Les polynômes

Mathématiques 9:
L’algèbre
Vocabulaire
Expressions algébriques
• Définition : Une expression algébrique est un
ensemble de lettres et de nombres et entre eux il
y a un signe qui nous dit quelle est l’opération à
effectuer.
• Exemple : - 4x+6
- 2xy+6xy
Variable
• Définition : Une variable est la lettre dans le
terme algébrique.
Exemple : 3x
la variable est x .
: 2a
la variable est a .
Coefficient
• Définition : Un coefficient est le chiffre qui se
retrouve devant une variable dans une expression
algébrique.
Exemple :
3x+4y
les coefficients sont 3 et 4
Terme algébrique
• Définition : Un terme algébrique est un monôme qui est
constitué d’un coefficient et d’un groupe variable.
Exemple : 8x² coefficient
variable
exposant
8
x
²
Terme constant
• Définition : Un terme constant est un terme formé
avec qu’un seul nombre. Il faut indiquer si ce
nombre est positif ou négatif.
Exemple : 2x + 1
constant .
le + 1 est le terme
Termes semblables
• Définition : Un terme semblable doit avoir
les mêmes variables soulevées à la même
puissance
Exemple : 45y et 2y (semblables)
4y et 3y2
(pas semblables)
Les polynômes :
- Monôme
- Binôme
- Trinôme
Les monômes
• Définition : Un monôme est une expression formée d’un
seul terme. Ce terme peut inclure un coefficient, une ou
plusieurs variables et des exposants. Un monôme est un
produit de tous ces composants.
• Exemple : 4a3 b2
Les binômes
• Définition : Un binôme est une expression formée
de deux termes. Un binôme est une somme ou une
différence de deux monômes.
Exemple : 4ab2 + a2b
Les trinômes
• Définition : C’est une expression formée de trois
termes non semblables.
Exemple : 4a² + 6ab² - 4b²
Quel est le degré du monôme?
4
5x b
2
le degré d’un monôme est la somme de ses exposants.
Les exposants pour chaque variable sont 4 et 2. 4+2 = 6.
Ce monôme est de degré 6.
Les polynômes
• Définition : Un polynôme est une expression qui inclut la somme
ou la différence de plusieurs termes algébriques et peut inclure
un terme constant.
• Les termes sont organisés en ordre alphabétique et en ordre
décroissant des exposants.
• Exemple : 2x² + 3y² - 6x + 4y +1
Le degré d’un polynôme est le plus haut degré dans un de ces
termes. Il faut déterminer le degré de chaque terme dans le polynôme, et
puis le plus ‘puissant’ est le degré du polynôme.
2
Un terme constant : pas de variable. Un monôme de degré 0.
Ce binôme et de dégré 1 La variable x est à la puissance de 1. Les
4x  1expressions
polynomiales de degré un sont linéaires.
.
5 x  2 x  14
2
3x  8
3
Ce trinôme est de degré 2. Des polynômes de degré
2 sont quadratiques.
Ce polynôme est de 3e degré. Des polynômes de degré 3
sont cubiques.
Polynôme
a.
5
b.
c.
d.
Degré
Classification
par degré
Classification
par # de termes
Zéro
Constant
Monôme
2x  4
1
Linéaire
Binôme
3x 2  x
2
Quadratique
Binôme
3
Cubique
Trinôme
x  4x 1
3
2
*Les termes sont organisé en ordre décroissant des exposants. *Le premier terme est positif.
5x  4 x 4  x 2  7
2 x3  x 4  7  5x  5x 2
4x  x  5x  7
 x  2x  5x  5x  7
4
2
4
3
2
Le premier terme doit
être positif.
 1( x  2 x  5x  5x  7)
Pour changer le signe du
premier terme, multiplie
tout le polynôme par –1
(utilise la distributivité).
x 4  2x 3  5x 2 5x  7
4
3
2
a) Réécris les polynômes en forme standarde
b) Identifie-les par le degré et par le nombre de termes.
c) Identifie le terme constant.
1.
2.
7  3x  2 x
3
1 a  2a
2
2
Addition des polynômes
Démarche: L’addition de 2 polynômes se fait en
additionnant les termes de chaque polynôme qui sont
semblables et réduire l’expression algébrique obtenue. On
obtient un nouveau polynôme correspondant à la somme
recherchée.
Exemple:
3y2+6y7+y+9
et
y2+2y7+3y+12
3y2 + 6y7 + y + 9
+
y2 + 2y7 + 3y + 12
4y2 + 8y7 + 4y + 21
Ce polynôme
correspond à
la
somme
recherchée.
Soustraction des polynômes
Démarche: La soustraction des polynômes équivaut à
additionner l’opposé de chacun des termes deuxième
polynôme au premier et à réduire l’expression algébrique
obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant
à la différence recherchée.
Exemple:
-3x2 - 6x + 7
Soustrait de
5x2 + 10x - 12.
(5x2 + 10x – 12) – (-3x2 – 6x + 7)
= (5x2 + 10x – 12) + 3x2 + 6x + (–7)
= 5x2 + 3x2 + 10x + 6x + (-12) + (-7)
= 8x2 + 16x + (-19) ou 8x2 + 16x – 19
Ce polynôme
correspond à
la
différence
recherchée.
Les propriétés des exposants
Règles:
Ex: 32 x 33 = 32+3
= 35 =243
(am)n = amn
Ex: (32)4 = 32x4
=38 =6561
am ÷ an =am-n
Ex: 28 ÷ 25 = 28-5
=23
(ab)n = an x bn
Ex: (34)2 = 32 x 42 =9x16
am x
an =
1
n
am+n
a  √a
f
n
n
n
a  √
a0 =1
1
4
Ex: 5
3
af
4
√5
=
Ex: 3 4 =
4
√33
Ex: 1800=1
=8
=8,9
=20,78
=1
=144
Multiplication de monômes
(a3b4)(a5b2)
Regrouper les
bases semblables
Quel propriété?
(a3a5)(b4b2)
La commutativité
solution: a8b6
Pour multiplier des monômes,
additionne les exposants.
Multiplie
(5a4b3)(2a6b5)
À toi!
1. (a2b3)(a9b)
Solution: a11b4
2. (3a12b4)(-5ab2)(a3b8)
Solution: -15a16b14
Multiplication d’un polynôme
par un monôme
Démarche: Distribuer--- il faut multiplier chacun des termes
du polynôme par le monôme.
Exemple:
(7ab)
12)
(5a2 + 6b + 12) = (7ab × 5a2) + (7ab × 6b) + (7ab ×
=
35a3b + 42ab2 + 84ab
Division des monômes
a7b5
a4b
Regrouper les bases
semblables
a7
a4
Pour diviser,
Soustrais les exposants
•
b5
b1
(a7 - 4)(b5 - 1)
solution: a3b4
Division des monômes
-30x3y4
-5xy3
Divise les coefficients.
Regroupe les bases
-30
(x3 - 1)(y4 - 3)
-5
solution: 6x2y
Divise
2m5n4
-3m4n2
Divise les coefficients et soustrais
les exposants
2
(m5 - 4)(n4 - 2)
-3
Solution: 2
-3
mn2
2mn2
=
-3
À toi!
1. m8n5
m4n2
(m8 - 4)(n5 - 2)
Solution:
m4n3
2. - 3x10y7
6x9y2
- 3 (x10 - 9)(y7 - 2)
6
Solution: -1
2
xy5
- xy5
=
2
• La division d’un polynôme par un monôme.
• Définition : Il faut diviser chacun des termes par le
monôme.
• Exemple :
(4 x 16)  2
4 x 16


2
2
 2x  8
Simplifier une puissance ayant
une base monomiale
(ab)2
(ab)3
(ab)(ab)
(aa)(bb)
a2b2
(ab)(ab)(ab)
(aaa)(bbb)
a3b3
Règle : (xy)n = xnyn
Simplifier une puissance ayant
une base monomiale:
Puissance d’une puissance
(a9b5)3
(a9•3)(b5•3)
Solution: a27b15
(4m11n20)2
(41m11n20)2
(41•2)(m11•2)(n20•2)
Solution: 16m22n40
Règle: (xayb)n = xanybn
À toi!
1.
(2a4)3
2. (4xy5z2)4
(21a4)3
(41x1y5z2)4
(21•3)(a4•3)
Solution: 8a12
(41•4)(x1•4)(y5•4)(z2•4)
Solution: 256x4y20z8
Règle: (xayb)n = xanybn