I. Définitions II. Propriétés

I. Définitions
1. Arcs de cercle
Sur un cercle, deux points A et B qui ne sont pas sur un même diamètre
déterminent deux arcs de cercle de longueurs différentes.

AB est le petit arc de cercle
AB est le grand arc de cercle.
2. Angle inscrit
Un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle est appelé angle
inscrit dans ce cercle.
Exemple :

AMB est inscrit dans le cercle de centre O.
il intercepte l’arc 
AB .
3. Angle au centre
Un angle dont le sommet est le centre d’un cercle est appelé angle au centre de ce cercle.
Exemple :

AOB est un angle au centre
Il intercepte l’arc 
AB .
II. Propriétés
Propriété
Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont même mesure.



AMB est inscrit dans le cercle de centre O. Il intercepte l’arc

ANB est inscrit dans le cercle de centre O. Il intercepte l’arc
On a 
ANB  
AMB
3ème
1

AB .

AB .
Propriété
Si dans un cercle un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de
l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit.


AMB est inscrit dans le cercle de centre O. il intercepte l’arc 
AB .
 
AB .
AOB est un angle au centre. Il intercepte l’arc 
On a :

AOB  2  
AMB
III. Polygones réguliers
1. Définition
Un polygone est régulier lorsque ses côtés ont la même longueur et ses angles intérieurs ont la
même mesure.
2. Exemples
Un triangle équilatéral est un polygone régulier à trois côtés.
Un carré est un polygone régulier à quatre côtés.
Un losange n’est pas un polygone régulier. Ses angles n’ont pas la même mesure.
3. Propriété
Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle.
4. Propriété
Si un polygone de n côtés et de centre O est régulier alors tous les angles au centre ont la même
360
mesure égale à
.
n
3ème
2
5. Exemples :
3ème
Triangle équilatéral
Carré
Pentagone régulier
Hexagone régulier
Octogone régulier
Décagone régulier
3
Démonstration :
Soient A, B et M trois points d’un cercle (C) de centre O.

AMB est inscrit dans le cercle de centre O. il intercepte l’arc 
AB .

AB .
AOB est un angle au centre. Il intercepte l’arc 
1er cas : M, O et A sont alignés
[AM] est un diamètre de (C) donc 
AOM  180



AOM  AOB  BOM

180  
AOB  BOM


AOB  180  BOM
(1)
Or la somme des angles d’un triangle vaut 180 ° donc :
  OMB
  OBM
  180
BOM
  OBM

De plus OMB est isocèle en O donc : OMB
On en déduit :
  2OMB
  180
BOM
  180  2OMB

BOM
Que l’on remplace dans (1) :


AOB  180  BOM
)
 180  (180  2OMB

 180  180  2OMB

 2OMB
 2
AMB
2ème cas : O est intérieur à l’angle 
AMB
Soit D le point diamétralement opposé à M sur (C) .


AOB  
AOD  DOB

 2
AMD  2 DMB
)
 2(
AMD  DMB
 2
AMB
2ème cas : O est extérieur à l’angle 
AMB
Soit D le point diamétralement opposé à M sur (C) .


AOB  
AOD  BOD

 2
AMD  2 BMD
)
 2(
AMD  BMD
 2
AMB
3ème
4