diviseur "2 on"

1. - EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
1. 1. Définition
On appelle expression algébrique, un ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux
par des signes indiquant les opérations à effectuer.
Chaque lettre représente un nombre. Si la même lettre figure plusieurs fois dans la
même expression, elle y représente le même nombre.
1. 2. - Calcul de la valeur numérique d'une expression algébrique
Pour obtenir la valeur numérique de l'expression, il suffit de remplacer chaque lettre par
le nombre qu'elle représente.
Exemple : Si a = 1 et b = 2, on obtient :
1147)4(7)62()43()32()23(
933)21()21()()(
31321)21(
baba
baba
baba
Les deux premières expressions qui ne diffèrent que par des parenthèses et des signes
ont, comme vous le voyez, des valeurs numériques différentes.
1. 3. - Différentes formes d'expressions algébriques
1. 3. 1. - Monômes
L'expression ne contient pas de signes d'addition ou de soustraction.
Exemple :
3x2y2 ;
2
2
3x
; 5xy ;
53
5
3yx
sont des monômes
1. 3. 2. - Polynômes
L'expression contient des signes d'addition ou de soustraction entre plusieurs monômes.
Exemple :
3
2
3
3232  xyx
est un polynôme
2. - Calculs sur les monômes
2. 1. - Écriture d'un monôme

Étant donné qu'un monôme est un produit de facteurs, et que l'on peut intervertir l'ordre
de ses facteurs, sans changer le résultat, il faut toujours s'arranger pour réduire les
monômes sous une forme condensée plus facilement utilisable :
Exemple :
3 . a . 5 . 2 . b . y2
3 . 5 . 2 . a . b . y2 = 30aby2
Un monôme est composé de deux partie :
 Un facteur numérique que l'on appelle coefficient ;
 Un produit de facteurs littéraux que l'on appelle partie littérale.
Exemples :
3a2b 3 est le coefficient et a2b est la partie littérale ;
- a2b - 1 est le coefficient et a2b est la partie littérale.
2. 2. - Degré d'un monôme
Définition : On appelle degré d'un monôme à la somme des exposants de toutes ses
lettres.
Le monôme 2a2bx3y4 est de degré 10 (2 + 1 + 3 + 4) et le monôme 5x6 est de degré 6
2. 3. - Monômes semblables
Définition : Des monômes semblables sont des monômes qui ont même partie littérale.
Exemples :
3a2b ; 4a2b ; - 8a2b sont des monômes semblables
2. 4. - Opérations sur les monômes
2. 4. 1. – Addition et soustraction de plusieurs monômes
L’addition (ou soustraction) des monômes semblables est un monôme semblable dont le
coefficient est la somme (ou la soustraction) des coefficients des monômes :
3a2b + 4a2b - 8a2b = (3 + 4 - 8) . a2b = - a2b
C'est ce que l'on appelle réduire les monômes semblables.
2. 4. 2. - Produit de plusieurs monômes
Le produit de plusieurs monômes est un monôme :

- dont le coefficient est le produit des coefficients des monômes donnés ;
- dont la partie littérale comprend les lettres contenues dans les monômes, chacune
d'elles étant affectée d'un exposant égal à la somme de ses exposants dans les facteurs.
Exemple :
3a2b . 4b2c . (- 5bd )= - 60a2b4cd
Coefficient : (3) . (4) . (- 5) = - 60
Degré : 2 + 4 + 1 + 1 = 8
2. 4. 3. - Quotient de monômes
Le quotient d'un monôme par un monôme s'écrit sous la forme d'une fraction qu'il faut
simplifier au maximum.
Exemples : 3a2b3 / 4a2b = ¾ b2 On a simplifié numérateur et
dénominateur par les termes communs a2b.
4a3 b2c3 / 2a2b2c2 = 2 a c On a simplifié numérateur et dénominateur par 2a2 b2c2.
- 15a2b3c4 / - 5ab3c2 = 3ac2 ; 5x3y2z4 / 6x3z3 = 5 / 6 . y2z
3. - Calculs sur les polynômes
3. 1. - Définitions
3. 1. 1. - Polynôme
Un polynôme est une somme de plusieurs monômes qui sont les termes du polynôme.
Exemples :
3ac2 + bc3 + 4 ; 2 / 5 . x2 + 3ax2 - 2 / 3 . x
3. 1. 2. - Binôme
On appelle binôme, un polynôme qui ne contient que deux termes.
Exemple : 3a + 4b
3. 1. 3. - Trinôme
On appelle trinôme, un polynôme qui ne contient que trois termes.
Exemple : 2x2 - 3xy + 4y2
3. 2. - Réduction de polynômes

Il faut toujours commencer par rendre le polynôme le plus simple possible.
Exemple :
3x3 + 5x2y + 2xy2 + 2x3 - 4x2y + 2xy2
En réduisant, on trouve :
3x3 + 2x3 = 5x3
5x2y - 4x2y = x2y
2xy2 + 2xy2 = 4xy2
Le polynôme réduit s'écrira donc : 5x3 + x2y + 4xy2 dont la forme est quand-même plus
simple que celle proposée ci-dessus.
Remarque : Il est de règle d'écrire un polynôme de manière que les degrés de ses
termes, par rapport à une de ses lettres, aillent soit en diminuant, soit en augmentant.
3. 3. - Degré d'un polynôme
Définition : Le degré d'un polynôme est le plus grand des degrés des monômes qui le
composent
2a + 3 est un binôme de premier degré en a ;
3a2 + 2a - 4 est un trinôme de second degré en a ;
8x2 - 3 est un binôme de second degré en x.
x4 - 2x2 y3 est de degré 5
3. 4. - Opérations sur les polynômes
3. 4. 1. - Addition de polynômes
Règle : La somme de plusieurs polynômes s'obtient en écrivant les termes des
polynômes les uns à la suite des autres et en réduisant les termes semblables du
polynôme obtenu.
Exemple :
(x4 + 3x2y2 + 3y) + (3x4 + 2x2y3 + 5y) = x4 + 3x2y2 + 3y + 3x4 + 2x2y3 + 5y = x4 + 3x2y2
+ 2x2y3 + 8y
3. 4. 2. - Soustraction de polynômes
Règle : Pour retrancher un polynôme, on ajoute les termes de ce polynôme changés de
signe.
Exemples :
1) (x4 + 3x2y) - (2x4 - 4x2y) = x4 + 3x2y - 2x4 + 4x2y = - x4 + 7x2y

2) (3ab2 + 2a2b) - (2ab2 + 2a2b) = 3ab2 + 2a2b - 2ab2 - 2a2b = ab2
3. 4. 3. - Produit d'un polynôme par un monôme
Règle : Pour multiplier un polynôme par un monôme, on multiplie successivement
chaque terme du polynôme par le monôme. C'est le produit d'une somme par un
nombre.
Exemple :
(2x3 - x2 + 2) . (3xy) = 6x4y - 3x3y + 6xy
3. 4. 4. - Produit d'un polynôme par un polynôme
Un polynôme étant la somme de plusieurs monômes, on appliquera la règle de la
multiplication d'une somme par une somme.
Règle : Pour multiplier deux polynômes entre eux, on multiplie chaque terme de l'un
successivement par chaque terme de l'autre et on ajoute algébriquement les produits
obtenus. Ensuite on réduit les termes semblables.
3. 4. 5. - Produits remarquables
Il y a quelques produits remarquables qu'il est souhaitable de connaître par cœur.
Carré de la somme de deux nombres :
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2
Carré de la différence de deux nombres :
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2
Produit de la somme de deux nombres par leur différence :
(a + b) (a - b) = a2 - b2
3. 4. 6. - DIVISION D'UN POLYNÔME PAR UN MONÔME
Le quotient du polynôme P = 10x3 - 4x2y + 6xy2 par le monôme 2x est le polynôme
qu'il faut multiplier par 2x pour obtenir le polynôme P. On écrit :
Un polynôme est donc divisible par un monôme lorsque tous les termes de ce polynôme
sont divisibles par ce monôme.