dirichlet version faible

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Version faible de la progression arithmétique de Dirichlet
Théorème 1. Soit n∈N∗, il existe une infinité de nombres premiers ptels que p≡1 [n].
Lemme 1. Soit Φn,Q(X)∈Z[X], le n-ème polynôme cyclotomique et a∈N∗. Supposons que
p∈ P vérifie p|Φn,Q(a)et p-Φd,Q(a)pour tout d|n, d 6=n, alors p≡1 [n].
Démonstration. On a Xn−1 =
n
Q
k=1
(X−ei2kπ
n)et Xn−1 = Q
d|n
Φd,Q(X). Comme p|Φn,Q(a),
on a aussi : p|Q
d|n
Φd,Q(a) = an−1et donc an≡1 [p]soit a∈F∗
pavec an= 1 dans Fp. Par
définition de l’ordre d’un élément on a alors l=ordrep(a)|n.
Objectif 1. montrons que l=n.
Supposons par l’absurde l6=n. On a alors al≡1 [p] =⇒al−1 = Q
d|l
Φd,Q(a)≡0 [p]. Ainsi,
p|Q
d|n
Φd(a)et par le lemme d’Euclide, il existe d|ltel que p|Φd,Q(a). Alors, comme d|let
l|non a d|net comme on a supposé l6=n, finalement d|nstrictement. Par hypothèse pour
tout diviseur strict kde non a p-Φk,Q(a), en contradiction avec ce qui précède. Nécessairement :
l=ordrep(a) = n.
Par le théorème de Lagrange on a n=ordrep(a)|ϕ(p) = p−1 = card(F∗
p)et au final :
n|ϕ(p) = p−1 =⇒p≡1 [n].
Passons à la démonstration du théorème.
Démonstration. Soit n∈N∗et N > max(3, n)∈N∗fixés.
Objectif 2. montrer que pour a=N!on peut trouver p∈ P tel que p>N et vérifiant les
hypothèses du lemme précédent.
Ceci prouvera que p≡1 [n]et comme p>N pour Narbitrairement grand (juste assez grand
pour que N > max(n, 3)), on aura bien l’existence d’une infinité de nombres premiers ptels que
p≡1 [n].
Etape 1 : Montrons que Φn,Q(a)∈Za au moins un diviseur premier p, en prouvant |Φn(a)| ≥ 2.
Or,
|Φn(a)|=Q
k∈[[1,n]],k∧n=1
|a−ei2kπ/n|où |a−ei2kπ/n| ≥ |a|−|ei2kπ/n|=a−1≥2car a > 3.
Etape 2 : montrons que p>N. Supposons par l’absurde que p≤N, alors pdivise N! = a
et pdivise donc tout polynôme en asans terme constant. Comme Φn,Q(X)−Φn,Q(0) est par
construction même sans terme constant et que Φn(X)∈Z[X], on a bien Φn,Q(a)−Φn,Q(0) ∈Z[a]
et sans terme constant. On en déduit :
p|Φn,Q(a)−Φn,Q(0) où p|Φn,Q(a) =⇒p|Φn,Q(0) = ±1
absurde. D’où p>N.
Etape 3 : Supposons par l’absurde qu’il existe un diviseur strict de nnoté dtel que p|Φd,Q(a).
Alors, p|Φn,Q(a)et p|Φd,Q(a), avec p-n, se traduit dans Fppar :
0 = Φd,Q(a)=Φd,Fp(a)et Φn,Q(a)=Φn,Fp(a) = 0
et comme Xn−1 = Q
d|n
Φd,Fp(X), on en déduit que aest une racine multiple de Xn−1∈Fp[X]
absurde. En effet, comme p>N>n, on p-net donc Xn−1et nXn−16= 0 sont premiers entre
eux dans Fp[X], cf la relation de Bezout n−1X(nXn−1)−(Xn−1) = 1 dans Fp[X].
Conclusion : finalement on a p|Φn,Q(a)et p-Φd,Q(a)pour ddiviseur strict de n. D’où le
résultat attendu.

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Attention, ceci est une application de la progression arithmétique de Dirichlet mais pas de la[Perr]
version faible présentée ci-dessus.
Application 1. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. Il existe p∈ P tel que Φn,Fp(X)soit irreductible sur Fp.
2. Le groupe (Z/nZ)∗est cyclique.
Démonstration. :
Objectif 3. Montrons d’abord que pour p∈ P et p∧n= 1,Φn,Fp(X)est réductible sur Fp[X]
si et seulement si pest n’est pas d’ordre ϕ(n)dans (Z/nZ)∗.
Or, Φn,Fp(X)∈Fp[X]est réductible sur Fpsi et seulement si Φn,Fp(X)a une racine dans une
extension de Fpde degré m≤ϕ(n)
2. Or, les racines de Φn,Fp(X)étant les racines n-ème primitives
de l’unité sur Fp, le n-ème polynôme cyclotomique Φn,Fp(X)∈Fp[X]a une racine dans une
extension Fpmde degré m≤ϕ(n)
2si et seulement s’il existe m≤ϕ(n) 2tel que F∗
pmcontienne un
élément d’ordre n. Alors, F∗
pmétant cyclique, cette dernière condition équivaut à n|pm−1pour
un m≤ϕ(n)
2et en particulier pest d’ordre ≤m≤ϕ(n) 2dans (Z/nZ)∗. Finalement :
Φn,Fp(X)est réductible sur Fp[X]⇐⇒ pest n’est pas d’ordre ϕ(n)dans (Z/nZ)∗.
Conclusion : si (Z/nZ)∗n’est pas cyclique, il n’existe aucun élément d’ordre ϕ(n)dans (Z/nZ)∗
et donc il n’existe pas de nombre premier p-net tel que Φn,Fp(X)soit irreductible sur Fp. Par
contraposée on a montré 1 =⇒2. Réciproquement si (Z/nZ)∗est cyclique, alors il existe un
générateur avérifiant en particulier a∧n= 1. Comme d’après la version faible de la progression
arithmétique de Dirichlet, il existe une infinité de nombres premiers ptels que p≡a[n]pour
a∧n= 1, on peut prendre a=ppremier. Mais alors, pest d’ordre ϕ(n)car pengendre le groupe
cyclique (Z/nZ)∗et donc Φn,Fp(X)est irreductible. D’où 2 =⇒1et l’équivalence annoncée.
Rappel 1. Pour Ω = {e2ikπ
n|k∧n= 1 et k∈[[1, n]]}, le n-ème polynôme cyclotomique
Φn,Q(X) = Q
ω∈Ωn
(X−ω)∈Z[X]avec Φ(0) = ±1.
Démonstration. Φ(0) ∈Zcar Φn(X)∈Z[X]et |Φ(0)|=|Q
ω∈Ωn
ω|=Q
ω∈Ωn
|ω|= 1. On a donc
Φ(0) ∈Zet |Φ(0)|= 1 ce qui donne bien Φ(0) = ±1.
Rappel 2. Un polynôme P∈K[X]est à racines simples dans un corps de décomposition de P
si et seulement si :
•P06= 0.
•P∧P0= 1.
Rappel 3. Soit P∈k[X]de degré n > 0. Alors, Pest irreductible sur ksi et seulement si P
est sans racines dans les extensions Kde ktelles que [K:k]≤n
2.
Références :
•Perrin pour l’application.
•FGN algèbre 1 / Gozard pour la progression arithmétique de Dirichlet.