj−xi.
Montrer que l’application
hP,Qi 7→
n
∑
i=0P(xi)Q(xi)
est un produit scalaire sur Fnet que, pour ce produit scalaire, (`j)0≤j≤nest une base ortho-
normale de Fn.
(4) Quelles sont, dans cette base, les coordonnées d’un polynôme Pde Fn?
(5) Soit f∈C([−1,1]). Montrer qu’il existe un unique polynôme P∈Fntel que P(xi) = f(xi)
∀0≤i≤n. On définit ainsi une application Λde C([−1,1]) dans Fn.
(6) Montrer que Λest linéaire et surjective. Montrer que pour tout f∈C([−1,1]) et pour tout
t∈[−1,1],
|Λ(f)(t)| ≤ max
0≤j≤n|f(xj)|
n
∑
j=0|`j(t)|.
(7) On définit l’application χde [−1,1]vers Rpar χ(t) = ∑n
j=0|`j(t)|. Si on munit C([−1,1])
et Fnde la norme infinie, montrer que
|||Λ||| :=sup
|| f||∞=1,
f∈C([−1,1])
||Λ(f)||∞=||χ||∞.
Ex 3. Soit H=R2muni du produit scalaire euclidien. Soit a,b,c∈Ret
f:R2−→ R2
(x1,x2)7−→ (ax1+bx2,bx1+cx2).
(1) Montrer que fest une application linéaire et continue de Hdans lui même.
(2) Calculer sa norme en fonction de ses valeurs propres.
(3) Déterminer l’image du cercle unité par f.
http ://www-math.univ-poitiers.fr/˜rougirel/capes/frame2.html
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