La cinématique à une dimension

Physique mécanique (NYA)
Chapitre 3:
La cinématique à une
dimension
3.1: La cinématique de la particule
La cinématique consiste à décrire la manière dont un corps se
déplace dans l’espace et le temps.
• Dans un mouvement de translation, toutes les parties du corps
subissent la même variation de position.
• Dans un mouvement de rotation, le corps change d’orientation
dans l’espace.
• Dans un mouvement de vibration, la forme ou les dimensions du
corps changent périodiquement.
Une particule est un modèle théorique représentant un objet réel
que l’on peut considérer comme situé en un point de l’espace.
3.2: Le déplacement et la vitesse
•
La position est mesurée par rapport à un système de référence « x ».
xi
xf
x
Ex. De -2, à -7 puis à +7 en 10 s
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
•
Le déplacement est une variation de position, la différence entre la position finale et la
position initiale: x  x  x  7  2  9
f
•
i
 
La distance parcourue, qui est la longueur du trajet réel, est un scalaire positif.
d  x1  x2  7   2   7   7   5  14  19
•
•
x (m)
La vitesse moyenne est le déplacement divisé par le temps.
x 9
vmoy 

 0.9 m s
t 10
La vitesse scalaire moyenne est la distance parcourue divisée par le temps.
vscal ,moy 
d 19

 1.9 m s
t 10
3.2 (suite)
x1  x f  xi
 80 m  10 m
  70 m 
x2  x f  xi
 20 m  80 m
  60 m 
3.2 (suite) Vitesse [scalaire] moyenne
Exemple:
Une automobile roule à 50 km/h durant une heure, s’arrête 30 minutes puis
roule à 70 km/h dans la même direction qu’auparavant durant une heure.
Quelle a été sa vitesse moyenne ?
x  50 km h 1h  70 km h 1h  120km
vmoy
x 120km


 48 km h
t
2.5h
vmoy
50 km h  70 km h

 60 km h
2
3.2 (suite) Interprétation graphique
90m  50m
 13.0 m s
3s  0s
20m  70m
vmoy ( B  F ) 
 12.5 m s
5s  1s
vmoy ( A  D ) 
vmoy ( D  F ) 

vmoy ( B  D ) 

Temps t (s)
La vitesse moyenne est la pente de la sécante joignant les
positions finale et initiale.
3.3: La vitesse instantanée
•
La vitesse à un instant ou en un point quelconque de l'espace est appelée vitesse
instantanée.
•
La vitesse instantanée à un instant quelconque est donnée par la pente de la
tangente à la courbe de la position en fonction du temps à cet instant
•
La vitesse instantanée est aussi la dérivée de la fonction x par rapport au temps.
x dx
v  lim

t  0  t
dt
3.3 (suite) Interprétation graphique
tangente
v( B) 
x 100  60

 30.8 m s
t 1.8  0.5
Temps t (s)
•
La vitesse instantanée est la pente de la tangente à la courbe du graphique
position en fonction du temps.
3.3 (suite) Exemple
Position x (m)
Le graphique suivant représente la position en
fonction du temps de deux trains sur des voies
parallèles.
Vrai ou faux?
1.
2.
3.
4.
À l’instant tB, les deux trains ont la même vitesse
(instantanée)
Les deux trains vont de plus en plus vite
Les deux trains ont la même vitesse à un instant
avant tB.
Les train A et B sont au même endroit au temps tB.
A
B
tB
Temps t (s)
3.4: L’accélération
•
L’accélération moyenne est la variation de vitesse divisée par l’intervalle de temps.
v v f  vi
amoy 

t t f  ti
•
L’accélération instantanée est le taux de changement instantanée de la vitesse.
v dv
a  lim

t 0 t
dt
•
L'accélération est positive si elle est dirigée dans le sens des x positifs et elle est
négative si elle est orientée dans le sens opposé.
Il ne faut pas confondre accélération négative et décélération. Le terme «
décélération » signifie uniquement une diminution du module de la vitesse.
•
3.4 (suite) Interprétation graphique
Accélération moyenne entre P et Q
•
L’accélération moyenne est la pente de
la sécante joignant les vitesses finales
et initiales sur un graphique de la
vitesse en fonction du temps.
•
L’accélération instantanée est la pente
de la tangente à la courbe sur un
graphique de la vitesse en fonction du
temps.
Accélération instantanée au point P
3.4 (suite)
Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent dans la même
direction la grandeur de la vitesse augmente.
Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent dans des directions
opposées la grandeur de la vitesse diminue.
3.4 (suite) Exemple
Une voiture a initialement une
vitesse positive de 10 m/s. Pour
quels instants, est-ce que la vitesse
…
a) Augmente
b) Reste constante
c) diminue
a) De 0,5 s à 3,8 s
b) De 0 à 0,5 s et de 7,5 à 8 s
c) De 3,8 s à 7,5 s
3.4 (suite)
position instantanée
(vecteur)
déplacement
(vecteur)
vitesse moyenne
(vecteur)
distance parcourue
(scalaire positif)
vitesse instantanée
(vecteur)
accélération moyenne
(vecteur)
vitesse scalaire moyenne
(scalaire positif)
accélération instantanée
(vecteur)
3.5: L’utilisation des aires.
• Le déplacement est égal à l’aire sous la courbe de la vitesse en fonction
du temps.
• La variation de vitesse est égale à l’aire sous la courbe de
l’accélération en fonction du temps.
• Dans le cas ou l’accélération est constante, on montre que:
x  vmoy t  12 (vi  v f )t
3.5 En résumé:
Vitesse instantanéetemps
Pente tangente
(donne a)
Accélération instantanéetemps
Position-temps
Pente tangente
(donne v)
Aire sous la courbe
(donne x)
Aire sous la courbe
(donne V)
3.5 Exemple
Quelle est la variation de
vitesse entre 0,5 et 2s ?
v = aire sous la courbe
du trapèze
= (1,5 s + 1,0 s)(4 m/s²)
2
= 5 m/s
Si la vitesse initiale était de
-4 m/s, quelle est la vitesse
finale ? Est-ce que cela a du
sens ?
Aire sous la courbe <0, v < 0
3.6: Les équations de la cinématique
à accélération constante
v  v0  at
x  12 (v  v0 )t
x  v0t  12 at 2
v  v  2a  x
2
2
0
Voir méthode de résolution, p. 54
3.6 Exemple: une poursuite
•
Un chauffard allant à 108 km/h passe devant un policier immobile. Une
seconde après, le policier démarre en trombe avec une accélération de 3
m/s². En combien de temps rattrape-t-il le chauffard ? Quelle distance a-t-il
parcouru ?
3.7 La chute libre verticale
•
•
•
Un mouvement qui se produit sous le seul effet de la gravité est appelé
chute libre.
Ce terme s'applique aussi bien aux satellites en orbite autour de la Terre
qu'aux objets qui se déplacent verticalement vers le haut
En l'absence de résistance de I'air, tous les corps qui tombent avec la
même accélération, quelle que soit leur masse, leur taille ou leur forme.
y
Si le système de référence
dirigé vers le haut
 voy  v y
y  
 2
v y  voy  gt

t

y  voy t  12 gt 2
v y 2  voy 2  2 g y
 voy  v y
y  
 2
v y  voy  gt
Si le système de référence
dirigé vers le bas.

t

y  voy t  12 gt 2
y
v y 2  voy 2  2 g y