CAPES. 2005/2006 Feuille 7 [email protected] Espaces de Hilbert Ex 1. Soit K une partie convexe fermée non vide d’un espace de Hilbert réel (H, (·, ·)). On note | · | la norme associée. (1) Etablir la formule de la médiane : 1 u+v − f |2 + |v − u|2 ∀u, v, f ∈ H. |u − f |2 + |v − f |2 = 2| 2 2 (2) Montrer que pour tout f ∈ H, il existe un unique u ∈ K tel que | f − u| = inf | f − v|. v∈K Indication : En utilisant la formule de la médiane, montrer que toute suite (un ) de K vérifiant | f − un | → d = inf | f − v| est de Cauchy. On note PK l’application de H dans H qui à f v∈K associe PK f = u. L’application PK s’appelle la projection sur K. (3) Soit f , u ∈ H. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes. (i) u = PK f . (ii) u ∈ K et ( f − u, v − u) ≤ 0 ∀v ∈ K. Indication : Pour (i) ⇒ (ii), considérer w = (1 − t)u + tv où t ∈]0, 1]. (4) On suppose que K = E où E est un sous espace vectoriel fermé de H. (a) Soit f , u ∈ H. Montrer que u = PE f si et seulement si u ∈ E et ( f − u, v − u) = 0 ∀v ∈ E. (b) Montrer que PE est une application linéaire et continue de H dans lui même. Calculer sa norme. Déterminer l’image de PE . (c) Soit E ⊥ = { f ∈ H | ( f , v) = 0 ∀v ∈ E}. Montrer que kerPE = E ⊥ et que E ⊥ est un sous espace vectoriel fermé de H. (d) Déterminer PE ◦ PE . Montrer que I − PE = PE ⊥ (I désigne l’identité de H) et || f ||2 = ||PE f ||2 + ||PE ⊥ f ||2 ∀ f ∈ H. Ex 2. (D’après CAPES externe) Soit C([−1, 1]) l’espace préhilbertien réel des applications de [−1, 1] vers R continues sur [−1, 1], muni du produit scalaire Z 1 ( f , g) = f (t)g(t)dt. −1 On note || · ||2 la norme associée. (1) Pour n ∈ N∗ , on considère la fonction impaire fn de [−1, 1] vers R vérifiant, pour t ∈ [0, 1], ( nt si t ≤ 1/n fn (t) = 1 sinon. (a) Montrer que fn ∈ C([−1, 1]). (b) Montrer que pour tout 1 ≤ n ≤ m, || fn − fm ||2 ≤ (c) C([−1, 1]) est-il un espace de Hilbert ? 1 q 2 3n . (2) Soit Fn le sous espace vectoriel de C([−1, 1]) constitué des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n. Soit πn le projecteur orthogonal de C([−1, 1]) sur Fn . (a) A l’aide du théorème de Stone-Weierstrass, montrer que pour tout f ∈ C([−1, 1]), (πn ( f ))n∈N converge vers f dans C([−1, 1]). (b) Montrer qu’il existe (K j ) j∈N ⊂ C([−1, 1]) telle que pour tout f ∈ C([−1, 1]), πn ( f ) = n ∑ ( f , K j )K j , ||πn ( f )||22 = j=0 n ∑ ( f , K j )2 . j=0 (c) Montrer que pour tout f ∈ C([−1, 1]), la série de terme général ( f , Kn )2 converge et R1 ∑n≥0 ( f , Kn )2 = || f ||22 . Quelle est la limite lorsque n → ∞ de −1 f (t)Kn (t)dt ? (3) Soit n ∈ N et x0 < x1 < · · · < xn n + 1 éléments de [−1, 1]. Soit t − xi . ` j (t) = ∏ 0≤i≤n, x j − xi i6= j Montrer que l’application n hP, Qi 7→ ∑ P(xi )Q(xi ) i=0 est un produit scalaire sur Fn et que, pour ce produit scalaire, (` j )0≤ j≤n est une base orthonormale de Fn . (4) Quelles sont, dans cette base, les coordonnées d’un polynôme P de Fn ? (5) Soit f ∈ C([−1, 1]). Montrer qu’il existe un unique polynôme P ∈ Fn tel que P(xi ) = f (xi ) ∀0 ≤ i ≤ n. On définit ainsi une application Λ de C([−1, 1]) dans Fn . (6) Montrer que Λ est linéaire et surjective. Montrer que pour tout f ∈ C([−1, 1]) et pour tout t ∈ [−1, 1], n |Λ( f )(t)| ≤ max | f (x j )| ∑ |` j (t)|. 0≤ j≤n j=0 (7) On définit l’application χ de [−1, 1] vers R par χ(t) = ∑nj=0 |` j (t)|. Si on munit C([−1, 1]) et Fn de la norme infinie, montrer que |||Λ||| := ||Λ( f )||∞ = ||χ||∞ . sup || f ||∞ =1, f ∈C([−1,1]) Ex 3. Soit H = R2 muni du produit scalaire euclidien. Soit a, b, c ∈ R et f : R2 −→ R2 (x1 , x2 ) 7−→ (ax1 + bx2 , bx1 + cx2 ). (1) Montrer que f est une application linéaire et continue de H dans lui même. (2) Calculer sa norme en fonction de ses valeurs propres. (3) Déterminer l’image du cercle unité par f . http ://www-math.univ-poitiers.fr/˜rougirel/capes/frame2.html 2