diviseur "2 on"
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1. - EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES 1. 1. Définition On appelle expression algébrique, un ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux par des signes indiquant les opérations à effectuer. Chaque lettre représente un nombre. Si la même lettre figure plusieurs fois dans la même expression, elle y représente le même nombre. 1. 2. - Calcul de la valeur numérique d'une expression algébrique Pour obtenir la valeur numérique de l'expression, il suffit de remplacer chaque lettre par le nombre qu'elle représente. Exemple : Si a = 1 et b = 2, on obtient : a b a b (1 2) 1 2 3 1 3 (a b) (a b) (1 2) (1 2) 3 3 9 (3a 2b) (2a 3b) (3 4) (2 6) 7 (4) 7 4 11 Les deux premières expressions qui ne diffèrent que par des parenthèses et des signes ont, comme vous le voyez, des valeurs numériques différentes. 1. 3. - Différentes formes d'expressions algébriques 1. 3. 1. - Monômes L'expression ne contient pas de signes d'addition ou de soustraction. Exemple : 3x2y2 ; 3 3 2 x ; 5xy ; x 3 y 5 sont des monômes 5 2 1. 3. 2. - Polynômes L'expression contient des signes d'addition ou de soustraction entre plusieurs monômes. Exemple : 3x 2 y 3 3 2 x 3 est un polynôme 2 2. - Calculs sur les monômes 2. 1. - Écriture d'un monôme Étant donné qu'un monôme est un produit de facteurs, et que l'on peut intervertir l'ordre de ses facteurs, sans changer le résultat, il faut toujours s'arranger pour réduire les monômes sous une forme condensée plus facilement utilisable : Exemple : 3 . a . 5 . 2 . b . y2 3 . 5 . 2 . a . b . y2 = 30aby2 Un monôme est composé de deux partie : Un facteur numérique que l'on appelle coefficient ; Un produit de facteurs littéraux que l'on appelle partie littérale. Exemples : 3a2b 3 est le coefficient et a2b est la partie littérale ; - a2b - 1 est le coefficient et a2b est la partie littérale. 2. 2. - Degré d'un monôme Définition : On appelle degré d'un monôme à la somme des exposants de toutes ses lettres. Le monôme 2a2bx3y4 est de degré 10 (2 + 1 + 3 + 4) et le monôme 5x6 est de degré 6 2. 3. - Monômes semblables Définition : Des monômes semblables sont des monômes qui ont même partie littérale. Exemples : 3a2b ; 4a2b ; - 8a2b sont des monômes semblables 2. 4. - Opérations sur les monômes 2. 4. 1. – Addition et soustraction de plusieurs monômes L’addition (ou soustraction) des monômes semblables est un monôme semblable dont le coefficient est la somme (ou la soustraction) des coefficients des monômes : 3a2b + 4a2b - 8a2b = (3 + 4 - 8) . a2b = - a2b C'est ce que l'on appelle réduire les monômes semblables. 2. 4. 2. - Produit de plusieurs monômes Le produit de plusieurs monômes est un monôme : - dont le coefficient est le produit des coefficients des monômes donnés ; - dont la partie littérale comprend les lettres contenues dans les monômes, chacune d'elles étant affectée d'un exposant égal à la somme de ses exposants dans les facteurs. Exemple : 3a2b . 4b2c . (- 5bd )= - 60a2b4cd Coefficient : (3) . (4) . (- 5) = - 60 Degré : 2 + 4 + 1 + 1 = 8 2. 4. 3. - Quotient de monômes Le quotient d'un monôme par un monôme s'écrit sous la forme d'une fraction qu'il faut simplifier au maximum. Exemples : 3a2b3 / 4a2b = ¾ b2 On a simplifié numérateur et dénominateur par les termes communs a2b. 4a3 b2c3 / 2a2b2c2 = 2 a c On a simplifié numérateur et dénominateur par 2a2 b2c2. - 15a2b3c4 / - 5ab3c2 = 3ac2 ; 5x3y2z4 / 6x3z3 = 5 / 6 . y2z 3. - Calculs sur les polynômes 3. 1. - Définitions 3. 1. 1. - Polynôme Un polynôme est une somme de plusieurs monômes qui sont les termes du polynôme. Exemples : 3ac2 + bc3 + 4 ; 2 / 5 . x2 + 3ax2 - 2 / 3 . x 3. 1. 2. - Binôme On appelle binôme, un polynôme qui ne contient que deux termes. Exemple : 3a + 4b 3. 1. 3. - Trinôme On appelle trinôme, un polynôme qui ne contient que trois termes. Exemple : 2x2 - 3xy + 4y2 3. 2. - Réduction de polynômes Il faut toujours commencer par rendre le polynôme le plus simple possible. Exemple : 3x3 + 5x2y + 2xy2 + 2x3 - 4x2y + 2xy2 En réduisant, on trouve : 3x3 + 2x3 = 5x3 5x2y - 4x2y = x2y 2xy2 + 2xy2 = 4xy2 Le polynôme réduit s'écrira donc : 5x3 + x2y + 4xy2 dont la forme est quand-même plus simple que celle proposée ci-dessus. Remarque : Il est de règle d'écrire un polynôme de manière que les degrés de ses termes, par rapport à une de ses lettres, aillent soit en diminuant, soit en augmentant. 3. 3. - Degré d'un polynôme Définition : Le degré d'un polynôme est le plus grand des degrés des monômes qui le composent 2a + 3 est un binôme de premier degré en a ; 3a2 + 2a - 4 est un trinôme de second degré en a ; 8x2 - 3 est un binôme de second degré en x. x4 - 2x2 y3 est de degré 5 3. 4. - Opérations sur les polynômes 3. 4. 1. - Addition de polynômes Règle : La somme de plusieurs polynômes s'obtient en écrivant les termes des polynômes les uns à la suite des autres et en réduisant les termes semblables du polynôme obtenu. Exemple : (x4 + 3x2y2 + 3y) + (3x4 + 2x2y3 + 5y) = x4 + 3x2y2 + 3y + 3x4 + 2x2y3 + 5y = x4 + 3x2y2 + 2x2y3 + 8y 3. 4. 2. - Soustraction de polynômes Règle : Pour retrancher un polynôme, on ajoute les termes de ce polynôme changés de signe. Exemples : 1) (x4 + 3x2y) - (2x4 - 4x2y) = x4 + 3x2y - 2x4 + 4x2y = - x4 + 7x2y 2) (3ab2 + 2a2b) - (2ab2 + 2a2b) = 3ab2 + 2a2b - 2ab2 - 2a2b = ab2 3. 4. 3. - Produit d'un polynôme par un monôme Règle : Pour multiplier un polynôme par un monôme, on multiplie successivement chaque terme du polynôme par le monôme. C'est le produit d'une somme par un nombre. Exemple : (2x3 - x2 + 2) . (3xy) = 6x4y - 3x3y + 6xy 3. 4. 4. - Produit d'un polynôme par un polynôme Un polynôme étant la somme de plusieurs monômes, on appliquera la règle de la multiplication d'une somme par une somme. Règle : Pour multiplier deux polynômes entre eux, on multiplie chaque terme de l'un successivement par chaque terme de l'autre et on ajoute algébriquement les produits obtenus. Ensuite on réduit les termes semblables. 3. 4. 5. - Produits remarquables Il y a quelques produits remarquables qu'il est souhaitable de connaître par cœur. Carré de la somme de deux nombres : (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2 Carré de la différence de deux nombres : (a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2 Produit de la somme de deux nombres par leur différence : (a + b) (a - b) = a2 - b2 3. 4. 6. - DIVISION D'UN POLYNÔME PAR UN MONÔME Le quotient du polynôme P = 10x3 - 4x2y + 6xy2 par le monôme 2x est le polynôme qu'il faut multiplier par 2x pour obtenir le polynôme P. On écrit : Un polynôme est donc divisible par un monôme lorsque tous les termes de ce polynôme sont divisibles par ce monôme. Règle : Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise tous les termes de ce polynôme par le monôme. Application : 1 - Mise en facteur commun. Considérons le polynôme : 25ax4 + 35ay4 - 55ax2y2 Tous ses termes étant divisibles par 5a, on peut l'écrire sous la forme : 5a (5x4 + 7y4 - 11x2y2) On dit que le monôme (5a) a été mis en facteur commun dans le polynôme. Le monôme de plus haut degré pouvant être mis en facteur dans un polynôme comprend les lettres communes à tous les termes, chaque lettre étant affectée du plus petit exposant qu'elle a dans le polynôme. Le coefficient du monôme mis en facteur peut être arbitraire (exemple 1), mais on prend le plus souvent pour coefficient le plus grand commun diviseur des coefficients des termes (exemple 2). Exemple 1 : 18x3y - 11x2y2 + 22xy3 = x (18x2y - 11xy2 + 22y3) Nous avons pris (x) comme facteur commun, alors que nous aurions pu prendre xy.
