Mouvement – vitesse – accélération

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Thème 2 : Comprendre – Lois et modèles
Temps, Mouvement et Evolution
Cinématique
La mécanique est une science physique, dont l'objet est l'étude des corps en mouvement ou à l'équilibre.
La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
I. Référentiel et trajectoire :
Le mouvement d’un corps est défini par des informations sur sa trajectoire et sa vitesse, relativement à un
référentiel.
 Référentiel : Objet de référence par rapport auquel on définit le mouvement.
les plus utilisés : Référentiels terrestre, géocentrique et héliocentriques
Référentiel galiléen : référentiel dans lequel la première loi de Newton est vérifiée.
 Trajectoire : Ensemble des positions occupées par le système au cours de son mouvement.
Exemple : droite, cercle, courbe… (utilisation de mots mathématiques)
II. Vitesse :
1. Vitesse moyenne :
 Formule – unité :
t
d
vmoy 
où d est la distance parcourue
Δt la durée de parcours ( différence entre deux dates Δt=tf-ti )
si d est en mètre (m) et Δt en seconde (s), alors v est en m.s-1
si d est en km et Δt en h, alors v est en km.h-1
Conversion : 1 m.s-1 équivaut à 3,6 km.h-1
 A partir d’un graphique représentant la distance parcourue
x au cours du temps : calculons la vitesse moyenne entre 2
instants tA et tB :
AB
AB
moy tt xx
v
Cette vitesse correspond graphiquement à la pente de la
droite (AB)
x
t
tA
tB
xA
xB
A
B

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2. Vitesse instantanée : Il s’agit de la vitesse à un instant t.
On cherche à définir la vitesse à un instant t
précis :
Il s’agit donc de faire tendre tA et tB vers t ; la
droite (AB) devient donc tangente au point M :
La vitesse de la réaction à cette instant peut donc être calculée en déterminant la valeur de la pente de la
tangente en M
Les mathématiques nous montrent que la valeur de la pente de la tangente à la courbe représentative de
x(t) n’est autre que la valeur de la dérivée de la fonction x(t) à l’instant considéré ; en effet en repartant de
la vitesse moyenne entre tA et tB:
AB
AB
AB
AB
moy tt txtx
tt xx
v )(
or
 ttB
et
 ttA
d’où
2
)( 
txtx v
en faisant τ vers 0 ; on obtient alors :
2
)(
lim
0
txtx
tv
Ce qui correspond au taux de variation de x(t) à l’instant t, soit la dérivée de x par rapport au temps.
Notation :
txtv '
en notation de Lagrange
dt
dx
tv 
en notation de Leibnitz (préférée en physique)
3. Vecteur vitesse instantané :
Dans un espace à 3 dimensions, on peut exprimer les coordonnées du vecteur vitesse :
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
V
où x, y et z sont les coordonnées en fonction du temps de la position.
ou encore :
dt
dz
dt
dy
dt
dx
V

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III. Accélération :
1. Notion d’accélération :
Une voiture accélère de v0=0km/h à vm=100km/h en 10 secondes.
 Convertir les vitesses en m/s. Calculer l’accroissement de la vitesse pendant cette durée.
1
0.0 
smv
1
.28
6,3
100 
 smvm
 On définit l’accélération comme l’accroissement de la vitesse en une seconde.
Calculer l’accélération moyenne de la voiture au cours de ce mouvement.
tvv
am
moy 
0
A.N.
2
.8,2
10 028 
smamoy
(ou encore 2,8 m/s /s )
Chaque seconde, la vitesse augmente de 2,8 m.s-1
 Pour schématiser cette accélération, que proposez-vous d’utiliser ? Faire apparaître cette accélération
sur le schéma ci-dessous :
Echelle : 1,0 cm représente 1,0 m.s-2
 Représenter le vecteur accélération dans le cas où la voiture décélère de 100km.h-1 à 0km.h-1 en 10s.
2. Accélération moyenne :
Définir l’accélération moyenne entre 2 instants t-τ et t+τ, pour lesquels on connaît les vitesses
instantanées v(t-τ) et v(t+τ) :
2
tvtv amoy
3. Accélération instantanée :
A partir de l’expression de l’accélération moyenne, proposer une expression de l’accélération instantanée
a(t) :
2
lim
0
tvtv
ta
soit
dt
dv
ta 
4. Coordonnées du vecteur accélération :
Dans un espace à 3 dimensions, on peut exprimer les coordonnées du vecteur accélération :
k
dt
dV
j
dt
dV
i
dt
dV
az
y
x
où Vx, Vy et Vz sont les coordonnées en fonction du temps de la vitesse.
ou encore :
2
2
2
2
2
2
dt zd
dt
dV dt yd
dt
dV dt xd
dt
dV
a
z
y
x