1 Version faible de la progression arithmétique de Dirichlet Théorème 1. Soit n ∈ N∗ , il existe une infinité de nombres premiers p tels que p ≡ 1 [n]. Lemme 1. Soit Φn,Q (X) ∈ Z[X], le n-ème polynôme cyclotomique et a ∈ N∗ . Supposons que p ∈ P vérifie p | Φn,Q (a) et p - Φd,Q (a) pour tout d | n, d 6= n, alors p ≡ 1 [n]. n Q Q i2kπ (X − e n ) et X n − 1 = Démonstration. On a X n − 1 = Φd,Q (X). Comme p | Φn,Q (a), k=1 d|n Q on a aussi : p | Φd,Q (a) = an − 1 et donc an ≡ 1 [p] soit a ∈ F∗p avec an = 1 dans Fp . Par d|n définition de l’ordre d’un élément on a alors l = ordrep (a) | n. Objectif 1. montrons que l = n. Q Supposons par l’absurde l 6= n. On a alors al ≡ 1 [p] =⇒ al − 1 = Φd,Q (a) ≡ 0 [p]. Ainsi, d|l Q p| Φd (a) et par le lemme d’Euclide, il existe d | l tel que p | Φd,Q (a). Alors, comme d | l et d|n l | n on a d | n et comme on a supposé l 6= n, finalement d | n strictement. Par hypothèse pour tout diviseur strict k de n on a p - Φk,Q (a), en contradiction avec ce qui précède. Nécessairement : l = ordrep (a) = n. Par le théorème de Lagrange on a n = ordrep (a) | ϕ(p) = p − 1 = card(F∗p ) et au final : n | ϕ(p) = p − 1 =⇒ p ≡ 1 [n]. Passons à la démonstration du théorème. Démonstration. Soit n ∈ N∗ et N > max(3, n) ∈ N∗ fixés. Objectif 2. montrer que pour a = N ! on peut trouver p ∈ P tel que p > N et vérifiant les hypothèses du lemme précédent. Ceci prouvera que p ≡ 1 [n] et comme p > N pour N arbitrairement grand (juste assez grand pour que N > max(n, 3)), on aura bien l’existence d’une infinité de nombres premiers p tels que p ≡ 1 [n]. Etape 1 : Montrons que Φn,Q (a) ∈ Z a au moins un diviseur premier p, en prouvant |Φn (a)| ≥ 2. Or, Q |Φn (a)| = |a − ei2kπ/n | où |a − ei2kπ/n | ≥ |a| − |ei2kπ/n | = a − 1 ≥ 2 car a > 3. k∈[[1,n]],k∧n=1 Etape 2 : montrons que p > N . Supposons par l’absurde que p ≤ N , alors p divise N ! = a et p divise donc tout polynôme en a sans terme constant. Comme Φn,Q (X) − Φn,Q (0) est par construction même sans terme constant et que Φn (X) ∈ Z[X], on a bien Φn,Q (a)−Φn,Q (0) ∈ Z[a] et sans terme constant. On en déduit : p | Φn,Q (a) − Φn,Q (0) où p | Φn,Q (a) =⇒ p | Φn,Q (0) = ±1 absurde. D’où p > N . Etape 3 : Supposons par l’absurde qu’il existe un diviseur strict de n noté d tel que p | Φd,Q (a). Alors, p | Φn,Q (a) et p | Φd,Q (a), avec p - n, se traduit dans Fp par : 0 = Φd,Q (a) = Φd,Fp (a) et Φn,Q (a) = Φn,Fp (a) = 0 n et comme X − 1 = Q Φd,Fp (X), on en déduit que a est une racine multiple de X n − 1 ∈ Fp [X] d|n absurde. En effet, comme p > N > n, on p - n et donc X n − 1 et nX n−1 6= 0 sont premiers entre eux dans Fp [X], cf la relation de Bezout n−1 X(nX n−1 ) − (X n − 1) = 1 dans Fp [X]. Conclusion : finalement on a p | Φn,Q (a) et p - Φd,Q (a) pour d diviseur strict de n. D’où le résultat attendu. 2 [Perr] Attention, ceci est une application de la progression arithmétique de Dirichlet mais pas de la version faible présentée ci-dessus. Application 1. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Il existe p ∈ P tel que Φn,Fp (X) soit irreductible sur Fp . 2. Le groupe (Z/nZ)∗ est cyclique. Démonstration. : Objectif 3. Montrons d’abord que pour p ∈ P et p ∧ n = 1, Φn,Fp (X) est réductible sur Fp [X] si et seulement si p est n’est pas d’ordre ϕ(n) dans (Z/nZ)∗ . Or, Φn,Fp (X) ∈ Fp [X] est réductible sur Fp si et seulement si Φn,Fp (X) a une racine dans une extension de Fp de degré m ≤ ϕ(n) 2 . Or, les racines de Φn,Fp (X) étant les racines n-ème primitives de l’unité sur Fp , le n-ème polynôme cyclotomique Φn,Fp (X) ∈ Fp [X] a une racine dans une si et seulement s’il existe m ≤ ϕ(n) tel que F∗pm contienne un extension Fpm de degré m ≤ ϕ(n) 2 2 ∗ élément d’ordre n. Alors, Fpm étant cyclique, cette dernière condition équivaut à n | pm − 1 pour un m ≤ ϕ(n) et en particulier p est d’ordre ≤ m ≤ ϕ(n) dans (Z/nZ)∗ . Finalement : 2 2 Φn,Fp (X) est réductible sur Fp [X] ⇐⇒ p est n’est pas d’ordre ϕ(n) dans (Z/nZ)∗ . Conclusion : si (Z/nZ)∗ n’est pas cyclique, il n’existe aucun élément d’ordre ϕ(n) dans (Z/nZ)∗ et donc il n’existe pas de nombre premier p - n et tel que Φn,Fp (X) soit irreductible sur Fp . Par contraposée on a montré 1 =⇒ 2. Réciproquement si (Z/nZ)∗ est cyclique, alors il existe un générateur a vérifiant en particulier a ∧ n = 1. Comme d’après la version faible de la progression arithmétique de Dirichlet, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p ≡ a [n] pour a ∧ n = 1, on peut prendre a = p premier. Mais alors, p est d’ordre ϕ(n) car p engendre le groupe cyclique (Z/nZ)∗ et donc Φn,Fp (X) est irreductible. D’où 2 =⇒ 1 et l’équivalence annoncée. 2ikπ Rappel 1. Pour Ω = {e n | k ∧ n = 1 et k ∈ [[1, n]]}, le n-ème polynôme cyclotomique Q Φn,Q (X) = (X − ω) ∈ Z[X] avec Φ(0) = ±1. ω∈Ωn Démonstration. Φ(0) ∈ Z car Φn (X) ∈ Z[X] et |Φ(0)| = | Q ω∈Ωn ω| = Q |ω| = 1. On a donc ω∈Ωn Φ(0) ∈ Z et |Φ(0)| = 1 ce qui donne bien Φ(0) = ±1. Rappel 2. Un polynôme P ∈ K[X] est à racines simples dans un corps de décomposition de P si et seulement si : • P 0 6= 0. • P ∧ P 0 = 1. Rappel 3. Soit P ∈ k[X] de degré n > 0. Alors, P est irreductible sur k si et seulement si P est sans racines dans les extensions K de k telles que [K : k] ≤ n2 . Références : • Perrin pour l’application. • FGN algèbre 1 / Gozard pour la progression arithmétique de Dirichlet.