Mouvement – vitesse – accélération

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Thème 2 : Comprendre – Lois et modèles
Temps, Mouvement et Evolution
Cinématique
La mécanique est une science physique, dont l'objet est l'étude des corps en mouvement ou à l'équilibre.
La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
I.
Référentiel et trajectoire :
Le mouvement d’un corps est défini par des informations sur sa trajectoire et sa vitesse, relativement à un
référentiel.

Référentiel : Objet de référence par rapport auquel on définit le mouvement.
les plus utilisés : Référentiels terrestre, géocentrique et héliocentriques
Référentiel galiléen : référentiel dans lequel la première loi de Newton est vérifiée.

Trajectoire : Ensemble des positions occupées par le système au cours de son mouvement.
Exemple : droite, cercle, courbe… (utilisation de mots mathématiques)
II.
Vitesse :
1. Vitesse moyenne :

Formule – unité : vmoy 
d
t
où d est la distance parcourue
Δt la durée de parcours ( différence entre deux dates Δt=tf-ti )
si d est en mètre (m) et Δt en seconde (s), alors v est en m.s -1
si d est en km et Δt en h, alors v est en km.h-1
Conversion :
1 m.s-1 équivaut à 3,6 km.h-1
 A partir d’un graphique représentant la distance parcourue
x au cours du temps : calculons la vitesse moyenne entre 2
instants tA et tB :
vmoy 
x
B
xB
xB  x A
tB  t A
Cette vitesse correspond graphiquement à la pente de la
droite (AB)
xA
A
t
tA
tB
2
2. Vitesse instantanée : Il s’agit de la vitesse à un instant t.
On cherche à définir la vitesse à un instant t
précis :
Il s’agit donc de faire tendre tA et tB vers t ; la
droite (AB) devient donc tangente au point M :
La vitesse de la réaction à cette instant peut donc être calculée en déterminant la valeur de la pente de la
tangente en M
Les mathématiques nous montrent que la valeur de la pente de la tangente à la courbe représentative de
x(t) n’est autre que la valeur de la dérivée de la fonction x(t) à l’instant considéré ; en effet en repartant de
la vitesse moyenne entre tA et tB:
xB  x A x(t B )  xt A 

tB  t A
tB  t A
x(t   )  xt   
v
2
vmoy 
d’où
or
tB  t 
et
t A  t 
en faisant τ vers 0 ; on obtient alors :
x(t   )  xt   
vt   lim
 0
2
Ce qui correspond au taux de variation de x(t) à l’instant t, soit la dérivée de x par rapport au temps.
Notation :
vt   x' t 
dx
vt  
dt
en notation de Lagrange
en notation de Leibnitz (préférée en physique)
3. Vecteur vitesse instantané :
Dans un espace à 3 dimensions, on peut exprimer les coordonnées du vecteur vitesse :
dx
dy
dz
V 
i 
j 
k où x, y et z sont les coordonnées en fonction du temps de la position.
dt
dt
dt
dx
dt
dy
V
ou encore :
dt
dz
dt
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III.
Accélération :
1. Notion d’accélération :
Une voiture accélère de v0=0km/h à vm=100km/h en 10 secondes.
 Convertir les vitesses en m/s. Calculer l’accroissement de la vitesse pendant cette durée.
100
vm 
 28 m.s 1
v0  0 m.s 1
3,6
 On définit l’accélération comme l’accroissement de la vitesse en une seconde.
Calculer l’accélération moyenne de la voiture au cours de ce mouvement.
v  v0
28  0
A.N. a moy 
 2,8 m.s 2 (ou encore 2,8 m/s /s )
a moy  m
10
t
Chaque seconde, la vitesse augmente de 2,8 m.s-1

Pour schématiser cette accélération, que proposez-vous d’utiliser ? Faire apparaître cette accélération
sur le schéma ci-dessous :
Echelle :

1,0 cm représente 1,0 m.s-2
Représenter le vecteur accélération dans le cas où la voiture décélère de 100km.h-1 à 0km.h-1 en 10s.
2. Accélération moyenne :
Définir l’accélération moyenne entre 2 instants t-τ et t+τ, pour lesquels on connaît les vitesses
vt     vt   
a moy 
instantanées v(t-τ) et v(t+τ) :
2
3. Accélération instantanée :
A partir de l’expression de l’accélération moyenne, proposer une expression de l’accélération instantanée
dv
vt     vt   
at  
a(t) :
soit
at   lim
 0
dt
2
4. Coordonnées du vecteur accélération :
Dans un espace à 3 dimensions, on peut exprimer les coordonnées du vecteur accélération :
dV y
dV x
dV
a 
i 
j  z k
dt
dt
dt
où Vx, Vy et Vz sont les coordonnées en fonction du temps de la vitesse.
ou encore :
dV x d 2 x
 2
dt
dt
dV y d 2 y
a
 2
dt
dt
dV z d 2 z
 2
dt
dt