Chapitre #3: La cinématique à une dimension

Physique mécanique (NYA)
Chapitre 3:
La cinématique à une
dimension
3.1: La cinématique de la particule
La cinématique consiste à décrire la manière dont un
corps se déplace dans l’espace et le temps.
• Dans un mouvement de translation, toutes les parties
du corps subissent la même variation de position.
• Dans un mouvement de rotation, le corps change
d’orientation dans l’espace.
• Dans un mouvement de vibration, la forme ou les
dimensions du corps changent périodiquement.
3.2: Le déplacement et la vitesse
• La position est mesurée par rapport à un
système de référence « x ».
• Le déplacement est une variation de position:
x  x f  xi
• La distance parcourue, qui est la longueur du
trajet réel, est un scalaire positif.
• La vitesse moyenne est le déplacement divisé
par le temps
• La vitesse scalaire moyenne est la distance
parcourue divisée par le temps.
3.2 (suite)
Titre du diagramme
position instantanée
(vecteur)
déplacement
(vecteur)
vitesse moyenne
(vecteur)
distance parcourue
(scalaire positif)
vitesse instantanée
(vecteur)
accélération moyenne
(vecteur)
vitesse scalaire moyenne
(scalaire positif)
accélération instantanée
(vecteur)
3.2 (suite) Distance & déplacement
• La distance parcourue est toujours de
grandeur égale ou supérieure à celle du
déplacement
Déplacement
(ligne orange)
Distance parcourue
(ligne bleue)
3.2 (suite) Vitesse [scalaire] moyenne
Vitesse moyenne = Déplacement / Intervalle de temps
vmoy
x x f  xi


t t f  ti
Vitesse scalaire moyenne = Distance / Intervalle de temps
Exemple:
Une automobile roule à 50 km/h durant une heure, s’arrête 30 minutes puis
roule à 70 km/h dans la même direction qu’auparavant durant une heure.
Quelle a été sa vitesse moyenne ?
x  50 km h 1h  70 km h 1h  120km
vmoyen
x 120 km


 48 km / h
t 2.5 h
3.2 (suite)
• Le déplacement représente
le changement de position.
Il est indépendant du
système de référence
Référentiel A:
x = +5 m
Référentiel B:
x = +5 m
A
3.2 (suite)
x1  x f  xi
 80 m  10 m
  70 m 
x2  x f  xi
 20 m  80 m
  60 m 
3.2 (suite) Interprétation graphique de
la vitesse moyenne
90m  50m
 13.0 m s
3s  0s
20m  70m
vmoy ( B  F ) 
 12.5 m s
5s  1s
vmoy ( A  D ) 
Temps
(s)
La vitesse moyenne est la pente de la sécante joignant les
positions finale et initiale.
3.3: La vitesse instantanée
• La vitesse à un instant ou en un point
quelconque de l'espace est appelée
vitesse instantanée.
• La vitesse instantanée à un instant
quelconque est donnée par la pente de la
tangente à la courbe de la position en
fonction du temps à cet instant
• La vitesse instantanée est aussi la dérivée
de la fonction x par rapport au temps.
x dx
v  lim

t  0  t
dt
3.3 (suite) Interprétation graphique de la
vitesse instantanée
tangente
x 40m
vmoy  
 33 m / s
t 1,2s
Temps (s)
• La vitesse instantanée est la pente de la
tangente à la courbe du graphique positiontemps.
3.3 (suite) Exemple
Le graphique suivant représente
la position en fonction du temps
de deux trains sur des voies
parallèles. Laquelle des phrases
est vraie ?
1. À l’instant tB, les deux trains ont la
même vitesse (instantanée)
2. Les deux trains vont de plus en plus vite
3. Les deux trains ont la même vitesse à
un instant avant tB.
4. Le train A est plus long que le train B
5. Aucune des phrases précédentes n’est
vraie.
position
A
B
tB
temps
3.4: L’accélération
• L’accélération moyenne est la variation de vitesse
divisée par le temps.
• L'accélération est positive si elle est dirigée dans le sens
des x positifs et elle est négative si elle est orientée dans
le sens opposé.
• Il ne faut pas confondre accélération négative et
décélération. Le terme « décélération » signifie
uniquement une diminution du module de la vitesse.
3.4 (suite) Accélération moyenne
• Un changement de vitesse s’effectue dans un
certain laps de temps
• L’accélération moyenne représente le taux de
changement de la vitesse (instantanée)
amoy
v v f  vi


t t f  ti
3.4 (suite) Accélération instantanée
• L’accélération instantanée représente le taux
de changement instantanée de la vitesse.
v dv
a  lim

t 0 t
dt
3.4 (suite) Interprétation graphique de
l’accélération
• L’accélération moyenne
est la pente de la
sécante joignant les
vitesses finales et
initiales sur un graphique
vitesse-temps.
• L’accélération
instantanée est la pente
de la tangente à la
courbe sur un graphique
vitesse-temps.
Accélération moyenne
Accélération instantanée (en
quel point ?
3.4 (suite) Diagramme du mouvement
• Vitesse et accélération dans la même direction
• Accélération uniforme (la flèche bleue a une
grandeur constante)
• La vitesse augmente (les flèches rouges
grandissent)
3.4 (suite) Diagramme du mouvement
• Vitesse et accélération dans des directions
opposées
• Accélération uniforme (la flèche bleue a une
grandeur constante)
• La vitesse diminue (les flèches rouges se
rapetissent)
Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent
dans la même direction la grandeur de la vitesse
augmente.
Lorsque les vecteurs vitesse et accélération pointent
dans des directions opposées la grandeur de la vitesse
diminue.
3.4 (suite) Exemple
Une voiture a initialement
une vitesse positive de 10
m/s. Pour quels instants,
est-ce que la vitesse …
a) Augmente
b) Reste constante
c) diminue
a) De 0,5 s à 3,8 s
b) De 0 à 0,5 s et de 7,5 à 8 s
c) De 3,8 s à 7,5 s
3.5: L’utilisation des aires.
• Le déplacement est égal à l’aire sous la
courbe de la vitesse en fonction du temps.
• La variation de vitesse est égale à l’aire sous
la courbe de l’accélération en fonction du
temps.
• Dans le cas ou l’accélération est constante,
on montre que:
x  vmoy t  12 (vi  v f )t
En résumé:
Vitesse instantanéetemps
Pente tangente
(donne a)
Accélération instantanéetemps
Position-temps
Pente tangente
(donne v)
Aire sous la courbe
(donne x)
Aire sous la courbe
(donne V)
Un exemple
Quelle est la variation de
vitesse entre 0,5 et 2s ?
v = aire sous la courbe
du trapèze
= (1,5 s + 1,0 s)(4 m/s²)
2
= 5 m/s
Si la vitesse initiale était de
-4 m/s, quelle est la vitesse
finale ? Est-ce que cela a du
sens ?
Aire sous la courbe <0, v < 0
3.6: Les équations de la cinématique
à accélération constante
v  v0  at
x  (v  v0 )t
1
2
x  v0t  at
1
2
2
v  v  2a  x
2
2
0
Méthode de résolution de problème
Exemple: une poursuite
• Un chauffard allant à 108 km/h passe
devant un policier immobile. Une seconde
après, le policier démarre en trombe avec
une accélération de 3 m/s². En combien
de temps rattrape-t-il le chauffard ? Quelle
distance a-t-il parcouru ?
3.7 La chute libre verticale
• Un mouvement qui se produit sous le seul effet
de la gravité est appelé chute libre.
• Ce terme s'applique aussi bien aux satellites en
orbite autour de la Terre qu'aux objets qui se
déplacent verticalement vers le haut
• En l'absence de résistance de I'air, tous les
corps qui tombent avec la même accélération,
quelle que soit leur masse, leur taille ou leur
forme.
Les équations
de la chute
libre
v  v 
y  
t
 2 
v  v  gt
oy
y
y
oy
y  v t  gt
Avec comme
convention
1
2
oy
2
v  v  2 gy
2
y
y
2
oy
1
2
3
4
Les équations
de la chute
libre
v  v 
y  
t
 2 
v  v  gt
oy
y
y
oy
y  v t  gt
Avec comme
convention
1
2
oy
2
v  v  2 gy
2
y
y
2
oy
1
2
3
4
Un exemple
On lance un caillou vers le haut à
20 m/s. Quelle est sa vitesse au
niveau du sol si l’immeuble a une
hauteur de 50 m ?
y
0
v  v  2 gy
v  20  2(9,8)(50)
2
y
2
oy
2
2
y
v  37 m/s
y
v  37 m/s
y
Vitesse
finale