Cours Angles et Polygones

ANGLES ET POLYGONES
I) Angle inscrit et angle au centre :
1) Définition: Angle inscrit :
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point
du cercle et dont les côtés coupent le cercle en des points distincts du
sommet. La partie du cercle comprise
comprise entre les deux côtés de l’angle
s’appelle l’arc intercepté.
est un angle inscrit dans le
ACB
cercle interceptant l’arc AB .
2) Définition : Angle au centre:
centre
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle et
dont les côtés coupent le cercle en deux points distincts. La partie du
cercle comprise entre les deux côtés de l’angle s’appelle l’arc intercepté.
est un angle au centre
AOB
interceptant l’arc AB.
1
3) Activité:
4) Propriété 1:
Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et si ils interceptent le
même arc alors ils ont la même mesure.
et ANB
sont deux angles
AMB
inscrits dans un même cercle et
interceptant l’arc AB, donc
= mesure ANB
mesure AMB
5) Propriété 2:
Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre relatif à ce cercle
interceptent le même arc alors l’angle au centre mesure le double de
l’angle inscrit.
est un angle inscrit dans
AMB
est un angle
un cercle et AOB
au centre relatif au même cercle
et ces deux angles interceptent
l’arc AB donc
= 2×mesure
mesure AOB
2×
AMB
6) Exemple :
Soit ABD un triangle équilatéral de 4 cm de côté et C le cercle
circonscrit
crit au triangle ABD. Soit M un point de C situé sur le
même arc que le point D et soit O le centre de C.
a) Faire une figure.
, AMB
et AOB
. Justifier.
b) Déterminer la mesure des angles ADB
2
Démonstration :
Soientt trois points A, B et M d’un cercle de centre O. Suivants leurs
positions, on peut obtenir trois cas différents.
Premier cas :
Dans le triangle isocèle OAM,
on a
MAO
AOM
180°
OMA
MAO
or OMA
AOM
180°
2OMA
180° 2OMA
AOM
De plus,
AOM
180°
BOA
180° BOA
AOM
D’où
180° BOA
180° 2OMA
BOA
Donc 2OMA
Deuxième cas :
D’après le premier cas
2AMN
et
AON
2NMB
NOB
Donc
NOB
2AMN
2NMB
AON
2AMN
AOB
2 NMB
2AMB
AOB
2
En conclusion, l’angle
’angle au centre a donc une mesure deux fois plus grande
que celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc. Donc deux angles
inscrits, interceptant le même arc, ont la même mesure
mesure (la moitié de la
mesure de l’angle au centre correspondant).
3
Troisième cas :
D’après le premier cas
2NMA
et
NOA
2NMB
NOB
Donc
NOA
2NMB
2NMA
NOB
2NMB
AOB
2 NMA
2AMB
AOB
2
Conclusion identique à celle du premier cas.
II) Polygone régulier :
1) Définition :
Un polygone est régulier lorsque tous
tous ses côtés ont la même longueur et
tous ses angles ont la même mesure.
Triangle équilatéral
Carré
4
2) Activité :
3) Propriété :
Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle. Tous les
angles au centre relatifs à ce cercle et déterminés par deux sommets
consécutifs du polygone, ont la même mesure :
°
.
4) Exemple :
a) Construire un triangle équilatéral ABC de centre O tel que
OA = 2,5 cm.
b) Construire un carré ABCD de centre O tel que OB = 3,5 cm.
c) Construire un hexagone régulier ABCDEF de centre O tel que
OC = 4 cm.
d) Construire un octogone régulier ABCDEFGH de 3 cm de côté.
Justifier.
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